ดูต้นฉบับสำหรับ เส้นโค้งเชิงวงรี

{{short description|เส้นโค้งเชีงพีชคณิตแบบหนึ่ง}}
{{ระวังสับสน|วงรี}}
[[ไฟล์:EllipticCurveCatalog.svg|thumb|300x300px|แคตตาล็อกเส้นโค้งเชิงวงรี บริเวณของกราฟคือ {{math|''x'', ''y'' ∈ [−3,3]}}<br />(หมายเหตุ: เมื่อ {{math|1=(''a'', ''b'') = (0, 0)}} ฟังก์ชันนี้ไม่เรียบ ฉะนั้นจึงไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี)]]

ใน[[คณิตศาสตร์]] '''เส้นโค้งเชิงวงรี''' ({{langx|en|elliptic curve}}) คือ[[เส้นโค้งเชิงพีชคณิต]][[โปรเจคทีฟ]]ที่เป็น[[เส้นโค้งเรียบ]]และมีจีนัสเท่ากับ 1 และจุดพิเศษ ''O'' กำหนดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งเชิงวงรีนิยามบน[[ฟีลด์]] K และประกอบไปด้วยจุดใน {{math|''K''{{I sup|2}}}} ถ้าค่า[[แคแรคเตอริสติก]]ของฟีลด์นั้นไม่เท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วเส้นโค้งเชิงวงรีสามารถเขียนอยู่ในรูปผลเฉลยของสมการ

: <math>y^2 = x^3 + ax + b</math>

สำหรับบาง {{mvar|a}} และ {{mvar|b}} ใน {{mvar|K}} 

เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน นั่นคือจะต้องไม่มี[[Cusp|บัพแหลม]] (cusp) และ[[Self-intersection|ไม่ตัดตัวเอง]] (non-self-intersecting) ซึ่งสมมูลกับเงื่อนไขที่ว่า {{math|4''a''<sup>3</sup> + 27''b''<sup>2</sup> ≠ 0}} นั่นคือสมการข้างต้นไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ในตัวแปร {{mvar|x}} โดยทั่วไปถือว่าเส้นโค้งเชิงวงรีอยู่บน[[Projective plane|ระนาบเชิงการฉาย]]โดยมีจุด ''O''  ผู้เขียนหลายคนนิยามให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งที่กำหนดด้วยสมการข้างต้น (ถ้า ''K'' มีแคแรคเตอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการข้างต้นจะไม่ครอบคลุมเส้นโค้งกำลังสามทั้งหมด, ดูหัวข้อ {{section link|#เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป}} ด้านล่าง)

เส้นโค้งเชิงวงรีเป็น[[Abelian variety|วาไรอิตีอาบีเลียน]] นั่นคือมี[[กรุป (คณิตศาสตร์)|กรุป]]อาบีเลียนนิยามบนเส้นโค้งดังกล่าว และ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป

ถ้า {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''P''(''x'')}} เมื่อ {{mvar|P}} เป็นพหุนามกำลังสามใด ๆ ที่ไม่มีรากซ้ำ แล้วเซตของผลเฉลยของสมการข้างต้นจะเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่ไม่เอกฐานและมีจีนัสเท่ากับ 1 ทำให้เซตดังกล่าวเป็นเส้นโค้งเชิงวงรี แต่ถ้า {{mvar|P}} มีดีกรีเท่ากับ 4 และ[[Square-free polynomial|ปลอดกำลังสอง]]แล้วสมการข้างต้นเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่มีจีนัสเท่ากับ 1 แต่ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ที่เลือกมาแบบธรรมชาติได้ ยิ่งไปกว่างนั้น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตที่มีจีนัสเท่ากับ 1 ใด ๆ เช่นที่เกิดจากรอยตัดระหว่าง[[Quadric|พื้นผิวกำลังสอง]] (quadric surface) ใน[[ปริภูมิเชิงภาพฉาย]]สามมิติ (three-dimensional projective space) จะเป็นเส้นโค้งเชิงวงรีหากมีจุดพิเศษที่ระบุให้เป็นเอกลักษณ์

โดยใช้ทฤษฎีของ[[ฟังก์ชันเชิงวงรี]] (elliptic function) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์ของ[[จำนวนเชิงซ้อน]]จะสัมพันธ์กันกับการฝัง[[ทอรัส]]เข้าไปใน[[Complex projective plane|ปริภูมิเชิงภาพฉายเชิงซ้อน]] ทอรัสนั้นเป็นกรุปอาบีเลียน และความสัมพันธ์ที่ว่าจะเป็น[[Group isomorphism|ฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุป]]ทั้งสองด้วย

เส้นโค้งเชิงวงรีมีความสำคัญมากโดยเฉพาะในทฤษฎีจำนวน และเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญหัวข้อหนึ่งในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์[[ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา]]ใช้เส้นโค้งเชิงวงรี นอกจากนี้เส้นโค้งเชิงวงรียังมีบทประยุกต์ใน[[Elliptic curve cryptography|การเข้ารหัสโดยเส้นโค้งเชิงวงรี]] (elliptic curve cryptography, ECC) และ[[การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม]]

เส้นโค้งเชิงวงรีไม่ใช่''[[วงรี]]'' ที่เป็นภาคตัดกรวยเชิงภาพฉายซึ่งต้องมีจีนัสเป็น 0 ที่มาของชื่อมาจาก[[ปริพันธ์เชิงวงรี]] (elliptic integral) อย่างไรก็ตาม เรามีการระบุเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำนวนจริงผ่านตัวยืนยัง {{math|''j'' ≥ 1}} ซึ่งสามารถแสดงแทนได้เป็นวงรีบน[[Hyperbolic plane|ระนาบไฮเพอร์บอลิก]] <math>\mathbb{H}^2</math><ref>{{Cite journal|last=Sarli|first=J.|date=2012|title=Conics in the hyperbolic plane intrinsic to the collineation group|journal=J. Geom.|volume=103|pages=131–148|doi=10.1007/s00022-012-0115-5|s2cid=119588289}}</ref><ref>{{Cite web|last=Sarli|first=John|date=2021-10-22|title=The Elliptic Curve Decomposition of Central Conics in the Real Hyperbolic Plane|url=https://www.researchsquare.com/article/rs-936116/v1|doi=10.21203/rs.3.rs-936116/v1}}</ref>

ในเชิงทอพอโลยี เส้นโค้งเชิงวงรีเชิงซ้อนเป็นทอรัส และวงรีเชิงซ้อนเป็นทรงกลม

== เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริง ==
[[ไฟล์:ECClines-3.svg|right|frame|Graphs of curves {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x''}} and {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' + 1}}]]
ถึงแม้ว่าบทนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องใช้[[เรขาคณิตเชิงพีชคณิต]] แต่เราอาจแสดงลักษณะที่สำคัญของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริงผ่านพีชคณิตและเรขาคณิตพื้นฐานได้

ภายใต้มุมมองพื้นฐาน เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งบนระนาบที่สามารถเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้นให้อยู่ในรูป

: <math>y^2 = x^3 + ax + b</math>

เมื่อ {{mvar|a}} และ {{mvar|b}}  เป็นจำนวนจริง สมการในรูปแบบนี้เรียกว่าสมการไวเออร์ชตราส (Weierstrass equation) และเรียกเส้นโค้งเชิงวงรีในรูปแบบนี้ว่าอยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราส (Weierstrass form) หรืออยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราสปรกติ (Weierstrass normal form)

นิยามของเส้นโค้งเชิงวงรีระบุเพิ่มเติมอีกว่าเส้นโค้งนั้นต้องไม่เอกฐาน นั่นคือกราฟของเส้นโค้งไม่มี[[บัพแหลม]] ไม่ตัดตัวเอง และไม่มีจุดเอกเทศ (isolated point) ซึ่งจะเกิดขึ้นหาก[[ดิสคริมิแนนต์]] <math>\Delta</math> ไม่เท่ากับศูนย์<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=III.1 Weierstrass Equations (p.45)}}</ref>:

: <math>\Delta = -16\left(4a^3 + 27b^2\right) \neq 0</math>

เส้นกราฟเชิงจริงของเส้นโค้งไม่เอกฐานจะมีสองชิ้น (เรียกว่า ''คอมโพแนนต์'' (component)) หากดิสคริมิแนนต์เป็นบวก และมีชิ้นเดียวหากดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ในกราฟด้านข้างสมการ {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x''}} มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ 64 จึงมีคอมโพแนนต์ของเส้นกราฟสองส่วน ในขณะที่สมการ {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' + 1}} มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ -368 จึงมีคอมโพแนนต์เดียว

== กรุปลอว์ของเส้นโค้งเชิงวงรี ==
เมื่อเราทำงานใน[[ระนาบเชิงภาพฉาย]] (projective plane) สมการของเส้นโค้งเชิงวงรีใน[[ระบบพิกัดเอกพันธ์]] (homogeneous coordinate) จะกลายเป็น :

: <math>\frac{Y^2}{Z^2} =
\frac{X^3}{Z^3}
+a\frac{X}{Z} + b</math>

สมการข้างต้นไม่นิยามบน[[เส้นตรงที่อนันต์]] (line at infinity) แต่เราสามารถคูณตลอดด้วย <math>Z^3</math> เพื่อให้ได้สมการที่นิยามทุกที่บนระนาบเชิงภาพฉาย :

