ดูต้นฉบับสำหรับ แฟร็กทัล

[[ไฟล์:Mandelpart2.jpg|right|thumbnail|300px|ภาพแฟร็กทัล จาก [[เซตม็องแดลโบรต]], วาดโดยการพล็อตสมการวนซ้ำไปเรื่อย ๆ]]

'''แฟร็กทัล''' หรือ '''สาทิสรูป''' ({{langx|en|fractal}}) ในปัจจุบันเป็นคำที่ใช้ในเชิง[[วิทยาศาสตร์]]และ[[คณิตศาสตร์]] หมายถึง วัตถุทาง[[เรขาคณิต]] ที่มีคุณสมบัติ[[คล้ายตนเอง]] คือ ดูเหมือนกันไปหมด (เมื่อพิจารณาจากแง่ใดแง่หนึ่ง) ไม่ว่าจะดูที่ระดับความละเอียด (โดยการส่องขยาย) หรือ สเกลใดก็ตาม

คำว่า แฟร็กทัล นี้ [[เบอนัว ม็องแดลโบรต]] เป็นคนบัญญัติขึ้นในปี [[ค.ศ. 1975]] จากคำว่า ''fractus'' ใน[[ภาษาละติน]] ซึ่งแปลว่า แตก หรือ ร้าว

== ประวัติ ==
[[ไฟล์:Flocke.PNG|right|thumb|เกล็ดหิมะค็อค]]
ได้มีการค้นพบสิ่งที่เรารู้จักกันในนามของแฟร็กทัลมานานก่อนที่คำว่า "แฟร็กทัล" จะได้รับการบัญญัติขึ้นมาใช้เรียกสิ่งเหล่านี้ ในปี [[ค.ศ. 1872]] [[คาร์ล ไวเออร์ชตรัสส์]] (Karl Weierstrass) ได้ยกตัวอย่างของ[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]] ที่มีคุณสมบัติ "everywhere continuous but nowhere differentiable" คือ มีความต่อเนื่องที่ทุกจุด แต่ไม่สามารถหาค่า[[อนุพันธ์]]ได้ ต่อมาในปี [[ค.ศ. 1904]] [[เฮลเก ฟอน ค็อค]] (Helge von Koch) ได้ยกตัวอย่างทางเรขาคณิต ซึ่งได้รับการเรียกขานในปัจจุบันนี้ว่า "[[เกล็ดหิมะค็อค]]" (Koch snowflake) ต่อมาในปี [[ค.ศ. 1938]] [[พอล ปีแอร์ ลาวี]] (Paul Pierre Lévy) ได้ทำการศึกษา รูปร่างของ กราฟ (curve และ surface) ซึ่งมีคุณสมบัติที่ส่วนประกอบย่อย มีความเสมือนกับโครงสร้างโดยรวมของมัน คือ "Lévy C curve" และ "Lévy dragon curve"

[[เกออร์ก คันทอร์]] (Georg Cantor) ก็ได้ยกตัวอย่างของ เซตย่อยของจำนวนจริง ซึ่งมีคุณสมบัติแฟร็กทัลนี้ เป็นที่รู้จักกันในชื่อ [[เซตคันทอร์]] หรือ [[ฝุ่นคันทอร์]] จากการศึกษาเซตคันทอร์นี้ นักคณิตศาสตร์ เช่น Constantin Carathéodory และ Felix Hausdorff ได้ขยายความแนวคิดเรื่อง มิติ (dimension) จากเดิมที่เป็นจำนวนเต็ม ให้ครอบคลุมถึงมิติที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม นอกจากนั้น นักคณิตศาสตร์อีกหลายคน ในช่วงปลาย[[คริสต์ศตวรรษที่ 19]] ถึงต้น[[คริสต์ศตวรรษที่ 20]] เช่น [[อองรี ปวงกาเร]], [[เฟลิกซ์ คลิน]] (Felix Klein), [[ปิแอร์ ฟาตู]] (Pierre Fatou) และ [[กาสตง จูเลีย]] (Gaston Julia) ได้ศึกษา[[ฟังก์ชันวนซ้ำ]] (Iterated function) ซึ่งมีความเกี่ยวพันอย่างใกล้ชิดกับ คุณสมบัติ[[ความคล้ายตนเอง]] (self-similarity) แต่บุคคลเหล่านั้นก็ไม่ได้เห็นถึงความสวยงามของภาพจาก itereated functions ที่เราได้เห็นกัน เนื่องจากการแสดงผลที่ต้องใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์กราฟิก ซึ่งพัฒนาขึ้นในภายหลัง

