ดูต้นฉบับสำหรับ เวกเตอร์สี่มิติ

{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
ใน[[ทฤษฎีสัมพัทธภาพ]] '''เวกเตอร์สี่มิติ ''' (four-vector) เป็น[[เวกเตอร์]]ใน[[ปริภูมิเวกเตอร์]]เหนือฟิลด์ของ[[จำนวนจริง]]ใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม [[ปริภูมิมิงคอฟสกี]] (Minkowski space)

ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น การหมุนใน 3 มิติ  (spatial rotations) และ การบูสต์  (boosts) (การเปลี่ยนจาก[[กรอบอ้างอิงเฉื่อย]]เดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัด[[อวกาศ]]และ[[เวลา]] <math>\left(t,x,y,z\right)</math>

เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวม ๆ ว่า  [[การแปลงโลเร็นตซ์]] (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น [[กรุ๊ปโลเร็นตซ์]] (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์ <math>4\times 4</math>

== คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ ==

จุดใน[[อวกาศมิงคอฟสกี|ปริภูมิมิงคอฟสกี]]ถูกเรียกว่า  เหตุการณ์ (event)  และถูกบรรยายด้วย  เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector)  กำหนดโดย

:<math> \mathsf{x}:=\left(x^\mu\right)=\left(x^0, x^1, x^2, x^3\right)=\left(ct, x, y, z \right) </math>

สำหรับ <math>\left.\mu=0,1,2,3\right.</math> เมื่อ <math>\left.c\right.</math> เป็น[[อัตราเร็วแสงในสุญญากาศ]] (speed of light) 

[[ผลคูณภายใน]] (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ <math>\mathsf{x}</math> กับ <math>\mathsf{y}</math> ถูกกำหนดโดย (ใช้ [[Einstein notation]]) 

{|
|-
|<math>\mathsf{x}\cdot\mathsf{y}</math>
|<math>\equiv x^\mu\eta_{\mu\nu}y^\nu
= \left( \begin{matrix}x^0 & x^1 & x^2 & x^3 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}y^0 \\ y^1 \\ y^2 \\ y^3 \end{matrix} \right)</math>
|-
|
|<math>= \left.- x^0 y^0 + x^1 y^1 + x^2 y^2 + x^3 y^3\right.</math>
|}

เมื่อ <math>\left.\eta\right.</math> เป็น [[เมตริกมิงคอฟสกี]] (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product)  

เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ  [[อวกาศมิงคอฟสกี|สเปซไลค์]] (spacelike)  [[อวกาศมิงคอฟสกี|ไทม์ไลค์]] (timelike)  และ  [[อวกาศมิงคอฟสกี|นัล]] (lightlike หรือ null)  

โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ [[อวกาศมิงคอฟสกี|สเปซไลค์]] (spacelike 4-vector) [[อวกาศมิงคอฟสกี|ไทม์ไลค์]] (timelike 4-vector) และ [[อวกาศมิงคอฟสกี|นัล]] (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ

== ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์ ==

:<math>\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma}</math>

เมื่อ <math>\left.\gamma\right.</math> คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของ[[ทฤษฎีสัมพัทธภาพ]] บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)

เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญ ๆ ใน[[ทฤษฎีสัมพัทธภาพ]] ก็เช่น เวกเตอร์[[ความเร็วสี่มิติ]] (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:

:<math>\mathsf{U} := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\mathsf{x}= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathsf{x} = \left(\gamma c, \gamma \mathbf{u} \right)</math>

หรือ

:<math>\left(U^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(x^\mu\right)= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(x^\mu\right) = \left(\gamma c, \gamma u^i \right)</math>

เมื่อ

:<math>u^i = \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}</math>

สำหรับ <math>\left.i=1,2,3\right.</math> สังเกตว่า

:<math> \mathsf{U}\cdot\mathsf{U} := U^\mu U_\mu = -c^2</math>

เวกเตอร์[[ความเร่งสี่มิติ]] (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:

:<math>\mathsf{A} := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\mathsf{U}= \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2}\mathsf{x} = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \mathbf{\dot{u}} \right)</math>

หรือ

:<math>\left(A^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(U^\mu\right) = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2}\left(x^\mu\right) = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma}u^i + \gamma^2\dot{u}^i \right)</math>

สังเกตว่าเวกเตอร์[[ความเร่งสี่มิติ]]ตั้งฉากกับเวกเตอร์[[ความเร็วสี่มิติ]] คือ <math>\mathsf{A}\perp\mathsf{U}</math> 