: <math>ZY^2 = X^3 + aZ^2X + bZ^3</math>

เส้นโค้งข้างต้นสามารถฉายลงให้ได้เส้นโค้งเชิงวงรีบนระนาบในหัวข้อข้างต้น เพื่อหาว่าเส้นโค้งนี้ตัดกับเส้นตรงที่อนันต์ที่ใด เราแทนค่า <math>Z = 0</math> ซึ่งจะทำให้ได้  <math>X^3 = 0</math> นั่นคือ <math>X = 0</math> ส่วนค่า <math>Y</math> จะเป็นจำนวนใดก็ได้ดังนั้นทุกสามสิ่งอันดับ <math>(0,Y,0)</math> สอดคล้องกับสมการข้างต้น ในเรขาคณิตเชิงภาพฉายจะได้ว่าเซตของทุกสามสิ่งอันดับแทนด้วยจุดเดียว ฉะนั้นจุดตัดมีเพียงจุดเดียวซึ่งคือจุด <math>O = [0:1:0]</math>

เนื่องจากเส้นโค้งข้างต้นเป็นเส้นโค้งเรียบ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดที่อนันต์นี้เป็นเอกลักษณ์ของโครงสร้าง[[กรุป]]ที่เราจะนิยามต่อไป

เส้นโค้งนี้สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน {{mvar|x}} หากกำหนดจุด {{mvar|P}} บนเส้นโค้งมา เรานิยาม {{math|−''P''}} ให้เป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกับมันเมื่อเทียบกับแกน {{mvar|x}} เราจะได้  <math> -O = O</math> เพราะ <math>O</math> อยู่บนระนาบ {{mvar|XZ}} ฉะนั้น <math>-O</math> เป็นจุดที่สมมาตรกับจุด <math>O</math> เมื่อเทียบกับแกน {{mvar|x}} 

ถ้า {{mvar|P}} และ {{mvar|Q}} เป็นจุดบนเส้นโค้ง เรานิยาม {{math|''P'' + ''Q''}} ให้เป็นจุดที่กำหนดดังต่อไปนี้ ลากเส้นตรงเชื่อมระหว่าง {{mvar|P}} และ {{mvar|Q}} เส้นตรงนี้มักจะตัดเส้นโค้งเชิงวงรีที่จุดที่สาม กำหนดให้เป็นจุด {{mvar|R}} แล้วจะนิยาม {{math|''P'' + ''Q''}} ให้เป็นจุด {{math|−''R''}} ที่อยู่ตรงข้ามกับ {{mvar|R}}

นิยามข้างต้นใช้ได้ทั่วไปเว้นแต่กรณีเฉพาะบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับจุดที่อนันต์และการตัดซ้ำซ้อน ในกรณีที่มีจุดบางจุดเป็น {{mvar|O}} เราจะนิยามให้ {{math|1=''P'' + ''O'' = ''P'' = ''O'' + ''P''}} ส่งผลให้ {{mvar|O}} เป็นเอกลักษณ์ของกรุป ถ้า {{math|1=''P'' = ''Q''}} เราจะมีจุดเพียงจุดเดียว ฉะนั้นจะนิยามเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองไม่ได้เพราะไม่ได้มีเพียงเส้นตรงเดียว เราจึงเลือกเส้นที่สัมผัสเส้นโค้งแทน โดยทั่วไปเส้นสัมผัสจะตัดเส้นโค้งนี้อีกครั้งซึ่งเราสามารถกำหนดให้เป็น {{mvar|R}} และหา {{math|−''R''}} ได้ ในขณะที่หาก {{mvar|P}} และ {{mvar|Q}} เป็นจุดบนเส้นโค้งที่อยู่ตรงข้ามกัน เรานิยามให้  {{math|1=''P'' + ''Q'' = ''O''}} และสุดท้าย หาก {{mvar|P}} เป็นจุดเปลี่ยนเว้า เรานิยาม {{mvar|R}} ให้เป็นจุด {{mvar|P}} เอง และ {{math|''P'' + ''P''}} คือจุดที่ตรงข้ามตัวมันเอง ซึ่งก็คือจุด {{mvar|P}} เอง

<div class="center">
[[ไฟล์:ECClines.svg]]
</div>

ให้ {{mvar|K}} เป็นฟีลด์ที่เส้นโค้งนี้นิยามบนฟีลด์นั้น หรือก็คือสัมประสิทธิ์ของสมการนิยามเส้นโค้งอยู่ใน {{mvar|K}} และเขียนแทนเส้นโค้งด้วย {{mvar|E}} แล้วจุด {{mvar|K}}-''rational points'' ของ {{mvar|E}} คือจุดบน {{mvar|E}} ที่ทุกพิกัดอยู่ใน {{mvar|K}} รวมถึงจุดที่อนันต์ 

เซตของจุด {{mvar|K}}-rational point กำหนดโดย {{math|''E''(''K'')}} จะเป็นกรุปภายใต้การบวกจุดข้างต้น นอกจากนี้ หาก {{mvar|K}} เป็นฟีลด์ย่อยของ {{mvar|L}} แล้ว {{math|''E''(''K'')}} จะเป็น[[สับกรุป]]ของ {{math|''E''(''L'')}}

=== มุมมองเชิงพีชคณิต ===
โครงสร้างกรุปข้างต้นสามารถกำหนดได้ด้วยพีชคณิตเช่นเดียวกับที่ใช้เรขาคณิตกำหนด ให้ {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + ''ax'' + ''b''}} เป็นเส้นโค้งเหนือฟีลด์ ''{{mvar|K}}'' (ที่แคแรกเทอริสติกของฟีลด์ไม่ใช่ 2 หรือ 3) และกำหนดให้จุด {{math|1=''P'' = (''x<sub>P</sub>'', ''y<sub>P</sub>'')}} และ {{math|1=''Q'' = (''x<sub>Q</sub>'', ''y<sub>Q</sub>'')}} อยู่บนเส้นโค้ง สมมติเสียก่อนว่า {{math|''x<sub>P</sub>'' ≠ ''x<sub>Q</sub>''}} (ให้เป็นกรณีที่ ''1'') ให้ {{math|1=''y'' = ''sx'' + ''d''}} เป็นสมการของเส้นตรงที่ตัดเส้นโค้งที่จุด ''{{mvar|P}}'' และ ''{{mvar|Q}}'' ดังนั้นจะมีความชันเท่ากับ

: <math>s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}</math>

เส้นโค้งและเส้นตรงตัดกันที่จุด ''{{mvar|x<sub>P</sub>}}'', ''{{mvar|x<sub>Q</sub>}}'', และ ''{{mvar|x<sub>R</sub>}}'' เมื่อแทนค่า {{math|1=''y'' = ''sx'' + ''d''}} ลงในสมการเส้นโค้งแล้วจะได้ว่า

: <math>\left(s x + d\right)^2 = x^3 + ax + b</math>

ซึ่งสมมูลกับสมการ

: <math>x^3 - s^2 x^2 - 2sdx + ax + b - d^2 = 0</math>

และเนื่องจาก ''{{mvar|x<sub>P</sub>}}'', ''{{mvar|x<sub>Q</sub>}}'', and ''{{mvar|x<sub>R</sub>}}'' เป็นจุดที่เส้นตรงและเส้นโค้งตัดกัน จึงเป็นผลเฉลยของสมการข้างต้น และเป็นรากของสมการ

: <math>(x - x_P) (x - x_Q) (x - x_R) = x^3 + (-x_P - x_Q - x_R) x^2 + (x_P x_Q + x_P x_R + x_Q x_R) x - x_P x_Q x_R </math>

สมการทั้งสองมีรากเป็นตัวเดียวกัน ฉะนั้นจึงเป็นสมการเดียวกัน ด้วยการเทียบสัมประสิทธิ์หน้า {{math|''x''<sup>2</sup>}} จะได้ว่า

: <math>-s^2 = (-x_P - x_Q - x_R)</math>

แก้หาตัวแปร ''{{mvar|x<sub>R</sub>}}'' ได้ว่า

: <math>x_R = s^2 - x_P - x_Q</math>

''{{mvar|y<sub>R</sub>}}'' หาได้จากสมการเส้นตรง

: <math>y_R = y_P + s(x_R - x_P)</math>

จะเห็นได้ว่า ''{{mvar|y<sub>R</sub>}}'' เป็นสมาชิกใน ''{{mvar|K}}'' เพราะ ''{{mvar|s}}'' เป็นสมาชิกใน ''{{mvar|K}}'' ด้วย

ถ้า {{math|1=''x<sub>P</sub>'' = ''x<sub>Q</sub>''}} แล้วจะมีความเป็นไปได้สองแบบ หนึ่งคือ {{math|1=''y<sub>P</sub>'' = −''y<sub>Q</sub>''}} (กรณีที่ ''3'') ซึ่งรวมกรณี {{math|1=''y<sub>P</sub>'' = ''y<sub>Q</sub>'' = 0}} (กรณีที่ ''4'') เข้าไปด้วย แล้วเรานิยามให้ผลบวก {{math|''P'' + ''Q''}} คือ 0 ดังนั้นอินเวอร์สของแต่ละจุดบนเส้นตรงหาได้จากสะท้อนจุดนั้นข้ามแกน ''{{mvar|x}}''

