ดูต้นฉบับสำหรับ แมนิโฟลด์

{{short description|ปริภูมิทอพอโลยีที่ดูใกล้ ๆ เหมือนกับปริภูมิยุคลิเดียน}}

[[File:Klein bottle.svg|thumb|upright=0.65|ภาพ[[Klein bottle|ขวดไคลน์]] (Klein bottle) เมื่อฝังในปริภูมิสามมิติ]]

[[File:Polar stereographic projections.jpg|thumb|right|พื้นผิวของโลกจำเป็นต้องใช้ชาร์ทอย่างน้อยสองชุดเพื่อให้ครอบคลุมทุกจุด ในรูปนี้[[ลูกโลก]]ถูกแยกออกเป็นสองชาร์ทรอบ[[ขั้วโลกเหนือ]]และ[[ขั้วโลกใต้]]]]

ใน[[คณิตศาสตร์]] '''แมนิโฟลด์''' ({{langx|en|manifold}}) เป็น[[Topological space|ปริภูมิเชิงทอพอโลยี]]ที่ใกล้ ๆ แต่ละจุดจะเหมือน[[Euclidean space|ปริภูมิยูคลิเดียน]] หรือให้รัดกุมกว่านั้นคือแมนิโฟลด์มิติ <math display="inline">n</math> หรือเรียกว่า  ''<math>n</math>-แมนิโฟลด์''  เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แต่ละจุดมี[[ย่านใกล้เคียง]]ที่[[Homeomorphism|สมานสัณฐาน]]กับ[[เซตเปิด]]ในปริภูมิยุคลิเดียนมิติ <math display="inline">n</math>

ตัวอย่างแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ เช่น [[เส้นตรง]]และ[[รูปวงกลม|วงกลม]] แต่ไม่รวมเส้นโค้งที่ตัดตัวเองเช่นรูปเลข 8 ในขณะที่แมนิโฟลด์สองมิตินิยมเรียกว่า[[พื้นผิว]] (surface) ตัวอย่างพื้นผิวเช่น [[ระนาบ]] [[ทรงกลม]] [[ทอรัส (เรขาคณิต)|ทอรัส]] และรวมไปถึง[[ขวดไคลน์]] และ[[ระนาบเชิงภาพฉาย|ระนาบจริงเชิงภาพฉาย]]

แนวคิดเรื่องแมนิโฟลด์เป็นหัวใจหลักของเรขาคณิตและฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทั้งนี้เพราะแมนิโฟลด์สามารถใช้อธิบายปริภูมิหรือโครงสร้างที่สลับซับซ้อนในเทอมของทอพอโลยีของปริภูมิที่ง่ายกว่าได้ นอกจากนี้อาจมองแมนิโฟลด์ว่าผลเฉลยของ[[ระบบสมการ]] หรือ[[กราฟของฟังก์ชัน|กราฟ]]ของฟังก์ชันได้ ซึ่งมีประยุกต์ใช้ในงาน[[คอมพิวเตอร์กราฟิกส์]]ที่ต้องสร้างภาพจากระบบพิกัด เช่น ระบบ[[ซีทีสแกน]] 

แมนิโฟลด์อาจมีโครงสร้างเพิ่มขึ้นมาได้อีก ตัวอย่างชั้นของแมนิโฟลด์ที่สำคัญได้แก่ [[แมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้]] (differentiable manifold) ซึ่งมี[[โครงสร้างหาอนุพันธ์ได้]]ทำให้สามารถใช้[[แคลคูลัส]]บนแมนิโฟลด์ได้ การระบุ[[Riemannian metric|เมทริกรีมันเนียน]]บนแมนิโฟลด์สามารถใช้วัด[[ระยะทาง]]และ[[มุม]]ได้ [[Symplectic manifold|แมนิโฟลด์ซิมเพลคติก]]เป็น[[Phase space|ปริภูมิเฟส]]ใน[[กลศาสตร์ดั้งเดิม]]รูปแบบ[[แฮมิลโทเนียน (กลศาสตร์ควอนตัม)|แฮมิลโทเนียน]] และ[[Lorentzian manifold|แมนิโฟลด์ลอเรนเซียน]]สี่มิติใช้จำลอง[[ปริภูมิ-เวลา]]ใน[[ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป]]

== ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ ==

=== วงกลม ===

[[File:Circle with overlapping manifold charts.svg|right|thumb|รูป 1: ชาร์ททั้งสี่บนวงกลมส่งแต่ละส่วนของวงกลมไปยังช่วงเปิด และทั้งสี่ส่วนสามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้พอดี]]
[[รูปวงกลม|วงกลม]]เป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ที่ง่ายที่สุดถัดจากเส้นตรง ในวิชา[[ทอพอโลยี]]ไม่สนใจการบิดงอ ดังนั้นชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของวงกลมจึงมีสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือนกันกับเส้นตรง พิจารณาส่วนของ[[วงกลมหนึ่งหน่วย]]  ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1 เฉพาะส่วนท่อนบนที่ค่าพิกัด ''y'' เป็นค่าบวก (แสดงด้วยส่วนสีเหลืองในรูป 1) ทุกจุดบนส่วนนี้สามารถระบุได้เพียงแบบเดียวโดยอาศัยค่าพิกัด ''x'' เท่านั้น  

ดังนั้น[[Projection|การฉาย]]ส่วนของวงกลมนี้ลงบนแกน x จะเป็นการส่งที่[[ฟังก์ชันต่อเนื่อง|ต่อเนื่อง]]และ[[ฟังก์ชันหาอินเวอร์สได้|หาอินเวอร์ส]]ได้จากส่วนโค้งบน (top) ไปยังช่วงเปิด (−1, 1)
<math display="block"> \chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x . \,</math>
<!-- The \, is to keep the formula rendered as PNG instead of HTML. Please don't remove it.-->

ฟังก์ชันแบบดังกล่าว และบริเวณเปิดที่ส่งไปหาเรียกรวมกันว่า [[ชาร์ท]] (charts, ''แผนที่'') ในทำนองเดียวกันมีชาร์ทสำหรับส่วนล่าง (bottom) ส่วนซ้าย (left) และส่วนขวา (right) ของวงกลม 
<math display="block">\begin{align}
  \chi_\mathrm{bottom}(x, y) &= x \\
    \chi_\mathrm{left}(x, y) &= y \\
   \chi_\mathrm{right}(x, y) &= y.
\end{align}</math>

รวมกันแล้วชาร์ททั้งหมดคลุมวงกลมทั้งวง และชาร์ททั้งสี่ประกอบกันเป็น[[แอตลาส]] (atlas) ของวงกลม

ชาร์ทบน <math>\chi_\mathrm{top}</math> และชาร์ทขวา  <math>\chi_\mathrm{right}</math> ต่างมีส่วนทับกันบนโดเมนของมัน จะเห็นว่าเป็นบริเวณซ้อนทับระหว่างสีเหลืองและสีเขียว ซึ่งเป็นส่วนของวงกลมที่พิกัด <math>x</math> และ <math>y</math> เป็นบวกทั้งคู่ ชาร์ททั้งสองส่งส่วนซ้อนทับนี้ไปบนช่วง <math>(0,1)</math> แต่ว่าส่งต่างกัน ดังนั้นเราอาจพิจารณาฟังก์ชัน <math> T:(0,1)\rightarrow(0,1)=\chi_\mathrm{right} \circ \chi^{-1}_\mathrm{top}</math> ได้

ให้ ''a'' เป็นจำนวนจริงใด ๆ ในช่วง <math>(0,1)</math> แล้ว:
<math display="block">\begin{align}
 T(a) &= \chi_\mathrm{right}\left(\chi_\mathrm{top}^{-1}\left[a\right]\right) \\
      &= \chi_\mathrm{right}\left(a, \sqrt{1 - a^2}\right) \\
      &= \sqrt{1 - a^2}
\end{align}</math>

ฟังก์ชัน <math>T</math> แบบข้างต้นเรียกว่า [[Atlas (topology)#Transition maps|''transition map'']]

[[File:Circle manifold chart from slope.svg|right|thumb|ภาพที่ 2: ชาร์ทของวงกลมที่ใช้ความชัน ครอบคลุมทุกจุกยกเว้นจุดเพียงจุดเดียวบนวงกลม]]

ชาร์ททั้งสี่ไม่ใช่แอตลาสเดียวที่เป็นไปได้สำหรับวงกลม พิจารณาชาร์ท
<math display=block>\chi_\mathrm{minus}(x, y) = s = \frac{y}{1 + x}</math>
และ
<math display=block>\chi_\mathrm{plus}(x, y) = t = \frac{y}{1 - x}</math>