ในปี [[ค.ศ. 1960]] [[เบอนัว ม็องแดลโบรต]] ได้ทำการศึกษาถึงคุณสมบัติความคล้ายตนเอง นี้ และตีพิมพ์บทความชื่อ ''How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension.'' แมนดัลบรอ ได้เห็นถึงความสัมพันธ์ของผลงานในเรื่องต่าง ๆ ในอดีต ซึ่งดูราวกับจะเป็นคนละเรื่องไม่มีความสัมพันธ์กัน เขาได้รวบรวมแนวความคิด และบัญญัติคำว่า แฟร็กทัล ขึ้น เพื่อใช้ระบุถึงวัตถุที่มีคุณสมบัติความคล้ายตนเอง

== คำจำกัดความ ==
[[ไฟล์:Julia set (highres 01).jpg|thumb|[[เซตจูเลีย]]]]
แฟร็กทัล นั้นนอกจากเป็นวัตถุที่มี [[ความคล้ายตนเอง]] แล้วยังมีอีกคุณสมบัติหนึ่งคือ มี[[มิติ]]<ref>มิติ นั้นมีหลายนิยาม ขึ้นกับ[[ทฤษฎีการวัด|การวัด]] (measure) ที่ใช้ เช่น [[มิติเฮาส์ดอร์ฟ]] (Hausdorff dimension), box-counting (หรือ Minkowski) dimension, packing dimension, และอื่น ๆ </ref>[[มิติเฮาส์ดอร์ฟ|เฮาส์ดอร์ฟ]] (Hausdorff) ไม่เป็นจำนวนเต็ม (นิยามโดย เบอนัว ม็องแดลโบรต ไว้ว่า ''A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.'') แต่คำจำกัดความนี้ดูเหมือนจะมีปัญหาอยู่มาก เนื่องจาก ปรากฏว่ามีวัตถุที่มีรูปร่างเป็นแฟร็กทัล แต่ไม่ได้เป็นไปตามคุณสมบัติมิตินี้

คำจำกัดความของสิ่งที่เราเรียกว่า แฟร็กทัล นั้นจะค่อนข้างกำกวม ไม่ชัดเจนเนื่องจาก
* สิ่งที่เราพิจารณาอยู่ในขอบข่ายของ แฟร็กทัล นั้นจะเป็นสิ่งที่ "irregular" หรือ ไม่สม่ำเสมอ คือไม่อยู่ในขอบข่ายที่จะพิจารณาด้วย [[เรขาคณิต]]แบบดั้งเดิมได้ แต่ว่าขอบข่ายของความไม่สม่ำเสมอที่เราพิจารณานั้น ไม่สามารถระบุให้ชัดเจนได้
* คุณสมบัติ[[ความคล้ายตนเอง]] นั้น มองได้หลายแง่มุม ความเหมือนนั้นเหมือนได้หลายแง่ เช่น นอกจากเหมือนกันทุกประการ ยังมีเหมือนในเชิง[[สถิติ]] และอื่น ๆ ซึ่งทำให้คำจำกัดความนั้นไม่สามารถระบุเด่นชัดลงไปได้
* เมื่อมองในแง่ของการสร้างแฟร็กทัลโดยการใช้โครงสร้างทำซ้ำ หรือ recursive จะเห็นว่าเราสามารถจะระบุแฟร็กทัลนั้น ด้วยโครงสร้าง recursive ของมันได้ แต่ในความเป็นจริง มีเพียงบางแฟร็กทัลเท่านั้น ที่เราสามารถระบุด้วยโครงสร้าง recursive ได้

== ประเภทของแฟร็กทัลและตัวอย่าง ==
[[ไฟล์:KochFlake.png|right|thumb|วิธีการสร้างเกล็ดหิมะค็อค 4 ขั้นตอนแรก]]
แฟร็กทัลสามารถจำแนกออกเป็นสามประเภทตามวิธีการสร้างดังนี้