และถ้า {{math|1=''y<sub>P</sub>'' = ''y<sub>Q</sub>'' ≠ 0}} แล้ว {{math|1=''Q'' = ''P''}} และ {{math|1=''R'' = (''x''<sub>''R''</sub>, ''y''<sub>''R''</sub>) = −(''P'' + ''P'') = −2''P'' = −2''Q''}} (กรณีที่สอง ''2'') ความชัดจะหาได้จากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (''x<sub>P</sub>'', ''y<sub>P</sub>''):

: <math>\begin{align}
    s &= \frac{3{x_P}^2 + a}{2y_P}\\
  x_R &= s^2 - 2x_P\\
  y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}</math>

=== เส้นโค้งไม่อยู่ในรูปไวเออร์ชตราส ===
สำหรับเส้นโค้งกำลังสามที่ไม่อยู่ในรูปแบบของไอเออร์ชตราส เราสามารถนิยามโครงสร้างกรุปบนมันได้โดยกำหนดให้จุดเปลี่ยนเว้าจุดหนึ่งจากทั้งหมดเก้าจุดของเส้นโค้งเป็นเอกลักษณ์ ''{{mvar|O}}'' ในระนาบเชิงภาพฉาย เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดเส้นโค้งกำลังสามที่จุดสามจุด (เมื่อพิจารณาภาวะรากซ้ำเข้าไปด้วย) สำหรับแต่ละจุด ''{{mvar|P}}'' นิยามให้ {{math|−''P''}} เป็นจุดที่สามที่เป็นจุดตัดของเส้นโค้งและเส้นตรงที่ผ่าน ''{{mvar|O}}'' และ ''{{mvar|P}}'' แล้วสำหรับแต่ละ ''{{mvar|P}}'' และ ''{{mvar|Q}}'' ให้ {{math|''P'' + ''Q''}} นิยามเป็น {{math|−''R''}} เมื่อ ''{{mvar|R}}'' คือจุดที่สามบนเส้นตรงที่ผ่านจุด ''{{mvar|P}}'' และ ''{{mvar|Q}}''

== เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ ==
เส้นโค้งเชิงวงรี ''E'' นิยามเหนือฟีลด์ของจำนวนตรรกยะก็นิยามบนฟิลด์ของจำนวนจริงด้วย ดังนั้นวิธีการบวกจุดที่มีคู่อันดับเป็นจำนวนจริงที่นิยามผ่านเส้นสัมผัสสามารถทำได้บน ''E'' เช่นกัน สูตรที่เกี่ยวข้องแสดงให้เห็นว่าผลบวกระหว่างจุด ''P'' และ ''Q'' ที่มีพิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะจะมีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เนื่องจากสมการเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด ''P'' และ ''Q'' มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ฉะนั้นเซตของจุดตรรกยะบน ''E'' เป็นสับกรุปของเซตของจุดค่าจริงบน ''E'' และเป็นกรุปอาบีเลียน

=== จุดจำนวนเต็ม ===
เส้นโค้งเชิงวงรีอาจมีจุดที่เป็นจำนวนเต็มได้หลายจุด

ตัวอย่างเช่นสมการ {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + 17}} มีผลเฉลยจำนวนเต็มทั้งหมด 8 จำนวนที่ ''y''&nbsp;> 0:<ref>T. Nagell, ''L'analyse indéterminée de degré supérieur'', Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.</ref><ref>OEIS: https://oeis.org/A029728</ref>

: (''x'', ''y'') = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), ({{ค่า|5234}}, {{ค่า|378661}})

อีกตัวอย่างหนึ่ง คือ[[Stella octangula number|สมการของลยุงเกริน]] (Ljunggren's equation) ทีมี่รูปแบบไวเออร์ชตราสคือ {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − 2''x''}} มีผลเฉลยเพียง 4 ผลเฉลยที่ ''y''&nbsp;≥ 0 :<ref>{{citation |hdl=10871/8323 |first=Samir |last=Siksek |type=Ph.D. thesis |publisher=University of Exeter |year=1995 |title=Descents on Curves of Genus 1 |pages=16–17 |postscript=. }}</ref>

: (''x'', ''y'') = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338, {{ค่า|6214}})

=== โครงสร้างของจุดตรรกยะ ===
จุดตรรกยะทั้งหมดสามารถหาได้จากวิธีเส้นสัมผัสและจุดตัด ถ้ามีจุดตรรกยะเริ่มต้นมาให้''จำกัด''จุด หรืออาจกล่าวให้ชัดเจนยิ่งไปกว่านี้ได้โดย[[Mordell–Weil theorem|ทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์]] (Mordell–Weil theorem) ซึ่งระบุว่ากรุปของจุดตรรกยะ ''E''('''Q''') เป็น[[Finitely generated group|กรุปก่อกำเนิดจำกัด]] (finitely generated group) ที่เป็นกรุปอาบีเลียน โดย[[Fundamental theorem of finitely generated abelian groups|ทฤษฎีบทหลักมูลของกรุปก่อกำเนิดจำกัดอาบีเลียน]] เราจะได้ว่า ''E''('''Q''') เป็นผลบวกตรงจำกัดตัวของ '''Z''' และกรุปวัฏจักรจำกัด

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์มีสองส่วน<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=pp. 199–205}}</ref> ส่วนแรกแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกจำนวนเต็ม ''m''&nbsp;>&nbsp;1 [[Quotient group|กรุปผลหาร]] ''E''('''Q''')/''mE''('''Q''') เป็นกรุปจำกัด (นี่คือทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน (weak Mordell–Weil theorem)) และส่วนที่สองนิยามฟังก์ชันชื่อ [[height function]] ''h'' บนจุดตรรกยะของ ''E''('''Q''') นิยามโดย ''h''(''P''<sub>0</sub>) = 0 และ {{math|''h''(''P'') {{=}} log max({{pipe}}''p''{{pipe}}, {{pipe}}''q''{{pipe}})}} ถ้า ''P'' (ที่ไม่ใช่จุดที่อนันต์ ''P''<sub>0</sub>) มีคู่อันดับตัวหน้าเป็นจำนวนตรรกยะในรูป ''x'' = ''p''/''q'' (เมื่อ ''p'' และ ''q'' เป็น[[จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์]]) ฟังก์ชัน ''h'' มีสมบัติว่า ''h''(''mP'') ประพฤติตัวมีค่าใกล้เคียงรากที่สองของ ''m'' ยิ่งไปกว่านั้นมีจุดตรรกยะเพียงจำกัดจุดเท่านั้นที่มี height น้อยกว่าค่าคงตัวใด ๆ

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทจึงเหมือนวิธี [[infinite descent]] รูปแบบหนึ่ง<ref>ดูเพิ่มใน J. W. S. Cassels, [[Mordell]]'s Finite Basis Theorem Revisited, ''Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'' 100, 3–41 และข้อคิดเห็นของ A. Weil ในจุดกำเนิดของงานของเขา: A. Weil, ''Collected Papers'', vol. 1, 520–521.</ref> และใช้[[ขั้นตอนวิธีของยุคลิด]]บน ''E'': ให้ ''P'' ∈ ''E''('''Q''') เป็นจุดตรรกยะบนเส้นโค้ง และเขียน ''P'' ในรูปผลบวก 2''P''<sub>1</sub> + ''Q''<sub>1</sub> เมื่อ ''Q''<sub>1</sub> เป็นตัวแทนสักตัวหนึ่งของ ''P'' ใน ''E''('''Q''')/2''E''('''Q''') แล้ว height ของ ''P''<sub>1</sub> จะมีค่าประมาณ {{เศษ|1|4}} ของ height ของ  ''P'' (หรือโดยทั่วไปกว่านั้น สามารถเปลี่ยน 2 ด้วย ''m'' > 1 ใด ๆ ก็ได้ และจะเปลี่ยน {{เศษ|1|4}} ให้เป็น {{เศษ|1|''m''<sup>2</sup>}}) แล้วทำเช่นนี้กับ ''P''<sub>1</sub> นั่นคือให้ ''P''<sub>1</sub> = 2''P''<sub>2</sub> + ''Q''<sub>2</sub> และ ''P''<sub>2</sub> = 2''P''<sub>3</sub> + ''Q''<sub>3</sub>,ไปเรื่อย ๆ เราสามารถเขียนจุด ''P'' ให้เป็นผลรวมเชิงเส้นของจุด ''Q<sub>i</sub>'' ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ height ของจุดดังกล่าวมีขอบเขตสักค่าหนึ่งที่เลือกไว้ก่อนหน้า ฉะนั้นโดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน และสมบัติของ height function จะได้ว่า ''P'' เขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของจุดจำกัดตัวและมีสัมประสิทธิ์ในผลรวมเชิงเส้นเป็นจำนวนเต็ม

อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทข้างต้นไม่ได้ให้วิธีหาตัวแทนใด ๆ ของ ''E''('''Q''')/''mE''('''Q''').

