ดูต้นฉบับสำหรับ −1

{{Infobox number
| number = -1
| cardinal = ลบหนึ่ง
| ordinal = −1st (ที่ลบหนึ่ง)
| lang1 = [[เลขไทย]]
| lang1 symbol = −๑
| lang2 = [[เลขจีน]]
| lang2 symbol = 负一，负弌，负壹
| lang3 = [[เลขฐานสอง|ฐานสอง]] ([[ไบต์]])
| lang3 symbol = 
:[[Signed magnitude|S&M]]: 100000001<sub>2</sub>
:[[Two's complement|2sC]]: 11111111<sub>2</sub>
| lang4 = [[เลขฐานสิบหก|ฐานสิบหก]] ([[ไบต์]])
| lang4 symbol = 
:[[Signed magnitude|S&M]]: 101<sub>16</sub>
:[[Two's complement|2sC]]: FF<sub>16</sub>
}}

'''−1''' ('''ลบหนึ่ง''') เป็น[[จำนวนเต็ม]][[จำนวนลบ|ลบ]]มากสุด ที่มากกว่า −2 แต่น้อยกว่า [[0]]

−1 เป็น[[ตัวผกผันการบวก]]ของ [[1]] หมายความว่า เมื่อจำนวนนี้[[บวก]]กับ 1 แล้วจะได้[[เอกลักษณ์การบวก]]นั่นคือ 0

−1 สัมพันธ์กับ[[เอกลักษณ์ของออยเลอร์]]นั่นคือ <math>e^{i \pi} = -1\!</math>

ในทาง[[วิทยาการคอมพิวเตอร์]] −1 มักใช้เป็นค่าเริ่มต้นของจำนวนเต็ม และใช้แสดงว่าตัวแปรดังกล่าวไม่มีข้อมูลที่เป็นประโยชน์

ลบหนึ่งมีสมบัติต่าง ๆ ที่คล้ายกับบวกหนึ่งแต่ต่างไปเพียงเล็กน้อย<ref>[http://books.google.com/books?id=Xrh89dLWZqEC Mathematical analysis and applications]
 By Jayant V. Deshpande, ISBN 1-84265-189-7</ref>

== สมบัติทางพีชคณิต ==
การคูณจำนวนใด ๆ กับ −1 เทียบเท่ากับการเปลี่ยนเครื่องหมายของจำนวนนั้น สิ่งนี้สามารถพิสูจน์โดยใช้[[กฎการกระจาย]]และ[[สัทพจน์]]ว่า 1 เป็น[[เอกลักษณ์การคูณ]] สำหรับ ''x'' ที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ เราจะได้
::<math>x+ (-1) \cdot x=1\cdot x+ (-1) \cdot x= (1+(-1)) \cdot x=0 \cdot x=0</math>

เมื่อเราใช้ข้อเท็จจริงว่า จำนวนจริงใด ๆ คูณกับ 0 แล้วได้ 0 แสดงนัยโดย[[สมบัติการตัดออก]]จากสมการ
::<math>0\cdot x= (0+0) \cdot x=0\cdot x+0\cdot x \, </math>

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ
::<math>x+ (-1) \cdot x=0 \, </math>

ดังนั้น (−1) ·''x'' คือตัวผกผันของ ''x'' ซึ่งก็มีค่าเท่ากับ −''x'' นั่นเอง

=== กำลังสองของ −1 ===
[[กำลังสอง]]ของ −1 นั่นก็คือ −1 คูณด้วย −1 เท่ากับ 1 ผลที่ตามมาคือ ผลคูณของจำนวนลบสองจำนวนจะได้จำนวนบวก

สำหรับการพิสูจน์เชิงพีชคณิตของผลลัพธ์ดังกล่าว เริ่มด้วยสมการ
::<math>0 =-1\cdot 0 =-1\cdot [1+ (-1)]</math>

สมการแรกปฏิบัติตามการพิสูจน์ในตอนแรก นิพจน์ตัวหลังปฏิบัติตามนิยามของ −1 ว่าเป็นตัวผกผันการบวกของ 1 จากนั้นใช้กฎการกระจายจะได้ว่า
::<math>0 =-1\cdot [1+ (-1)]=-1\cdot1+ (-1) \cdot (-1) =-1+ (-1) \cdot (-1)</math>