แฟร็กทัลประเภทแรกมีรูปแบบการสร้างแบบง่าย ๆ โดยอาศัยหลักการวนซ้ำกฎเกณฑ์ที่กำหนดไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด เช่น
[[เซตคันทอร์]], [[ฝุ่นคันทอร์]] และ [[ฟังก์ชันคันทอร์]] ซึ่งจัดเป็นหนึ่งในฟังก์ชันประเภทที่เรียกว่า [[Devil's staircase]],
[[เกล็ดหิมะค็อค|เส้นโค้งค็อค และ เกล็ดหิมะค็อค]],
[[พรมซูร์พินสกี]] (Sierpinski carpet), [[สามเหลี่ยมซูร์พินสกี]] (Sierpinski triangle)
[[Space-filling curve]] หรือ [[Peano curve]]
และ [[เส้นโค้งมังกร]] เป็นต้น แฟร็กทัลประเภทนี้มีคุณสมบัติคล้ายตนเองอย่างสมบูรณ์ (exact self-similarity)

แฟร็กทัลอีกจำนวนหนึ่งมีที่มาจากการศึกษา[[ทฤษฎีความอลวน]] เรียกว่า '''escape-time fractal''' ตัวอย่างเช่น [[เซตจูเลีย]], [[เซตม็องแดลโบรต]], [[แฟร็กทัล Burning Ship]] และ [[แฟร็กทัลไลยาปูนอฟ]] (Lyapunov) แฟร็กทัลสร้างจากวนซ้ำสมการ <math>f_c(z)</math> ไปเรื่อย ๆ หรือเขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์คือ <math>f_c(f_c(f_c(...)))</math> และสร้างกราฟของค่าพารามิเตอร์ <math>c</math> หรือค่าเริ่มต้นของ <math>z</math> ที่ให้ผลลัพธ์ที่อลวน แฟร็กทัลเหล่านี้มักมีคุณสมบัติคล้ายตนเองที่ไม่สมบูรณ์ กล่าวคือ เมื่อขยายแฟร็กทัลดูส่วนที่เล็กลงจะพบว่ามีรูปร่างคล้ายแต่ไม่เหมือนรูปร่างของเดิมซะทีเดียว (quasi-self-similarity)

[[ไฟล์:Animated fractal mountain.gif|left|thumb|200px|แฟร็กทัลที่จำลองแบบผิวหน้าของภูเขา สร้างโดยการสุ่ม]]แฟร็กทัลประเภทสุดท้าย สร้างโดยกระบวนการ[[สโตคาสติก]] หรือ การสุ่ม เช่น [[การเคลื่อนที่แบบบราวเนียน]] [[ต้นไม้บราวเนียน]] เป็นต้น แฟร็กทัลลักษณะนี้ เฉพาะค่าทางสถิติของแฟร็กทัลที่สเกลต่าง ๆ เท่านั้นที่มีลักษณะเหมือนกัน (statistical self-similarity)

== แฟร็กทัลในธรรมชาติ ==
[[ไฟล์:Bransleys fern.png|right|thumb|120px|ภาพใบเฟิร์นที่สร้างโดยคอมพิวเตอร์โดยเทคนิกแฟร็กทัล]]
สิ่งที่มีลักษณะใกล้เคียงกับแฟร็กทัลสามารถพบได้ง่ายในธรรมชาติ ตัวอย่างสิ่งของที่มีคุณลักษณะความคล้ายตนเองในระดับหนึ่ง เช่น [[เมฆ]] [[เกล็ดหิมะ]] [[ภูเขา]] สายฟ้าใน[[ฟ้าผ่า]] การแตกสาขาของ[[แม่น้ำ]] ปุ่มบน[[ดอกกะหล่ำ]] การแตกแขนงของ[[เส้นเลือดฝอย]] เป็นต้น ซึ่งเมื่อนำวัตถุนั้นมาขยายแล้วจะพบว่ามีรูปร่างคล้ายกับของเดิม แต่วัตถุในธรรมชาติก็มีข้อจำกัดคือเมื่อขยายมาก ๆ เช่น จนถึงระดับ [[เซลล์ (ชีววิทยา)|เซลล์]] หรือ โมเลกุล จะไม่เหลือคุณสมบัติความคล้ายตนเองเหลืออยู่