[[Rank of an abelian group|แรงก์]]ของกรุป ''E''('''Q''') หรือจำนวนซ้ำของ '''Z''' ที่ปรากฎใน ''E''('''Q''') ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดอิสระที่มีอันดับเป็นอนันต์ จะถูกเรียกว่าแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี ''E'' [[Birch and Swinnerton-Dyer conjecture|ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์]] (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) เกี่ยวข้องกับการหาแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี โดยกล่าวว่าแรงก์จะมีค่ามากที่สุดเท่าใดก็ได้ ถึงแม้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่เรารู้จักจะมีแรงก์น้อย ๆ เท่านั้น เส้นโค้งเชิงวงรีที่มีแรงก์มากที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ

: ''y''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y'' = ''x''<sup>3</sup> − ''x''<sup>2</sup> − {{gaps|244|537|673|336|319|601|463|803|487|168|961|769|270|757|573|821|859|853|707}}''x'' + {{gaps|961|710|182|053|183|034|546|222|979|258|806|817|743|270|682|028|964|434|238|957|830|989|898|438|151|121|499|931}}

ซึ่งมีแรงก์เท่ากับ 20 และค้นพบโดย [[Noam Elkies]] และ Zev Klagsbrun ในปี 2020 เส้นโค้งที่มีแรงก์สูงกว่า 20 เราทราบว่ามีอยู่ตั้งแต่ปีค.ศ. 1994 โดยมีขอบเขตล่างตั้งแต่ 21 ถึง 28 แต่ไม่ทราบค่าแรงก์ที่แน่นอน และยังไม่มีบทพิสูจน์ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีไหนมีแรงก์สูงกว่ากัน<ref>{{cite web|url=http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/rankhist.html|title=History of elliptic curves rank records|last=Dujella|first=Andrej|author-link=Andrej Dujella|publisher = University of Zagreb}}</ref>

สำหรับกรุปที่เป็น[[Torsion subgroup|ทอร์ชันสับกรุป]] (torsion subgroup) ของ ''E''('''Q''') เรามีทฤษฎีบทดังต่อไปนี้:<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem 7.5}}</ref> ทอร์ชันสับกรุปของ ''E''('''Q''') ที่เป็นไปได้อยู่ใน 15 กรุปดังต่อไปนี้ (ทฤษฎีบทนี้ชื่อ[[Mazur's torsion theorem|ทฤษฎีบททอร์ชันของมาซูร์]] (Mazur's torsion theorem) โดย [[Barry Mazur]]): '''Z'''/''N'''''Z''' สำหรับ ''N'' = 1, 2, ..., 10, หรือ 12, หรือ '''Z'''/2'''Z''' × '''Z'''/2''N'''''Z''' โดย ''N'' = 1, 2, 3, 4. เรารู้ส้นโค้งเชิงวงรีที่มีทอร์ชันสับกรุปตามทฤษฎีบทข้างต้นในทุกกรณี และเส้นโค้งเชิงวงรีที่มี Mordell–Weil groups เหนือ '''Q''' และมีทอร์ชันกรุปเดียวกันสามารถเขียนอยู่ในรูปอิงตัวแปรเสริมระหว่างกันได้<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Remark 7.8 in Ch. VIII}}</ref>

=== ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ ===
{{Main|ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์}}
ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, BSD) เป็นหนึ่งใน[[ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม]]ของ[[สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์]] ข้อคาดการณ์นี้เกี่ยวข้องกับวัตถุทาง[[พีชคณิต]]และ[[คณิตวิเคราะห์]]ที่นิยามจากเส้นโค้งเชิงวงรี

จากด้านคณิตวิเคราะห์ เรามีส่วนสำคัญคือฟังก์ชันเชิงซ้อน ''L'' ที่เรียกว่า[[Hasse–Weil zeta function|ฟังก์ชันซีตาของฮัสเซอ-แวย์]] (Hasse–Weil zeta function) ของเส้นโค้งเชิงวงรี ''E'' เหนือ '''Q''' ฟังก์ชันนี้คล้ายคลึงกับ[[Riemann zeta function|ฟังก์ชันซีตาของรีมัน]] (Riemann zeta function) และ [[Dirichlet L-function|แอล-ฟังก์ชันของดิริชเลต์]] (Dirichlet L-function) ฟังก์ชันนี้นิยามเป็น[[Euler product|ผลคูณออยเลอร์]] (Euler product) โดยมีตัวประกอบหนึ่งตัวสำหรับแต่ละ[[จำนวนเฉพาะ]]  ''p''

สำหรับแต่ละเส้นโค้ง ''E'' เหนือ '''Q''' กำหนดโดยสมการในรูป

: <math>y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6</math>

เมื่อ <math>a_i</math> เป็นสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หากเราลดทอนลงไปใน[[พีชคณิตมอดุโล|มอดุโล]] ''p'' จะได้เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ[[Finite field|ฟีลด์จำกัด]] '''F'''<sub>''p''</sub> ยกเว้นที่จำนวนเฉพาะ ''p'' จำกัดตัว ที่เมื่อลดทอนไปแล้วเส้นโค้งจะมีภาวะเอกฐาน ทำให้ไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี ในกรณีนี้เราเรียกว่า ''E'' มี [[bad reduction]] ที่ ''p'' (''E'' is of bad reduction at ''p'')

เราอาจมองได้ว่าฟังก์ชันซีตาของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด '''F'''<sub>''p''</sub> เป็น[[ฟังก์ชันก่อกำเนิด]] ที่รวบรวมข้อมูลของจำนวนจุดของ ''E'' ที่มีค่าในฟีลด์ภาคขยายจำกัด '''F'''<sub>''p<sup>n</sup>''</sub> ของ '''F'''<sub>''p''</sub> ซึ่งกำหนดโดย<ref>The definition is formal, the exponential of this [[power series]] without constant term denotes the usual development.</ref>

: <math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \exp\left(\sum \# \left[E({\mathbf F}_{p^n})\right]\frac{T^n}{n}\right)</math>

ผลรวมภายในฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลดูเหมือน[[ลอการิทึม|ฟังก์ชันลอการิทึม]] และสามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันซีตาข้างต้นนี้เป็น[[ฟังก์ชันตรรกยะ]]:

: <math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \frac{1 - a_pT + pT^2}{(1 - T)(1 - pT)},</math>

เมื่อเทอม <math>a_p</math> (เรียกเทอมนี้ว่า ''trace of Frobenius''<ref>see for example {{cite web |title=An Introduction to the Theory of Elliptic Curves |first=Joseph H. |last=Silverman |date=2006 |work=Summer School on Computational Number Theory and Applications to Cryptography |publisher=University of Wyoming |url=https://www.math.brown.edu/~jhs/Presentations/WyomingEllipticCurve.pdf }}</ref>) นิยามให้เป็นผลต่างระหว่างค่า"ที่ควรจะเป็น"คือ  <math>p+1</math> และจำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี <math>E</math> เหนือ <math>\mathbb{F}_p</math> เขียนได้เป็น

: <math>
a_p = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p)
</math>

จัดรูปจะได้

: <math>
\#E(\mathbb{F}_p) = 1 - a_p + p 
</math>

เราสามารถนิยามปริมาณและฟังก์ชันที่คล้ายกันนี้เหนือฟีลด์จำกัดที่มีแคแรกเทอริสติก  <math>p</math> โดยที่ <math>q = p^n</math> ด้วยการแทนลงในทุกที่ที่  <math>p</math> ปรากฎ

แอล-ฟังก์ชัน (L-function) ของ ''E'' เหนือ '''Q''' จะรวบรวมข้อมูลข้างต้นทั้งหมดเข้าด้วยกันสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ ''p'' โดยเรานิยามดังต่อไปนี้

: <math>L(E(\mathbf{Q}), s) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-s} + p^{1 - 2s}\right)^{-1} \cdot \prod_{p\mid N} \left(1 - a_p p^{-s}\right)^{-1}</math>

เมื่อ ''N'' คือ [[Conductor of an elliptic curve|conductor]] ของ ''E'' ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เป็น bad reduction ของ ''E'' โดยในกรณีดังกล่าว ''a<sub>p</sub>'' จะนิยามต่างออกไปจากข้างต้น (ดู Silverman (1986))

ผลคูณข้างต้น[[Absolute convergence|ลู่เข้า]]เมื่อ Re(''s'') > 3/2 เท่านั้น ข้อความคาดการณ์ของฮัสเซอ (Hasse's conjecture) ยืนยันว่าแอล-ฟังก์ชันข้างต้นมี[[Analytic continuation|การต่อเนื่องวิเคราะห์]] (analytic continuation) ไปยังระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด และสอดคล้องกับ[[Functional equation|สมการเชิงฟังก์ชัน]]ที่เชื่อมโยงระหว่าง ''L''(''E'', ''s'') และ ''L''(''E'', 2 − ''s'') สำหรับทุก ''s'' มีการพิสูจน์ได้ในปีค.ศ. 1999 ว่าข้อความคาดการณ์ข้างต้นเป็นผลจากบทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของชิมูระ-ทานิยามะ-แวย์ (Shimura–Taniyama–Weil conjecture) ซึ่งกล่าวว่าทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ ''Q'' เป็น[[Modular curve|เส้นโค้งมอดูลาร์]] (modular curve) และส่งผลให้แอล-ฟังก์ชันของมันเป็นแอล-ฟังก์ชันของ[[มอดูลาร์ฟอร์ม]] ซึ่งเรารู้จักการต่อเนื่องวิเคราะห์ของมอดูลาร์ฟอร์มแล้ว ฉะนั้นเราสามารถพูดถึงค่าของ ''L''(''E'', ''s'') สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อน ''s''