ในที่นี้ ''s'' คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (''x'',&nbsp;''y'') และจุด (−1,&nbsp;0) ในทำนองเดียวกัน ''t'' เป็นค่าลบของความชันของเส้นตรงที่ผ่านพิกัด (''x'',&nbsp;''y'') และ (+1,&nbsp;0) จะได้การส่งอินเวอร์สจาก ''s'' ไปยัง (''x'',&nbsp;''y'') นั้นกำหนดโดย
<math display=block>\begin{align}
  x &= \frac{1 - s^2}{1 + s^2} \\[5pt]
  y &= \frac{2s}{1 + s^2}
\end{align}</math>

สามารถตรวจสอบได้ว่า ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1 สำหรับทุกค่า ''s'' และ ''t'' ชาร์ททั้งสองเป็นแอตลาสอันที่สองสำหรับวงกลม โดยมี transition map คือ
<math display=block>t = \frac{1}{s}</math>
(สำหรับทุกจุดที่ทั้ง ''s'' และ ''t'' ไม่เป็นศูนย์)

แต่ละชาร์ทจะไม่มีจุดอยู่หนึ่งจุด ได้แก่ (−1,&nbsp;0) สำหรับ ''s'' หรือ (+1,&nbsp;0) สำหรับ ''t'' ตามลำดับ ฉะนั้นชาร์ทเดียวจึงไม่สามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้ และสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีชาร์ทเดียวอันใดสามารถคลุมวงกลมได้ทั้งหมด 

=== ทรงกลม ===
[[ทรงกลม]]เป็นตัวอย่างของพื้นผิว ทรงกลมหนึ่งหน่วยที่กำหนดโดย[[สมการโดยปริยาย]]
:{{math|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> – 1 = 0}}
สามารถใช้ชาร์ทหกอันคลุมได้ดังนี้ ระนาบ {{math|1=''z'' = 0}} จะตัดทรงกลมออกเป็นสองครึ่ง ({{math|''z'' > 0}} และ {{math|''z'' < 0}}) ซึ่งสามารถส่งไปยังดิสก์ {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> < 1}} ด้วยการฉายลงบนระนาบ  {{math|''xy''}} ทำให้ได้ชาร์ทสองอัน และอีกสี่ชาร์ทที่เหลือนั้นทำคล้าย ๆ กัน

เช่นเดียวกันกับวงกลม เราอาจหาชาร์ทที่เกือบคลุมทั้งทรงกลมเว้นแต่เพียงจุดหนึ่ง ฉะนั้นสองชาร์ทนั้นเพียงพอในการคลุมทรงกลม แต่ไม่สามารถทำได้ด้วยชาร์ทเดียว

ตัวอย่างนี้สำคัญในทางประวัติศาสตร์ และเป็นที่มาของคำว่าชาร์ทและแอตลาส พื้นผิวของ[[โลก]]ไม่สามารถทำออกมาเป็นแผนที่ระนาบเพียงอันเดียวได้ ฉะนั้นต้องใช้แอตลาสหรือสมุดแผนที่ (atlas) เพื่อครอบคลุมพื้นผิวของโลกทั้งหมด

=== เส้นโค้งอื่น ๆ ===
[[File:Conics and cubic.svg|right|thumb|แมนิโฟลด์สี่อันจาก[[เส้นโค้งเชิงพีชคณิต]]: {{colorbull|#bc1e47}}&nbsp;วงกลม, {{colorbull|#fec200}}&nbsp;พาราโบลา, {{colorbull|#0081cd}}&nbsp;ไฮเพอร์โบลา, {{colorbull|#009246}}&nbsp;เส้นโค้งกำลังสาม]]
แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็น[[ปริภูมิเชื่อมโยง]] (ติดกันเป็นชิ้นเดียว) ตัวอย่างเช่น วงกลมสองวงเป็นแมนิโฟลด์ และแมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็น[[เซตปิด]] ฉะนั้นส่วนของเส้นตรงที่ไม่มีจุดปลายก็เป็นแมนิโฟลด์ 

ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ เช่น  [[พาราโบลา]], [[ไฮเพอร์โบลา]] และทางเดินของจุดบนเส้นโค้งกำลังสาม {{nowrap|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x''}} ซึ่งมีสองส่วน

ตัวอย่างของปริภูมิที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์เช่น รูปเลข 8 ซึ่งไม่มีชาร์ทที่เหมาะสมสำหรับจุดตัดของวงกลมทั้งสองได้

== นิยามทางคณิตศาสตร์ ==
{{Further|แคทิกอรีของแมนิโฟลด์}}

ถ้าจะกล่าวโดยง่าย แมนิโฟลด์คือ[[ปริภูมิ]]ที่จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน แมนิโฟลด์อื่นที่ศึกษาเกิดจากการระบุโครงสร้างเพิ่มเติมไปบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีซึ่งจะได้นิยามด้านล่าง

=== แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี ===
ให้ <math>X</math> เป็น[[ปริภูมิเชิงทอพอโลยี]] จะกล่าวว่า <math>X</math> เป็น'''แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี''' (topological manifold) หากมีสมบัติดังต่อไปนี้

# <math>X</math> เป็น[[Hausdorff space|ปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์]] (Hausdorff space) 
# <math>X</math> เป็น[[Second countable|ปริภูมินับได้อันดับสอง]] (second countable)
# <math>X</math> สมานสัณฐานเฉพาะที่กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ <math>n</math> (locally homeomorphic to <math>\R^n</math>)

เงื่อนไขการเป็นเป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์และการเป็นปริภูมินับได้อันดับสองเป็นเงื่อนไขทางทอพอโลยีที่ตัดกรณีที่ "ไม่เหมาะ" จะพิจารณาเช่น [[เส้นตรงยาว]] (long line) หรือเส้นตรงที่มีจุดกำเนิดสองจุด (line with two origins) 

เงื่อนไขที่เสนอว่าแมนิโฟลด์จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน คือการที่ <math>X</math> ''สมานสัณฐานเฉพาะที่''กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ <math>n</math> นั่นคือแต่ละจุดจะมี[[ย่านใกล้เคียง]]ที่[[สมานสัณฐาน]]กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ <math>n</math> สำหรับบางจำนวนนับ <math>n</math> ภาวะสมานสัณฐานสื่อถึงการมีคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือน ๆ กันระหว่างปริภูมิยูคลิเดียนและย่านใกล้เคียงรอบแต่ละจุด

ค่า <math>n</math> ที่ปรากฎเรียกว่า''มิติเฉพาะที่'' (local dimension) ของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี โดยทั่วไปเรากำหนดให้แมนิโฟลด์จะต้องมีมิติเฉพาะที่เท่ากันทุกจุด ซึ่งเป็นจริงสำหรับแมนิโฟลด์[[Connectedness (topology)|เชื่อมโยง]] แต่หนังสือบางเล่มอาจยอมให้แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง และแต่ละจุดอาจจะมี[[มิติ]]ที่แตกต่างกัน<ref>E.g. see {{citation|title=Differential-Algebraic Systems: Analytical Aspects and Circuit Applications|first=Ricardo|last=Riaza|publisher=World Scientific|year=2008|isbn=9789812791818|page=110|url=https://books.google.com/books?id=HoOWxqWru1cC&pg=PA110}}; {{citation|title=Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, Volume 2|first=R. C.|last=Gunning|publisher=CRC Press|year=1990|isbn=9780534133092|page=73|url=https://books.google.com/books?id=dKYhlJB1iOgC&pg=PA73}}.</ref> 

ในมุมมองทาง[[Sheaf|ทฤษฎีชีฟ]] แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีเป็น[[Locally ringed space|ปริภูมิมีริงเฉพาะที่]] (locally ringed space) ที่มีชีฟโครงสร้างที่สมสัณฐานเฉพาะที่กับชีฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิยูคลิเดียน นี่เป็นมุมมองสำหรับแมนิโฟลด์ใน[[เรขาคณิตเชิงพีชคณิต]]