ต้นไม้และ[[เฟิร์น]] ก็มีคุณสมบัติแฟร็กทัลในธรรมชาติของมัน เช่น กิ่งของต้นไม้ดูคล้ายต้นไม้ทั้งต้นแต่มีขนาดเล็กลง ส่วนย่อย ๆ ของใบเฟิร์นก็เช่นกัน ด้วยคุณสมบัติความคล้ายตนเองนี้ เราสามารถสร้างแบบจำลองของต้นไม้และในเฟิร์นบนเครื่องคอมพิวเตอร์ได้ง่ายโดยวิธีวนซ้ำ

== แฟร็กทัลในทางศิลปะ ==
แฟร็กทัลยังพบได้ในงานศิลปะ ตัวอย่างเช่นภาพเขียนของจิตรกรชาวอเมริกัน แจ็คสัน พอลล็อก (Jackson Pollock) ซึ่งดูผิวเผินจะประกอบด้วยหยดหมึกหรือแต้มหมึกที่ไม่เป็นระเบียบ แต่จากการวิเคราะห์ด้วยคอมพิวเตอร์ก็พบรูปแบบของแฟร็กทัลในงานของเขา<ref>{{Cite web |url=http://www.phys.unsw.edu.au/PHYSICS_!/FRACTAL_EXPRESSIONISM/fractal_taylor.html |title=Richard Taylor, Adam P. Micolich and David Jonas. ''Fractal Expressionism : Can Science Be Used To Further Our Understanding Of Art?'' |access-date=2007-07-15 |archive-date=2007-08-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070819234215/http://www.phys.unsw.edu.au/PHYSICS_!/FRACTAL_EXPRESSIONISM/fractal_taylor.html |url-status=dead }}</ref>

แฟร็กทัลยังพบได้มากในศิลปะและสถาปัตยกรรมในแบบแอฟริกา เช่น บ้านรูปวงกลมเล็ก ๆ ตั้งเรียงกันเป็นรูปวงกลมใหญ่ขึ้นและใหญ่ขึ้น บ้านรูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีรูปสี่เหลี่ยมขนาดเล็กประกอบ เป็นต้น ลวดลายของรูปร่างหนึ่ง ๆ ในหลายสเกลยังพบในสิ่งทอ รูปปั้น หรือแม้กระทั่งทรงผมในแบบแอฟริกัน<ref name="African art">{{cite web |url=http://www.rpi.edu/~eglash/eglash.dir/afractal/afractal.htm |first=Ron |last=Eglash |title=African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design |location=New Brunswick |publisher=Rutgers University Press |year=1999 |access-date=October 17, 2010 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180103005701/http://homepages.rpi.edu/~eglash/eglash.dir/afractal/afbook.htm |archive-date=January 3, 2018 |url-status=dead }}</ref>

<gallery>
ไฟล์:Glue1 800x600.jpg|แฟร็กทัลเกิดขึ้นเมื่อดึงแผ่น[[อคริลิก]]ที่ติดกันด้วยกาวออกจากกัน
ไฟล์:Square1.jpg|การป้อนไฟฟ้าแรงสูงให้กับก้อนอคริลิกจนแตกให้เห็นรูปแฟร็กทัลที่เรียกว่า [[Lichtenberg figure]]
ไฟล์:Microwaved-DVD.jpg|แฟร็กทัลที่เกิดขึ้นจากรอยแตกบนผิวของแผ่น[[ดีวีดี]]เมื่อโดนรังสีจาก[[ไมโครเวฟ]]<ref name='J. Phys. A 21 July 1990'>{{cite journal|title=The fractal nature of a fracture surface|journal=[[Journal of Physics A]]|date=21 July 1990|first=Gongwen|last=Peng|first2=Decheng|last2=Tian|volume=|issue=14|pages=3257-3261|doi=10.1088/0305-4470/23/14/022}}</ref>
ไฟล์:Fractal Broccoli.jpg|[[กะหล่ำดอกเจดีย์]]มีลักษณะของแฟร็กทัล
ไฟล์:DLA Cluster.JPG|การงอกของผลึกทองแดงในสารละลาย[[คอปเปอร์ซัลเฟต]]ในการชุบโลหะด้วยไฟฟ้า
ไฟล์:Phoenix(Julia).gif|ภาพขยาย [[phoenix set]]
</gallery>