เมื่อ ''s=1'' (ผลคูณของส่วน conductor สามารถตัดออกได้เพราะเป็นค่าจำกัด)  แอล-ฟังก์ชันจะเท่ากับ

: <math>L(E(\mathbf{Q}), 1) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-1} + p^{-1}\right)^{-1} = \prod_{p\not\mid N} \frac{p}{p - a_p + 1} = \prod_{p\not\mid N}\frac{p}{\#E(\mathbb{F}_p)}</math>

ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์เชื่อมโยงพีชคณิตของเส้นโค้งเชิงวงรีกับพฤติกรรมของแอล-ฟังก์ชันที่''s''&nbsp;= 1โดยกล่าวว่า vanishing order ของ แอล-ฟังก์ชันที่ ''s''&nbsp;= 1 เท่ากับแรงก์ของ ''E'' และทำนายเทอมแรกของของ[[อนุกรมโลรองต์]]ของ ''L''(''E'', ''s'') ที่จุดนั้นในเทอมของปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งเชิงวงรี

หากข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (BSD) เป็นจริง จะมีผลที่ตามมาจำนวนมาก โดยมีตัวอย่างสองข้อดังนี้

* [[Congruent number|จำนวนคอนกรูเอนต์]] (Congruent number) คือจำนวนคี่ปลอดกำลังสอง ''n'' ที่เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านทั้งสามเป็นจำนวนตรรกยะ เราทราบว่า ''n'' จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อเส้นโค้งเชิงวงรี <math>y^2 = x^3 - n^2x</math> มีจุดตรรกยะที่มีอันดับเป็นอนันต์ หาก BSD เป็นจริง นี่จะสมมูลกับแอล-ฟังก์ชันของเส้นโค้งเชิงวงรีนี้มีรากที่ ''s''&nbsp;= 1  ทันเนล (Tunnell) ได้พิสูจน์[[Tunnell's theorem|ทฤษฎีบท]]ที่เกี่ยวข้องกันว่า หาก BSD เป็นจริง แล้ว ''n'' จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อจำนวนสามสิ่งอันดับของจำนวนเต็ม (''x'', ''y'', ''z'') ที่สอดคล้องกับ <math>2x^2 + y^2 + 8z^2 = n</math> มีค่าเป็นสองเท่าของจำนวนของสามสิ่งอันดับที่สอดคล้องกับ  <math>2x^2 + y^2 + 32z^2 = n</math> ส่วนที่น่าสนใจคือเงื่อนไขนี้สามารถตรวจสอบได้โดยง่าย<ref>{{Harvard citations|author=Koblitz|year=1993|nb=yes}}</ref>
* ในอีกทิศทางหนึ่ง วิธีการทางคณิตวิเคราะห์แบบหนึ่งสามารถประมาณค่าอันดับของศูนย์ที่กึ่งกลางของแถบค่าวิกฤติ (critical strip) ของแอล-ฟังก์ชันบางตัวได้ หาก BSD เป็นจริง การประมาณค่านี้เกี่ยวข้องกับแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรีจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หาก[[Generalized Riemann hypothesis|ข้อความคาดการณ์ของรีมันวางนัยทั่วไป]] (generalized Riemann hypothesis) และ BSD เป็นจริง แล้วโดยเฉลี่ยแล้ว แรงก์ของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ <math>y^2=x^3+ax+b</math> จะไม่เกิน 2<ref>{{cite journal |first=D. R. |last=Heath-Brown |title=The Average Analytic Rank of Elliptic Curves |journal=Duke Mathematical Journal |volume=122 |issue=3 |pages=591–623 |year=2004 |doi=10.1215/S0012-7094-04-12235-3 |arxiv=math/0305114 |s2cid=15216987 }}</ref>

== เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด ==
[[ไฟล์:Elliptic curve on Z61.svg|thumb|right|upright=1.2|เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' เหนือฟีลด์จำกัด '''F'''<sub>61</sub>]]
ให้ ''K'' = '''F'''<sub>''q''</sub> เป็น[[ฟีลด์จำกัด]]ที่มีสมาชิก ''q'' ตัว และ ''E'' เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีนิยามเหนือ ''K'' ถึงแม้ว่า[[Counting points on elliptic curves|จำนวนจุดตรรกยะของเส้นโค้งเชิงวงรี]] ''E'' เหนือ ''K'' โดยทั่วไปแล้วจะคำนวณออกมาได้ยาก แต่[[Hasse's theorem on elliptic curves|ทฤษฎีบทของฮัสเซอว่าด้วยเส้นโค้งเชิงวงรี]] (Hasse's theorem on elliptic curves) ให้อสมการด้านล่าง

: <math>|\# E(K) - (q + 1)| \le 2\sqrt{q}</math>

อีกนัยหนึ่งคือ จำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีโตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนสมาชิกในฟีลด์ ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีขั้นสูงที่ทั่วไปกว่า เช่น [[local zeta function]] และ [[Étale cohomology#An application to curves|étale cohomology]]

[[ไฟล์:Elliptic_curve_on_Z89.svg|thumb|เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' เหนือฟีลด์จำกัด '''F'''<sub>89</sub>]]

เซตของจุด ''E''('''F'''<sub>''q''</sub>) จะเป็นกรุปอาบีเลียนจำกัด และเป็นกรุปวัฏจักรหรือผลคูณของกรุปวัฏจักรสองกรุปขึ้นกับภาวะคู่คี่ของ ''q'' ตัวอย่างเช่น<ref>See {{Harvard citations|last=Koblitz|year=1994|nb=yes|loc=p. 158}}</ref> เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ 

: <math>y^2 = x^3 - x</math>

เหนือ '''F'''<sub>71</sub> มีจุดทั้งหมด 72 จุด (71 [[Affine space#Affine coordinates|จุดสัมพรรค]] รวมถึง (0,0) และหนึ่ง[[จุด ณ อนันต์]]) ในฟีลด์นี้ ซึ่งมีโครงสร้างกรุปที่กำหนดโดย '''Z'''/2'''Z''' × '''Z'''/36'''Z'''. จำนวนจุดบนเส้นโค้งจำเพาะสามารถคำนวณได้ด้วย[[Schoof's algorithm|ขั้นตอนวิธีของสคูฟ]]

[[ไฟล์:Elliptic_curve_on_Z71.svg|right|thumb|เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี  ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' เหนือฟิลด์จำกัด '''F'''<sub>71</sub>]]

การศึกษาเส้นโค้งเหนือ[[ฟีลด์ภาคขยาย]]ของ '''F'''<sub>''q''</sub> ทำได้โดยการสร้างฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (local zeta function) ของ ''E'' เหนือ '''F'''<sub>''q''</sub>, นิยามโดยอนุกรมก่อกำเนิด

: <math>Z(E(K), T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \# \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right)</math>

เมื่อฟิลด์ ''K<sub>n</sub>'' เป็นฟีลด์ภาคขยาย (มีฟีลด์เดียวหากนับความสมสัณฐาน) ของ ''K'' = '''F'''<sub>''q''</sub> ที่มีดีกรีเท่ากับ ''n'' (ซึ่งก็คือ '''F'''<sub>''q<sup>n</sup>''</sub>).

ฟังก์ชันซีตานี้จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปร ''T'' ซึ่งสามารถพิสูน์ได้ดังนี้: จำนวนเต็ม <math>a_n</math> ที่ทำให้

: <math>\#E(K_n) = 1 - a_n + q^n</math>

จะมีจำนวนเชิงซ้อน <math>\alpha</math> ที่เกี่ยวข้องที่ทำให้

: <math>1 - a_n + q^n = 1 - \alpha^n - \bar\alpha^n + q^n</math>

เมื่อ <math>\bar\alpha</math> เป็น[[Complex conjugate|สังยุคเชิงซ้อน]]ของ <math>\alpha</math> เราเลือก <math>\alpha</math> เพื่อให้ขนาดของมันเท่ากับ <math>\sqrt{q}</math> ดังนั้น  <math>\alpha = q^{\frac12}e^{i\theta}, \bar\alpha = q^{\frac12}e^{-i\theta}</math> และ <math>\cos n\theta=\frac{a_n}{2\sqrt q}</math> ฉะนั้นเราจะได้ว่า  <math>\alpha^n\bar\alpha^n = q^n</math> และ <math>\alpha^n+\bar\alpha^n = a_n</math> หรืออีกนัยหนึ่งเราจะได้ว่า <math>(1 - \alpha^n)(1 - \bar\alpha^n) = 1 - a_n + q^n</math>.