== หมายเหตุ ==
{{Reflist|40em}}

== อ้างอิง ==

* [[Michael Freedman|Freedman, Michael H.]], and Quinn, Frank (1990) ''Topology of 4-Manifolds''. Princeton University Press. {{isbn|0-691-08577-3}}.
* [[Victor Guillemin|Guillemin, Victor]] and Pollack, Alan (1974) ''Differential Topology''. Prentice-Hall. {{isbn|0-13-212605-2}}. Advanced undergraduate / first-year graduate text inspired by Milnor.
* Hempel, John (1976) ''3-Manifolds''. Princeton University Press. {{isbn|0-8218-3695-1}}.
* [[Morris Hirsch|Hirsch, Morris]], (1997) ''Differential Topology''. Springer Verlag. {{isbn|0-387-90148-5}}. The most complete account, with historical insights and excellent, but difficult, problems. The standard reference for those wishing to have a deep understanding of the subject.
* [[Robion Kirby|Kirby, Robion C.]] and Siebenmann, Laurence C. (1977) ''Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations''. Princeton University Press. {{isbn|0-691-08190-5}}. A detailed study of the [[Category theory|category]] of topological manifolds.
* Lee, John M. (2000) ''Introduction to Topological Manifolds''. Springer-Verlag. {{isbn|0-387-98759-2}}. Detailed and comprehensive first-year graduate text.
* Lee, John M. (2003) ''[[iarchive:GraduateTextsInMathematics218LeeJ.M.IntroductionToSmoothManifoldsSpringer2012|Introduction to Smooth Manifolds]]''. Springer-Verlag. {{isbn|0-387-95495-3}}. Detailed and comprehensive first-year graduate text; sequel to ''Introduction to Topological Manifolds''.
* [[William S. Massey|Massey, William S.]] (1977) ''Algebraic Topology: An Introduction''. Springer-Verlag. {{isbn|0-387-90271-6}}.
* [[John Milnor|Milnor, John]] (1997) ''Topology from the Differentiable Viewpoint''. Princeton University Press. {{isbn|0-691-04833-9}}. Classic brief introduction to differential topology.
* [[James Munkres|Munkres, James R.]] (1991) ''[[iarchive:MunkresJ.R.AnalysisOnManifolds|Analysis on Manifolds]]''.  Addison-Wesley (reprinted by Westview Press) {{isbn|0-201-51035-9}}. Undergraduate text treating manifolds in <math>\R^n</math>.
* [[James Munkres|Munkres, James R.]] (2000) ''Topology''. Prentice Hall. {{isbn|0-13-181629-2}}.
* Neuwirth, L. P., ed. (1975) ''Knots, Groups, and 3-Manifolds. Papers Dedicated to the Memory of R. H. Fox''. Princeton University Press. {{isbn|978-0-691-08170-0}}.
* [[Bernhard Riemann|Riemann, Bernhard]], ''Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass'', Sändig Reprint. {{isbn|3-253-03059-8}}.
** ''[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Grund/ Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse.]'' The 1851 doctoral thesis in which "manifold" (''Mannigfaltigkeit'') first appears.
** ''[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/ Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.]'' The 1854 Göttingen inaugural lecture (''Habilitationsschrift'').
* [[Michael Spivak|Spivak, Michael]] (1965) ''[[iarchive:SpivakM.CalculusOnManifoldsPerseus2006Reprint|Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus]]''. W.A. Benjamin Inc. (reprinted by Addison-Wesley and Westview Press). {{isbn|0-8053-9021-9}}. [[Calculus on Manifolds (book)|Famously terse]] advanced undergraduate / first-year graduate text.
* [[Michael Spivak|Spivak, Michael]] (1999) ''A Comprehensive Introduction to Differential Geometry'' (3rd edition) Publish or Perish Inc.  Encyclopedic five-volume series presenting a systematic treatment of the theory of manifolds, Riemannian geometry, classical differential geometry, and numerous other topics at the first- and second-year graduate levels.
* {{cite book|last1=Tu|first1=Loring W.|url=https://www.springer.com/gb/book/9781441973993|title=An Introduction to Manifolds|date=2011|publisher=Springer|isbn=978-1-4419-7399-3|edition=2nd|location=New York}}. Concise first-year graduate text.

== แหล่งข้อมูลอื่น ==

* {{springer|title=Manifold|id=p/m062210}}
* [http://www.dimensions-math.org/Dim_E.htm Dimensions-math.org] (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)
* The [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de manifold atlas] project of the [http://www.mpim-bonn.mpg.de Max Planck Institute for Mathematics in Bonn]

[[หมวดหมู่:แมนิโฟลด์]]