== การประยุกต์ใช้งาน ==
[[ไฟล์:U.S. Marines Combat Utility Uniforms 2003, Full-Color Plate (2003), by John M. Carrillo.png|right|thumb|ชุดพรางที่ลายสร้างจากแฟร็กทัล]]
[[ไฟล์:Schwarzbeck UHALP 9108 A.jpg|right|thumb|สายอากาศแบบ log-periodic]]
ทฤษฎีและผลจากการศึกษาแฟร็กทัล สามารถนำมาประยุกต์ใช้กับงานหลาย ๆ ด้าน ตัวอย่างที่สำคัญเช่น

[[เรขภาพคอมพิวเตอร์|การสร้างภาพในคอมพิวเตอร์]] สามารถใช้กฎเกณฑ์[[การเรียกตนเอง]] (recursion) มาเขียนโปรแกรมสร้างภาพของสิ่งต่าง ๆ ที่โดยธรรมชาติมีลักษณะใกล้เคียงแฟร็กทัล เช่น ต้นไม้ ภูเขา มาใส่ใน[[เกมคอมพิวเตอร์]] หรือสร้างเป็นฉากกราฟิกส์ใน[[ภาพยนตร์]] โดยโปรแกรมที่เขียนจากหลักการเรียกตนเองมีขนาดเล็ก ในทางกลับกันเราสามารถใช้แฟล็กทัลมาประยุกต์กับ[[การบีบอัดข้อมูล]]สัญญาณและภาพ โดยการหาค่าพารามิเตอร์ของสมการวนซ้ำที่ให้ได้ผลลัพธ์ใกล้เคียงกับสัญญาณหรือภาพที่ต้องการ และใช้ค่าพารามิเตอร์นั้นเป็นข้อมูลที่ถูกบีบแล้ว

เราสามารถใช้วนซ้ำมาสังเคราห์เสียง[[ดนตรี]]แนวใหม่ สร้างงานศิลปะแปลกใหม่ ออกแบบแฟชั่น ลวดลายบนชุดพรางตัวของทหาร[[นาวิกโยธิน]]สหรัฐที่เรียกว่า MARPAT (MARine Disruptive PATtern) ซึ่งมีลวดลายไม่เป็นระเบียบ สามารถกลมกลืนกับธรรมชาติได้ดี ก็สร้างขึ้นจากหลักการแฟล็กทัล<ref>สิทธิบัตรของหน่วยนาวิกโยธินสหรัฐ [http://www.freepatentsonline.com/6805957.html Camouflage U.S. Marine corps utility uniform: pattern, fabric, and design]</ref>

รอยร้าวต่าง ๆ ลักษณะแตกแขนงย่อย ๆ ออกไปเหมือนแฟร็กทัล จึงมีประโยชน์ในการคาดคะเนการแตกหักในวิชา[[กลศาสตร์]] (Fracture mechanics) และใช้ในการศึกษาด้านแผ่นดินไหว (Seismology)

อีกตัวอย่างการใช้งาน คือ [[สายอากาศแบบแฟร็กทัล]] ที่มีขนาดเล็กแต่สามารถรับส่งคลื่นความถี่ได้หลากหลาย [[สายอากาศ]]ที่ใช้รับสัญญาณโทรทัศน์ ก็มีลักษณะความคล้ายตนเองเช่นเดียวกัน

== ดูเพิ่ม ==
* [[ทฤษฎีความอลวน]]