แล้ว <math>\alpha</math> สามารถใช้แทนค่าลงไปฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่เพราะค่าของมันเมื่อเราเปลี่ยเลขชี้กำลังจะมีค่าประมาณใกล้เคียงกับพฤติกรรมของ <math>a_n</math>

: <math>\begin{alignat}{2} Z_E(T) & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty}  \left(1 - \alpha^n - \bar\alpha^n + q^n\right){T^n\over n} \right) \\ & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty}  {T^n\over n} - \sum_{n=1}^{\infty}\alpha^n{T^n\over n} - \sum_{n=1}^{\infty}\bar\alpha^n{T^n\over n} + \sum_{n=1}^{\infty}q^n{T^n\over n} \right) \\ & = \exp \left(-\ln(1-T) + \ln(1-\alpha T) + \ln(1-\bar\alpha T) - \ln(1-qT) \right) \\ & = \exp \left(\ln\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)} \right) \\ & =\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)} \\ \end{alignat}</math>

เนื่องจาก <math>(1 - \alpha T)(1 - \bar\alpha T)  = 1 - aT + qT^2</math> ทำให้ได้ว่า

: <math>Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}</math>

ตัวอย่างเช่น<ref>{{Harvard citations|last=Koblitz|year=1994|nb=yes|loc=p. 160}}</ref> ฟังก์ชันซีตาของ ''E'' : ''y''<sup>2</sup> + ''y'' = ''x''<sup>3</sup> เหนือฟีลด์ '''F'''<sub>2</sub> กำหนดโดย

: <math>\frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}</math>

ซึ่งได้มากจาก:

: <math> \left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases} 2^r + 1 & r \text{ odd} \\ 2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2}} & r \text{ even} \end{cases} </math>

สมการเชิงฟังก์ชันคือ

: <math>Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) = \frac{1 - a\frac{1}{qT} + q\left(\frac{1}{qT}\right)^2}{(1 - q\frac{1}{qT})(1 - \frac{1}{qT})}= \frac{q^2T^2 - aqT + q}{(qT - q)(qT - 1)} = Z(E(K), T)</math>

เนื่องจากสนใจเฉพาะพฤติกรรมของ <math>a_n</math> เราสามารถใช้ฟังก์ชันซีตาลดทอน

: <math>\begin{align} Z(a, T) & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} -a_n {T^n\over n} \right) \\ & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} -\alpha^n {T^n\over n} - \bar\alpha^n {T^n\over n} \right) \\ \end{align}</math>

และจะได้ว่า

: <math>Z_a(T) = \exp \left(\ln(1-\alpha T) + \ln(1-\bar\alpha T)\right)</math>

ทำได้ให้แอล-ฟังก์ชันเฉพาะที่ (local L-function)

: <math>L(E(K), T) = 1 - aT + qT^2</math>

[[Sato–Tate conjecture|ข้อความคาดการณ์ของซาโต-เทต]] (Sato–Tate conjecture) ระบุว่าเทอมความคาดเคลื่อน <math>2\sqrt{q}</math> ในทฤษฎีบทของฮัสเซอขึ้นกับจำนวนเฉพาะ ''q'' ที่ต่างกันหากเส้นโค้งเชิงวงรี ''E'' เหนือ '''Q''' อยู่ในรูปมอดุโล q ลดรูป ข้อความคาดการณ์ข้างต้นถูกพิสูจน์ (สำหรับเกือบทุกกรณีข้างต้น) ในปี 2006 โดย Taylor, Harris และ Shepherd-Barron<ref>{{cite journal|last1=Harris|first1=M.|last2=Shepherd-Barron|first2=N.|last3=Taylor|first3=R.|year=2010|title=A family of Calabi–Yau varieties and potential automorphy|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=171|issue=2|pages=779–813|doi=10.4007/annals.2010.171.779|doi-access=free}}</ref> 

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีบทประยุกต์ใช้ใน[[วิทยาการเข้ารหัสลับ]] และ[[การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม|การแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม]]ค่ามาก ๆ ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรีจะอาศัยความเป็นกรุปของจุดบน ''E'' ฉะนั้นขั้นตอนวิธีที่ใช้ได้กับกรุปทั่วไป เช่นกรุปของสมาชิกที่หาอินเวอร์สได้ใน '''F'''*<sub>''q''</sub> จะสามารถประยุกต์ใช้กับกรุปของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ ตัวอย่างเช่น [[ขั้นตอนวิธีลอการิทึมวิยุต]]

== เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป ==
เส้นโค้งเชิงวงรีสามารถนิยามเหนือ[[ฟีลด์]] ''K'' ใด ๆ ได้ โดยนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตเหนือ ''K'' เชิงภาพฉายไม่เอกฐานที่มีจีนัส 1 และมีจุดเฉพาะที่นิยามเหนือ ''K''

ถ้า[[แคแรคเทอริสติก]]ของ ''K'' ไม่ใช่ 2 หรือ 3 แล้วหลังจากการเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้น ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ ''K'' สามารถเขียนได้ในรูป

: <math>y^2 = x^3 - px - q</math>

ในที่นี้ ''p'' และ ''q'' เป็นสมาชิกของ ''K'' ที่ทำให้พหุนาม ''x''<sup>3</sup> − ''px'' − ''q'' ทางฝั่งขวามือไม่มีรากซ้ำ ถ้าแคแรกเทอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องมีพจน์ที่กำจัดไม่ได้มากขึ้น ในแคแรคเทอริสติก 3 สมการของเส้นโค้งที่ทั่วไปที่สุดคือ

: <math>y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6</math>

สำหรับค่าคงที่ ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>4</sub>, ''b''<sub>6</sub> ที่ทำให้พหุนามมางขวามือของสมการมีรากที่แตกต่างกันทั้งหมด (สัญกรณ์ที่ใช้นี้มีที่มาทางประวัติศาสตร์) ในแคแรกเทอริสติก 2 จะต้องมีเทอมมากกว่านั้นอีก โดยมีสมการทั่วไปคือ 

: <math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math>

เมื่อวาไรอิตี้ที่สมการนี้นิยามไม่เอกฐาน

โดยทั่วไป เรากำหนดให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเซตของจุด (''x'',''y'') ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการข้างต้น โดยที่ ''x'' และ ''y'' เป็นสมาชิกใน[[algebraic closure|ส่วนปิดคลุมเชิงพีชคณิต]]ของ ''K'' จุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีทั้งหมดที่พิกัดทั้งสองอยู่ใน ''K'' เรียกว่า '''''K''-rational points'''

ผลลัพธ์จำนวนมากในหัวข้อก่อนหน้าเป็นจริงเมื่อฟีลด์ที่นิยามเส้นโค้งเชิงวงรี ''E'' เป็น[[ฟีลด์จำนวน]] (number field) ''K'' นั่นคือเป็นฟีลด์ภาคขยายจำกัดของ '''Q''' โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ากรุป ''E(K)'' ของจุด ''K''-rational points บนเส้นโค้งเชิงวงรี ''E'' ที่นิยามเหนือ ''K'' จะเป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated) ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่วางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมอร์เดล-แวย์  ทฤษฎีบทหนึ่งของ [[Loïc Merel]] แสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม ''d'' จะมีกรุปเพียงจำนวนจำกัดตัวที่สามารถเป็นทอร์ชันกรุปของ ''E''(''K'') สำหรับเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์จำนวน ''K'' ดีกรี ''d'' ได้<ref>{{cite journal|last=Merel|first=L.|author-link=Loïc Merel|year=1996|title=Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|language=fr|volume=124|issue=1–3|pages=437–449|bibcode=1996InMat.124..437M|doi=10.1007/s002220050059|zbl=0936.11037|s2cid=3590991}}</ref> ทฤษฎีบทนี้ส่งผลชัดแจ้งในแง่ที่ว่า หาก ''d'' > 1 ถ้าจุดทอร์ชันมีอันดับเท่ากับ ''p'' โดยที่ ''p'' เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว

: <math>p < d^{3d^2}</math>

สำหรับจุดอินทริกรัล ทฤษฎีบทของซีเกิลสามารถขยายออกได้ว่า หากเส้นโค้งเชิงวงรี ''E'' ที่นิยามเหนือฟีลด์จำนวน ''K'' โดยที่  ''x'' และ ''y'' เป็นพิกัดแบบไวเออร์ชตราส แล้วจะมีจุดเพียงจำกัดจำนวนใน ''E(K)'' ที่พิกัด ''x'' ของมันอยู่ใน[[Ring of integers|ริงของจำนวนเต็ม]] ''O''<sub>''K''</sub>

สมบัติของฟังก์ชันฮัสเซอ-แวย์และข้อคาดการณ์เบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์สามารถวางนัยทั่วไปให้ครอบคลุมกรณีข้างต้นนี้ได้ 

== เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน ==
{{ข้อมูลเพิ่มเติม|การคูณเชิงซ้อน}}
[[ไฟล์:Lattice_torsion_points.svg|right|thumb|An elliptic curve over the complex numbers is obtained as a quotient of the complex plane by a lattice {{math|Λ}}, here spanned by two fundamental periods {{math|''ω''<sub>1</sub>}} and {{math|''ω''<sub>2</sub>}}. The four-torsion is also shown, corresponding to the lattice {{math|{{เศษ|1|4}}Λ}} containing {{math|Λ}}.]]
เราสามารถมองเส้นโค้งเชิงวงรีว่าเป็นการฝัง[[ทอรัส (เรขาคณิต)|ทอรัส]]ลงใน[[ระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อน]]โดยอาศัยสมบัติพิเศษของ[[ฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์ชตราส]] โดยฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของของมันสอดคล้องกับสมการ