:<math>\mathsf{A}\cdot\mathsf{U} := A^\mu U_\mu = 0</math>

เวกเตอร์[[โมเมนตัมสี่มิติ]] (four-momentum)  ถูกกำหนดโดย

:<math>\mathsf{P} := m\mathsf{U} = \left(\gamma mc,  \gamma m\mathbf{u}\right)= \left(\gamma mc, \mathbf{p}\right)</math>

หรือ

:<math>\left(P^\mu\right) := m\left(U^\mu\right) = \left(\gamma mc,  \gamma mu^i\right) = \left(\gamma mc,  p^i\right)</math>

เมื่อ <math>\left.m\right.</math> คือ[[มวล]]ของอนุภาค และ <math>\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{u}</math> คือ[[โมเมนตัม]]ของอนุภาค 

เวกเตอร์[[แรงสี่มิติ]] (four-force)  ถูกกำหนดโดย

:<math>\mathsf{F} := \frac{\mathrm{d}\mathsf{P}}{\mathrm{d}\tau} = m\mathsf{A} = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma\mathbf{f} \right)</math>

หรือ

:<math> \left(F^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(P^\mu\right) = m\left(A^\mu\right) = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma \mathbf{f} \right) </math>

เมื่อ

:<math> \mathbf{f} \equiv m\dot{\gamma}\mathbf{u} + m\gamma\mathbf{\dot{u}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma m\mathbf{u}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</math>

เป็น[[แรง]]ที่กระทำต่ออนุภาค

=== Deriving ''E'' = ''mc''<sup>2</sup> ===

เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ (''K'') ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้

:<math> \frac{dK}{dt}= \mathbf{f} \cdot \mathbf{u} </math>

== ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า ==

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น 

เวกเตอร์[[ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ]] (four-current) กำหนดโดย

:<math> \mathsf{J} := \left(J^\mu\right) = \left( \rho c, \mathbf{j} \right) </math> 

ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density) <math>\mathbf{j}</math> และ ความหนาแน่นประจุ (charge density) <math>\left.\rho\right.</math>  

เวกเตอร์[[ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ]] (electromagnetic four-potential)  กำหนดโดย

:<math> \mathsf{A} := \left(A^\mu\right) =\left(\frac{\varphi}{c}, \mathbf{A} \right)</math>

ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential) <math>\mathbf{A}</math> และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential) <math>\varphi</math>   

[[คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า]]ระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย  เวกเตอร์[[ความถี่สี่มิติ]] (four-frequency)  ดังนี้

:<math>\mathsf{N} := \left(N^\mu\right) =\left(\nu, \nu \hat{\mathbf{n}}\right)</math>

เมื่อ <math>\left.\nu\right.</math> เป็น[[ความถี่]] (frequency) ของ[[คลื่น]] และ <math>\hat{\mathbf{n}}</math> เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น   สังเกตว่า

:<math>\mathsf{N}\cdot\mathsf{N} :=  N^\mu N_\mu = \nu^2\left(n^2-1\right) = 0 </math>

ดังนั้นเวกเตอร์[[ความถี่สี่มิติ]] (four-frequency) จะมี[[นอร์ม]]เป็นศูนย์เสมอ เรียกเวกเตอร์สี่มิติแบบนี้ว่า null vector

== อ้างอิง ==
* [[:en:Four-vector|Four-vector]], วิกิพีเดีย ภาษาอังกฤษ
* Rindler, W. ''Introduction to Special Relativity (2nd edn.)'' (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
* [http://www.physto.se/%7Enarit/gravity.pdf ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและเอกภพวิทยา] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060509050145/http://www.physto.se/%7Enarit/gravity.pdf |date=2006-05-09 }} โดย [http://www.physto.se/%7Enarit/ ณฤทธิ์ ปิฎกรัชต์] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051031161500/http://www.physto.se/%7Enarit/ |date=2005-10-31 }}

== ดูเพิ่ม ==
*[[ความเร็วสี่มิติ]] (four-velocity)
*[[ความเร่งสี่มิติ]] (four-acceleration)
*[[โมเมนตัมสี่มิติ]] (four-momentum)
*[[แรงสี่มิติ]] (four-force)
*[[ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ]] (four-current)
*[[ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ]] (electromagnetic four-potential)




[[หมวดหมู่:ทฤษฎีสัมพัทธภาพ|วเกเตอร์สี่มิติ]]
[[หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์]]
[[หมวดหมู่:กาล-อวกาศมินคอฟสกี]]
{{โครงฟิสิกส์}}