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

== อ่านเพิ่ม ==
* Barnsley, Michael F.; and Rising, Hawley; ''Fractals Everywhere''. Boston: Academic Press Professional, 1993. {{isbn|0-12-079061-0}}
* Duarte, German A.; ''Fractal Narrative. About the Relationship Between Geometries and Technology and Its Impact on Narrative Spaces''. Bielefeld: Transcript, 2014. {{isbn|978-3-8376-2829-6}}
* Falconer, Kenneth; ''Techniques in Fractal Geometry''. John Wiley and Sons, 1997. {{isbn|0-471-92287-0}}
* Jürgens, Hartmut; [[Heinz-Otto Peitgen|Peitgen, Heinz-Otto]]; and Saupe, Dietmar; ''Chaos and Fractals: New Frontiers of Science''. New York: Springer-Verlag, 1992. {{isbn|0-387-97903-4}}
* [[Benoit Mandelbrot|Mandelbrot, Benoit B.]]; ''[[The Fractal Geometry of Nature]]''. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. {{isbn|0-7167-1186-9}}
* Peitgen, Heinz-Otto; and Saupe, Dietmar; eds.; ''The Science of Fractal Images''. New York: Springer-Verlag, 1988. {{isbn|0-387-96608-0}}
* [[Clifford A. Pickover|Pickover, Clifford A.]]; ed.; ''Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey – A 10 Year Compilation of Advanced Research''. Elsevier, 1998. {{isbn|0-444-50002-2}}
* Jones, Jesse; ''Fractals for the Macintosh'', Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. {{isbn|1-878739-46-8}}.
* Lauwerier, Hans; ''Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures'', Translated by Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. {{isbn|0-691-08551-X}}, cloth. {{isbn|0-691-02445-6}} paperback. "This book has been written for a wide audience..." Includes sample BASIC programs in an appendix.
* {{Cite book | last=Sprott | first=Julien Clinton | title=Chaos and Time-Series Analysis | publisher=Oxford University Press | year=2003 | isbn=978-0-19-850839-7 }}
* Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; and Kampman, Eric; [http://www.fractalexplorer.com ''Exploring Fractals on the Macintosh''], Addison Wesley, 1995. {{isbn|0-201-62630-6}}
* Lesmoir-Gordon, Nigel; ''The Colours of Infinity: The Beauty, The Power and the Sense of Fractals''. 2004. {{isbn|1-904555-05-5}} (The book comes with a related DVD of the [[Arthur C. Clarke]] documentary introduction to the fractal concept and the [[Mandelbrot set]].)
* Liu, Huajie; ''Fractal Art'', Changsha: Hunan Science and Technology Press, 1997, {{isbn|9787535722348}}.
* Gouyet, Jean-François; ''Physics and Fractal Structures'' (Foreword by B. Mandelbrot); Masson, 1996. {{isbn|2-225-85130-1}}, and New York: Springer-Verlag, 1996. {{isbn|978-0-387-94153-0}}. Out-of-print. Available in PDF version at.{{cite web |url=http://www.jfgouyet.fr/fractal/fractauk.html |title=Physics and Fractal Structures |language=fr |publisher=Jfgouyet.fr |access-date=October 17, 2010 |archive-date=2010-06-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100618150223/http://www.jfgouyet.fr/fractal/fractauk.html |url-status=dead }}
* {{Cite book |first1=Kenneth |last1=Falconer |title=Fractals, A Very Short Introduction |publisher=Oxford University Press |year=2013 }}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
{{Commons|Fractal}}
* {{webarchive |url=http://webarchive.loc.gov/all/20011116035117/http://dmoz.org/science/math/chaos_and_fractals/ |title=Fractals |date=November 16, 2001}}
* "[https://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/hunting-hidden-dimension.html Hunting the Hidden Dimension]", [[PBS]] ''[[Nova (American TV series)|NOVA]]'', first aired August 24, 2011
* [https://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_and_the_art_of_roughness Benoit Mandelbrot: Fractals and the Art of Roughness] ({{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140217132541/http://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.html |date=February 17, 2014 }}), [[TED (conference)|TED]], February 2010
* [http://www.arifractal.com/technical-library/fractals Technical Library on Fractals for controlling fluid]
* [http://adsabs.harvard.edu/abs/2007PrGeo..22..451Y Equations of self-similar fractal measure based on the fractional-order calculus]（2007）

{{Authority control}}

[[หมวดหมู่:โครงสร้างทางคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:ทอพอโลยี]]
[[หมวดหมู่:แฟร็กทัล| ]]