: <math>\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3</math>

ในที่นี้ {{math|''g''<sub>2</sub>}} และ {{math|''g''<sub>3</sub>}} เป็นค่าคงที่ และ {{math|℘(''z'')}} เป็น[[Weierstrass elliptic function|ฟังก์ชันเชิงวงรีไวเออร์ชตราส]] (Weierstrass elliptic function) สังเกตว่าความสัมพันธ์ข้างต้นสอดคล้องกับสมการเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันไวเออร์ตราสมีคาบแบบคู่  (doubly periodic) นั่นคือเป็น[[Fundamental pair of periods|ฟังก์ชันคาบ]]เทียบกับ[[Lattice (group)|แลตทิซ]] {{math|Λ}} ฉะนั้นฟังก์ชันไวเออร์ชตราสจึงนิยามได้บนทอรัส  {{math|1=''T'' = '''C'''/Λ}} โดยธรรมชาติ ทอรัสนี้สามารถฝังเข้าไปในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยการส่ง

: <math>z \mapsto \left[1 : \wp(z) : \tfrac12\wp'(z)\right]</math>

การส่งนี้เป็น[[ฟังก์ชันสมสัณฐานของกรุป]]บนทอรัส (ภายใต้โครงสร้างกรุปตามธรรมชาติ) และกรุปลอว์ที่เกิดจากการสร้างเส้นคอร์ดและเส้นสัมผัสบนเส้นโค้งกำลังสามอันเป็นภาพของการส่งนี้ นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของ[[พื้นผิวรีมันน์]]จากทอรัสไปยังเส้นโค้งกำลังสามนั้นด้วย เพราะฉะนั้นในทางทอพอโลยีแล้ว เส้นโค้งเชิงวงรีจึงเป็นทอรัส หากแลตทิซ {{math|Λ}} สัมพันธ์ภายใต้การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน {{mvar|c}} ที่ไม่เป็นศูนย์กับแลตทิซ {{math|''c''Λ}} แล้วเส้นโค้งที่ได้จะสมสัณฐานกัน ชั้นสมมูลของเส้นโค้งเชิงวงรีกำหนดได้ด้วยตัวยืนยงเรียกว่า [[J-invariant|{{mvar|j}}-invariant]]

ชั้นสมมูลดังกล่าวสามารถมองได้ด้วยมุมมองที่ง่ายกว่าเช่นกัน ค่าคงตัว {{math|''g''<sub>2</sub>}} และ {{math|''g''<sub>3</sub>}} ซึ่งเรียกว่า[[Modular invariants|ตัวยืนยงมอดุลาร์]] (modular invariants) ถูกกำหนดให้มีค่าได้เพียงค่าเดียวโดยแลตทิซ หรือก็คือโครงสร้างของทอรัส อย่างไรก็ตามทุกพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะแยกตัวประกอบเชิงเส้นเหนือจำนวนเชิงซ้อน (เพราะฟีลด์จำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟีลด์จำนวนจริง) ฉะนั้นเราสามารถเขียนเส้นโค้งเชิงวงรีได้เป็น

: <math>y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)</math>

เราจะได้ว่า

: <math>\begin{align}
g_2' &= \frac{\sqrt[3]4}{3} \left(\lambda^2 - \lambda + 1\right) \\[4pt]
g_3' &= \frac{1}{27} (\lambda + 1)\left(2\lambda^2 - 5\lambda + 2\right)
\end{align}</math>

และ

: <math>j(\tau) = 1728\frac{{g_2'}^3}{{g_2'}^3 - 27{g_3'}^2} = 256\frac{ \left(\lambda^2 - \lambda + 1\right)^3}{\lambda^2\left(\lambda - 1\right)^2}</math>

โดยที่ <math>j(\tau)</math> เป็น [[J-invariant|{{mvar|j}}-invariant]] และ <math>\lambda(\tau)</math> เรียกว่า[[Modular lambda function|ฟังก์ชันแลมบ์ดามอดุลาร์]] (modular lambda function) ตัวอย่างเช่น ให้ <math>\tau = 2i</math> แล้ว <math>\lambda(2i) = (-1 + \sqrt{2})^4</math> ซึ่งส่งผลให้ <math>g'_2</math>, <math>g'_3</math> และ <math>{g'}_2^3 - 27{g'}_3^2</math> ในสมการข้างต้นเป็น[[จำนวนเชิงพีชคณิต]]ทั้งหมดหาก <math>\tau</math> เกี่ยวข้องกับ[[Imaginary quadratic field|ฟีลด์ควอดราติกเชิงซ้อน]] (imaginary quadratic field) ในกรณีนี้เราได้จำนวนเต็ม {{math|1=''j''(2''i'') = 66<sup>3</sup> = {{ค่า|287496}}}} ด้วยซ้ำ 

ในทางกลับกัน [[Modular discriminant|ค่าดิสคริมิแนนท์มอดุลาร์]] (modular discriminant)

: <math>\Delta(\tau) = g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2 = (2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau)</math>

มักจะเป็น[[จำนวนอดิศัย]] (transcendental number) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าของ[[Dedekind eta function|ฟังก์ชันอีตาดิริชเลต์]] (Dedekind eta function) {{math|''η''(2''i'')}} คือ

: <math>\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac14\right)}{2^\frac{11}{8} \pi^\frac34}</math>

สังเกตว่า[[Uniformization theorem|ทฤษฎีบทยูนิฟอร์มไมเซชัน]] (uniformization theorem) บ่งว่าทุกพื้นผิวรีมันน์ที่[[Compact space|กระชับ]] (compact Riemann surface) ที่มีจีนัส 1 จะสามารถเขียนแทนได้ด้วยทอรัส นี่ทำให้เราสามารถเข้าใจจุดทอร์ชันบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ง่ายขึ้น: ถ้าแลตทิซ {{math|Λ}} ถูกสแปนโดยคาบพื้นฐาน {{math|''ω''<sub>1</sub>}} and {{math|''ω''<sub>2</sub>}} แล้วจุด ''{{mvar|n}}''-ทอร์ชัน ({{mvar|n}}-torsion points) จะเป็นชั้นสมมูลของจุดในรูป

: <math> \frac{a}{n} \omega_1 + \frac{b}{n} \omega_2</math>

สำหรับจำนวนเต็ม {{mvar|a}} และ {{mvar|b}} ในช่วง {{math|0 ≤ (''a'', ''b'') < ''n''}}

ถ้า

: <math>E : y^2=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math>

เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเฉพาะ และ

: <math>a_0=\sqrt{e_1-e_3}, \qquad b_0=\sqrt{e_1-e_2}, \qquad c_0=\sqrt{e_2-e_3},</math>

แล้วคู่ของคาบพื้นฐานของ {{mvar|E}} สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วจาก

: <math>\omega_1=\frac{\pi}{\operatorname{M}(a_0,b_0)}, \qquad \omega_2=\frac{\pi}{\operatorname{M}(c_0,ib_0)}</math>

เมื่อ {{math|M(''w'', ''z'')}} คือ[[arithmetic–geometric mean|ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต]] (Arithmetic-geometric mean) ของ {{mvar|w}} และ {{mvar|z}} ในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต เครื่องหมายของ {{mvar|z<sub>n</sub>}} ที่เกิดจากความกำกวมในการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะถูกเลือกให้ {{math|{{abs|''w<sub>n</sub>'' − ''z<sub>n</sub>''}} ≤ {{abs|''w<sub>n</sub>'' + ''z<sub>n</sub>''}}}} เมื่อ {{mvar|w<sub>n</sub>}} และ {{mvar|z<sub>n</sub>}} คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตในขั้นที่ ''{{mvar|n}}'' ของ {{mvar|w}} และ {{mvar|z}} ตามลำดับ โดยเมื่อ {{math|1={{abs|''w<sub>n</sub>'' − ''z<sub>n</sub>''}} = {{abs|''w<sub>n</sub>'' + ''z<sub>n</sub>''}}}} แล้วเรากำหนดเพิ่มเติมอีกว่า {{math|Im<big>(</big>{{เศษ|''z<sub>n</sub>''|''w<sub>n</sub>''}}<big>)</big> > 0}}<ref>{{Cite web|last=Wing Tat Chow|first=Rudolf|date=2018|title=The Arithmetic-Geometric Mean and Periods of Curves of Genus 1 and 2|url=http://etheses.whiterose.ac.uk/20887/1/Final.pdf|website=White Rose eTheses Online|page=12}}</ref>

เหนือจำนวนเชิงซ้อน ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีมี[[Inflection point|จุดเปลี่ยนเว้า]] (inflection point) เก้าจุด  เส้นตรงทุกเส้นที่ผ่านจุดเปลี่ยนเว้าสองจุดจะผ่านจุดเปลี่ยนเว้าอีกจุดเสมอ จุด 9 จุดและเส้นตรง 12 เส้นที่เกิดขึ้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของ [[Hesse configuration]]

== ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรี ==
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีการประยุกต์ใช้ใน[[วิทยาการเข้ารหัสลับ|การเข้ารหัส]]และ[[การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม]] ไอเดียสำคัญที่สามารถพบได้ในการประยุกต์ใช้เหล่านี้ คือเปลี่ยน[[ขั้นตอนวิธี]]เดิมที่ใช้กรุปจำกัดบางตัว ให้ใช้กรุปของจำนวนตรรกยะบนเส้นโค้งเชิงวงรี

