ดูต้นฉบับสำหรับ เอกลักษณ์การบวก

ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''เอกลักษณ์การบวก''' ของ[[เซต]]ที่มี[[การดำเนินการ (คณิตศาสตร์)|การดำเนินการ]]ของ[[การบวก]] คือสมาชิกในเซตที่บวกกับสมาชิก ''x'' ใด ๆ แล้วได้ ''x'' เอกลักษณ์การบวกตัวหนึ่งที่เป็นที่คุ้นเคยมากที่สุดคือ[[จำนวน]] [[0]] จากคณิตศาสตร์มูลฐาน แต่เอกลักษณ์การบวกก็สามารถมีในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ที่นิยามการบวกเอาไว้ เช่น ใน[[กรุป (คณิตศาสตร์)|กรุป]]หรือ[[ริง]]

== นิยามทั่วไป ==
ให้ ''N'' เป็นเซตที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการของการบวก ซึ่งเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย +

เอกลักษณ์การบวกของ ''N'' คือ สมาชิก ''e'' ที่ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง สำหรับทุกสมาชิก ''n'' ในเซต ''N''
::''e'' + ''n'' = ''n'' = ''n'' + ''e''

== ตัวอย่าง ==
* เอกลักษณ์การบวกใน[[คณิตศาสตร์มูลฐาน]]คือศูนย์ เขียนแทนด้วย [[0]] จะได้ว่า
::0 + 5 = 5 = 5 + 0

* ใน[[จำนวนธรรมชาติ]]รวมไปถึง[[ซูเปอร์เซต]] (เช่น[[จำนวนเต็ม]] [[จำนวนตรรกยะ]] [[จำนวนจริง]] [[จำนวนเชิงซ้อน]]) มีเอกลักษณ์การบวกคือ 0 ดังนั้นสำหรับจำนวน ''n'' ใด ๆ
::0 + ''n'' = ''n'' = ''n'' + 0
* ในกรุปหนึ่ง ๆ เอกลักษณ์การบวกคือ[[สมาชิกเอกลักษณ์]]ของกรุปนั้น ซึ่งมักจะแทนด้วย 0 และมีเพียงค่าเดียว (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง)
* ใน[[ริง]]หรือ[[ฟีลด์]]หนึ่ง ๆ เป็นกรุปที่อยู่ภายใต้การดำเนินการของการบวก ดังนั้นริงหรือฟีลด์นั้นจึงมีเอกลักษณ์การบวกเป็น 0 เช่นกัน ซึ่งสิ่งนี้ถูกนิยามไว้ให้แตกต่างจาก[[เอกลักษณ์การคูณ]] [[1]] เมื่อริง (หรือฟีลด์) นั้นมีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัว แต่ถ้าเอกลักษณ์การบวกกับเอกลักษณ์การคูณคือตัวเดียวกัน ริงนั้นจะเรียกว่ามี[[ภาวะชัด]] (trivial) (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง)
* ในกรุปของ[[เมทริกซ์]]มิติ ''m''×''n'' เหนือกรุป ''G'' หรือเขียนแทนด้วย M<sub>''m''×''n''</sub>(''G'') เอกลักษณ์การบวกจะเขียนแทนด้วย '''0''' และเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกเอกลักษณ์ใน ''G'' ทั้งหมด (นั่นคือ 0) ดังตัวอย่าง ในเมทริกซ์มิติ 2×2 เหนือเซตของ[[จำนวนเต็ม]] M<sub>2×2</sub>('''Z''') เอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์นี้คือ
::<math>\mathbf{0} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}</math>

== การพิสูจน์ ==
=== เอกลักษณ์การบวกมีเพียงหนึ่งเดียวในกรุป ===
กำหนดให้ (''G'', +) เป็นกรุปหนึ่ง และให้ 0 กับ 0' ในเซต ''G'' เป็นตัวแทนของเอกลักษณ์การบวก ดังนั้นสำหรับสมาชิก ''g'' ใด ๆ ในเซต ''G''
::0 + ''g'' = ''g'' = ''g'' + 0 และ
::0' + ''g'' = ''g'' = ''g'' + 0'
ซึ่งสามารถทำให้
::0 + (0') = (0') = (0') + 0 
จะได้ว่า 0 = 0' นั่นคือ 0 กับ 0' คือค่าเดียวกัน

=== เอกลักษณ์การบวกและเอกลักษณ์การคูณ แตกต่างกันในริงที่ไม่อยู่ในภาวะชัด ===
กำหนดให้ ''R'' คือริงหนึ่ง และสมมติให้เอกลักษณ์การบวก 0 กับเอกลักษณ์การคูณ 1 มีค่าเท่ากัน นั่นคือ 0 = 1 ดังนั้นสำหรับสมาชิก ''r'' ใด ๆ ในริง ''R''
::''r'' = ''r'' × 1 = ''r'' × 0 = 0
พิสูจน์ได้ว่า ''R'' มีภาวะชัด (trivial) นั่นคือ ''R'' = {0} (มีสมาชิกเพียงตัวเดียวคือ 0) ในทางกลับกันจะได้ว่า เมื่อ ''R'' ไม่อยู่ในภาวะชัด ดังนั้น 0 จะไม่เท่ากับ 1 หมายความว่าเอกลักษณ์การบวกและเอกลักษณ์การคูณไม่เท่ากันนั่นเอง

== อ้างอิง ==
* David S. Dummit, Richard M. Foote, ''Abstract Algebra'', Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9

== ดูเพิ่ม ==
* [[ตัวผกผันการบวก]] (อินเวิร์สการบวก)
* [[สมาชิกเอกลักษณ์]]
* [[เอกลักษณ์การคูณ]]

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
* {{PlanetMath | urlname=UniquenessOfAdditiveIdentityInARing2 | title=uniqueness of additive identity in a ring | id=5676}}
* {{MathWorld | urlname=AdditiveIdentity | title=Additive Identity | author=Margherita Barile}}

[[หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม]]
[[หมวดหมู่:พีชคณิตมูลฐาน]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีกรุป]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีริง]]
[[หมวดหมู่:ศูนย์]]