สมการที่สองปฏิบัติตามข้อเท็จจริงว่า 1 คือเอกลักษณ์การคูณ จากนั้นบวกด้วย 1 ทั้งสองข้างของสมการสุดท้าย จะได้
::<math> (-1) \cdot (-1) = 1</math>

การให้เหตุผลด้านบนยังคงใช้ได้กับ[[ริง (คณิตศาสตร์)|ริง]]ใด ๆ ก็ตาม ซึ่งเป็นมโนทัศน์ของ[[พีชคณิตนามธรรม]]ที่วางนัยทั่วไปจากจำนวนเต็มและจำนวนจริง

=== รากที่สองของ −1 ===
[[จำนวนเชิงซ้อน]] ''[[หน่วยจินตภาพ|i]]'' สอดคล้องกับ ''i''<sup>2</sup> = −1 และสามารถถือได้ว่าเป็น[[รากที่สอง]]ค่าหนึ่งของ −1 จำนวนเชิงซ้อน ''x'' อีกจำนวนซึ่งสอดคล้องกับสมการ ''x''<sup>2</sup> = −1 ก็คือ −''i''<ref>{{cite web|url=http://mathforum.org/library/drmath/view/58251.html |title=Ask Dr. Math |publisher=Math Forum |date= |accessdate=2012-10-14}}</ref> ส่วนพีชคณิตของ[[ควอเทอร์เนียน]] ซึ่งมีระนาบเชิงซ้อนด้วย สมการ ''x''<sup>2</sup> = −1 จะมีคำตอบมากมายเป็นอนันต์

== การยกกำลังจำนวนลบ ==
[[การยกกำลัง]]ด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์สามารถขยายไปสู่จำนวนเต็มลบได้ เรากำหนดนิยามไว้ว่า ''x''<sup>−1</sup> = 1/''x'' หมายความว่า เรานิยามให้การยกกำลังจำนวนใดจำนวนหนึ่งด้วย −1 จะได้ผลอย่างเดียวกับการหา[[ส่วนกลับ]]ของมัน นิยามนี้ก็ได้ขยายไปสู่จำนวนเต็มลบ ทำให้กฎ ''x''<sup>''a''</sup>''x''<sup>''b''</sup> = ''x''<sup> (''a'' + ''b'')</sup> ยังคงอยู่เมื่อ ''a'', ''b'' เป็นจำนวนเต็มใด ๆ 

การยกกำลังจำนวนเต็มลบก็สามารถขยายไปบนสมาชิกที่ผกผันได้ของริงใดริงหนึ่ง โดยนิยามให้ ''x''<sup>−1</sup> เป็น[[ตัวผกผันการคูณ]]ของ ''x''

−1 ที่ปรากฏถัดจาก[[ฟังก์ชัน]]หรือ[[เมทริกซ์]]นั้น มิได้หมายถึงการยกกำลังด้วย −1 แต่เป็น[[ฟังก์ชันผกผัน]]หรือ[[เมทริกซ์ผกผัน]] ตัวอย่างเช่น ''f''<sup>−1</sup> (''x'') คือฟังก์ชันผกผันของ ''f'' (''x''), หรือ sin<sup>−1</sup> (''x'') เป็นสัญกรณ์แบบหนึ่งของฟังก์ชัน[[อาร์กไซน์]] เป็นต้น

== การแทนในคอมพิวเตอร์ ==
{{บทความหลัก|การแทนจำนวนมีเครื่องหมาย}}
ระบบคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่แทนจำนวนเต็มลบโดยใช้[[ส่วนเติมเต็มสอง]] (two's complement) ในระบบเช่นนั้น −1 จะแทนด้วยค่าบิตทั้งหมดเป็น 1 ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มมีเครื่องหมาย (signed integer) ขนาด 8 บิตที่ใช้ส่วนเติมเต็มสอง จะแทน −1 ด้วยค่า "11111111" หรือ "FF" ใน[[เลขฐานสิบหก]] ถ้าแปลค่านี้เป็นจำนวนเต็มไม่มีเครื่องหมาย (unsigned integer) บิตทั้งหมดจำนวน ''n'' บิตที่เป็น 1 จะหมายถึงค่า 2<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1 ซึ่งเป็นค่ามากที่สุดที่ระบบ ''n'' บิตนั้นเก็บได้ จากตัวอย่างข้างต้น "11111111" ก็จะหมายถึง 2<sup>8</sup>&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;255

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

[[หมวดหมู่:จำนวนเต็ม]]
[[หมวดหมู่:หนึ่ง]]