* [[Elliptic curve cryptography|ระบบเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรี]] (Elliptic curve cryptography)
* การแลกเปลี่ยนกุญแจ [[Elliptic-curve Diffie–Hellman|Diffie–Hellman โดยใช้เส้นโค้งเชิงวงรี]] (Elliptic-curve Diffie–Hellman key exchange)
* [[Supersingular isogeny key exchange]]
* ขั้นตอนวิธี [[Elliptic Curve Digital Signature Algorithm|elliptic curve digital signature]] 
* ขั้นตอนวิธี [[EdDSA]] digital signature
* ระบบสุ่มตัวเลข [[Dual EC DRBG]]
* [[Lenstra elliptic-curve factorization|การแยกตัวประกอบโดยเส้นโค้งเชิงวงรีของเลนสตรา]] (Lenstra elliptic-curve factorization)
* [[Elliptic curve primality proving|การตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะโดยเส้นโค้งเชิงวงรี]] (Elliptic curve primality proving)

== ตัวแทนแบบอื่น ๆ ของเส้นโค้งเชิงวงรี ==
{{Div col|colwidth=30em}}
* [[Hessian form of an elliptic curve|รูปแบบเฮสเซียนของเส้นโค้งเชิงวงรี]] (Hessian curve)
* [[Edwards curve|เส้นโค้งเอ็ดเวิร์ดส์]] (Edwards curve)
* [[Twists of curves|Twisted curve]]
* [[Twisted Hessian curves|Twisted Hessian curve]]
* [[Twisted Edwards curve]]
* [[Doubling-oriented Doche–Icart–Kohel curve]]
* [[Tripling-oriented Doche–Icart–Kohel curve]]
* [[Jacobian curve|เส้นโค้งจาโคเบียน]]
* [[Montgomery curve|เส้นโค้งมอนต์โกเมอรี]]
{{Div col end}}

== ดูเพิ่ม ==
{{Div col|colwidth=30em}}
* [[Arithmetic dynamics|ระบบพลวัติเชิงจำนวน]]
* [[Elliptic algebra|พีชคณิตเชิงวงรี]]
* [[Elliptic surface|พื้นผิวเชิงวงรี]]
* [[Comparison of computer algebra systems|การเปรียบเทียบระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์]]
* [[Isogeny]]
* [[j-line]]
* [[Level structure (algebraic geometry)]]
* [[Modularity theorem|ทฤษฎีบทมอดุลาริตี]]
* [[Moduli stack of elliptic curves]]
* [[Nagell–Lutz theorem]]
* [[Riemann–Hurwitz formula|สูตรรีมันน์-ฮูร์วิตซ์]]
* [[Wiles's proof of Fermat's Last Theorem|บทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาของไวลส์]]
{{Div col end}}

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง|30em}}

== บรรณานุกรม ==
{{เริ่มอ้างอิง}}
[[Serge Lang|เซอร์เก ลาง]] เคยเขียนในบทนำของหนังสือที่ได้อ้างอิงด้านล่างนี้ว่า "เป็นไปได้ที่จะเขียนเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีโดยไม่จบสิ้น (นี่ไม่ใช่คำขู่)" ("It is possible to write endlessly on elliptic curves. (This is not a threat.)") รายการด้านล่างนี้จึงเป็นเพียงรายการแนะนำไปยังวรรณกรรมเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีที่มีอยู่ดาษดื่น ทั้งในทางทฤษฎี ทางขั้นตอนวิธี และในทางวิทยาการเข้ารหัสลับของเส้นโค้งเชิงวงรี

* {{Cite book|author=I. Blake|title=Elliptic Curves in Cryptography|author2=G. Seroussi|author3=N. Smart|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=0-521-65374-6|series=LMS Lecture Notes}}
* {{Cite journal|last=Brown|first=Ezra|title=Three Fermat Trails to Elliptic Curves|journal=The College Mathematics Journal|volume=31|issue=3|pages=162–172|year=2000|doi=10.1080/07468342.2000.11974137|s2cid=5591395}}, winner of the MAA writing prize the [[George Pólya Award]]
* {{Cite book|author=Richard Crandall|title=Prime Numbers: A Computational Perspective|url=https://archive.org/details/primenumberscomp0000cran|author2=Carl Pomerance|publisher=Springer-Verlag|year=2001|isbn=0-387-94777-9|edition=1st|pages=[https://archive.org/details/primenumberscomp0000cran/page/n304 285]–352|chapter=Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic|author-link=Richard Crandall|author2-link=Carl Pomerance}}
* {{Cite book|last=Cremona|first=John|url=http://www.warwick.ac.uk/staff/J.E.Cremona//book/fulltext/index.html|title=Algorithms for Modular Elliptic Curves|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=0-521-59820-6|edition=2nd}}
* {{Cite book|author=Darrel Hankerson, [[Alfred Menezes]] and [[Scott Vanstone]]|url=http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/ecc/|title=Guide to Elliptic Curve Cryptography|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2004|isbn=0-387-95273-X}}
* {{Hardy and Wright}}  Chapter XXV
* {{Cite book|last1=Hellegouarch|first1=Yves|title=Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles|publisher=Dunod|year=2001|isbn=978-2-10-005508-1|location=Paris}}
* {{Cite book|last=Husemöller|first=Dale|title=Elliptic Curves|publisher=Springer|year=2004|isbn=0-387-95490-2|edition=2nd|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=111|author-link=Dale Husemöller}}
* {{Cite book|author=Kenneth Ireland|title=A Classical Introduction to Modern Number Theory|author2=Michael I. Rosen|publisher=Springer|year=1998|isbn=0-387-97329-X|edition=2nd revised|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=84|chapter=Chapters 18 and 19|author-link=Kenneth Ireland|author2-link=Michael I. Rosen}}
* {{Cite book|last=Knapp|first=Anthony W.|url=https://books.google.com/books?id=Xf9ZDwAAQBAJ|title=Elliptic Curves|publisher=Princeton University Press|year=2018|isbn=9780691186900|series=Mathematical Notes|volume=40|author-link=Anthony W. Knapp|orig-year=1992}}
* {{Cite book|last=Koblitz|first=Neal|title=Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms|publisher=Springer-Verlag|year=1993|isbn=0-387-97966-2|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=97|author-link=Neal Koblitz}}
* {{Cite book|last=Koblitz|first=Neal|title=A Course in Number Theory and Cryptography|publisher=Springer-Verlag|year=1994|isbn=0-387-94293-9|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=114|chapter=Chapter 6|author-link=Neal Koblitz}}
* {{Cite book|author=Serge Lang|title=Elliptic curves: Diophantine analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1978|isbn=3-540-08489-4|series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|volume=231|author-link=Serge Lang}}
* {{Cite book|author=Henry McKean|title=Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic|url=https://archive.org/details/ellipticcurvesfu0000mcke|author2=Victor Moll|publisher=Cambridge University Press|year=1999|isbn=0-521-65817-9|author-link2=Victor Hugo Moll}}
* {{Cite book|author1=Ivan Niven|title=An introduction to the theory of numbers|author2=Herbert S. Zuckerman|author3=Hugh Montgomery|publisher=John Wiley|year=1991|isbn=0-471-54600-3|edition=5th|chapter=Section 5.7|author-link3=Hugh Montgomery (mathematician)|chapter-url=https://archive.org/details/introductiontoth0000nive|chapter-url-access=registration}}
* {{Cite book|last=Silverman|first=Joseph H.|title=The Arithmetic of Elliptic Curves|publisher=Springer-Verlag|year=1986|isbn=0-387-96203-4|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=106|author-link=Joseph H. Silverman}}
* {{Cite book|author=Joseph H. Silverman|title=Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves|publisher=Springer-Verlag|year=1994|isbn=0-387-94328-5|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=151|author-link=Joseph H. Silverman}}
* {{Cite book|author=Joseph H. Silverman|title=Rational Points on Elliptic Curves|url=https://archive.org/details/rationalpointson0000silv|author2=John Tate|publisher=Springer-Verlag|year=1992|isbn=0-387-97825-9|author-link=Joseph H. Silverman|author2-link=John Tate (mathematician)}}
* {{Cite journal|author=John Tate|author-link=John Tate (mathematician)|year=1974|title=The arithmetic of elliptic curves|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|volume=23|issue=3–4|pages=179–206|bibcode=1974InMat..23..179T|doi=10.1007/BF01389745|s2cid=120008651}}
* {{Cite book|author=Lawrence Washington|url=https://archive.org/details/ellipticcurvesnu0000wash|title=Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography|publisher=Chapman & Hall/CRC|year=2003|isbn=1-58488-365-0|url-access=registration}}
{{จบอ้างอิง}}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
{{วิกิคำคมอังกฤษ|Elliptic curve}}
* {{คอมมอนส์-หมวดหมู่-บรรทัด|Elliptic curves|เส้นโค้งเชิงวงรี}}
* [http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/ LMFDB: Database of Elliptic Curves over Q]
* {{SpringerEOM|title=Elliptic curve|id=p/e035450}}
* {{Mathworld|title=Elliptic Curves|urlname=EllipticCurve}}
* [https://planetmath.org/thearithmeticofellipticcurves The Arithmetic of elliptic curves] จาก PlanetMath
* [http://danher6.100webspace.net/ecc#ER_interactivo Interactive elliptic curve over R] and [http://danher6.100webspace.net/ecc#EFp_interactivo over Zp] – web application that requires HTML5 capable browser
{{Break}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Elliptic Curve}}
[[หมวดหมู่:เส้นโค้งเชิงวงรี]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวนเชิงการวิเคราะห์]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีกรุป]]