ดูต้นฉบับสำหรับ เลขฐานสิบ

{{ต้องการอ้างอิง}}
{{ระบบตัวเลข}}
'''เลขฐานสิบ''' หรือ '''ทศนิยม''' (Decimal) หมายถึง ระบบตัวเลขที่มีตัวเลข [[10]] ตัว คือ 0 – 9

== สัญลักษณ์แทนเลขฐานสิบ ==

การเขียน[[จำนวน]]ในรูปทศนิยมคือการเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปเลขฐานสิบ ซึ่งมีสัญลักษณ์อยู่ 10 ตัว (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9) และอาจมีการใช้ร่วมกับ[[จุดทศนิยม]] สำหรับจำนวนที่ไม่ใช่[[จำนวนเต็ม]] และใช้สัญลักษณ์ + และ − เพื่อบอกค่าบวกและค่าลบ

เลขฐานสิบนี้เป็นเลขฐานปกติที่คนทั่วไปใช้ เนื่องจากมนุษย์มีสิบนิ้ว แต่ถึงอย่างไรก็ตาม ในอดีตก็มีผู้ที่ใช้เลขฐานที่ไม่ใช่ฐานสิบ เช่น ชาว[[ประเทศไนจีเรีย|ไนจีเรีย]]ใช้[[เลขฐานสิบสอง]] และ[[ชาวบาบิโลเนียน]]ใช้[[เลขฐานหกสิบ]] และชาวเผ่ายูกิใช้[[เลขฐานแปด]]

สัญลักษณ์แทนเลขแต่ละหลักนั้น โดยทั่วไปจะใช้[[เลขอารบิก]] และ[[เลขอินเดีย]] ซึ่งมาจากระบบเดียวกัน แต่มีรูปแบบการใช้ที่แตกต่างกัน

== การเขียนจำนวนจริงในรูปทศนิยม ==
=== เศษส่วนและทศนิยม ===
==== เลขทศนิยม ====
การเขียนเศษส่วนให้เป็นทศนิยม ทำได้โดยให้ตัวส่วนเป็นกำลังของสิบ

การเขียนทศนิยมนั้นไม่จำเป็นต้องเขียนตัวส่วนเหมือนเศษส่วน แต่ใช้เครื่องหมาย[[จุดทศนิยม]] (อาจต้องเพิ่ม 0 ด้านหน้า ถ้าจำเป็น) และตำแหน่งของตัวเลขจะเกี่ยวข้องกับส่วน ที่เป็นกำลังของสิบ เช่น <math>\frac{8}{10}, \frac{833}{100}, \frac{83}{1000}, \frac{8}{10000}</math>และ <math>\frac{80}{10000}</math> สามารถเขียนได้เป็น <math>0.8, 8.33, 0.083, 0.0008</math> และ <math>0.008</math> ตามลำดับ

จำนวนที่เขียนได้ในลักษณะนี้ เป็น เลขทศนิยม

ส่วนที่เป็น[[จำนวนเต็ม]]และ[[เศษส่วน]] จะถูกแยกกันด้วยเครื่องหมาย[[จุดทศนิยม]] ซึ่งเราใช้เครื่องหมาย มหัพภาค (.) แทนจุดทศนิยม ถ้าจำนวนนั้นเป็นเศษส่วนที่น้อยกว่าหนึ่ง เราจำเป็นต้องใส่ 0 นำหน้า (กล่าวคือ เรานิยมเขียน 0.5 มากกว่า .5) เลขศูนย์ตามท้ายทศนิยมถือว่าไม่จำเป็นในทาง[[คณิตศาสตร์]] นั่นคือ 0.080 และ 0.08 มีความหมายเหมือนกันในทางคณิตศาสตร์ แต่ในทาง[[วิศวกรรม]] 0.080 บอกว่า อาจมีความคลาดเคลื่อนได้ไม่เกินหนึ่งในพัน แต่ 0.08 อาจมีความคลาดเคลื่อนได้ไม่เกินหนึ่งในร้อย

==== การเขียนเลขอื่น ๆ ในรูปทศนิยม ====
จำนวนอื่น ๆ ที่ไม่อาจเขียนได้อยู่ในรูปทศนิยมที่มีจุดสิ้นสุด เราจะเขียนจำนวนเหล่านี้ได้ในรูปทศนิยมซ้ำ 

เนื่องจาก 10 เป็นผลคูณของ[[จำนวนเฉพาะ]]จำนวนแรกและจำนวนที่สาม (นั่นคือ [[2]] และ [[5]]) ซึ่งมากกว่ากำลังสองของจำนวนเฉพาะจำนวนที่สองอยู่หนึ่ง (กำลังสองของ [[3]] คือ [[9]] และน้อยกว่าจำนวนเฉพาะจำนวนที่ห้าอยู่หนึ่ง ([[11]]) ทำให้มีรูปแบบของทศนิยมบางรูปแบบ ดังนี้

:<math>\frac{1}{2} = 0.5</math>
:<math>\frac{1}{3} = 0.333333\cdots</math> (3 ซ้ำ)
:<math>\frac{1}{4} = 0.25</math> 
:<math>\frac{1}{5} = 0.2</math> 
:<math>\frac{1}{6} = 0.166666\cdots</math> (6 ซ้ำ)
:<math>\frac{1}{7} = 0.142857142857\cdots</math>(142857 ซ้ำ)
:<math>\frac{1}{8} = 0.125</math>
:<math>\frac{1}{9} = 0.111111\cdots</math> (1 ซ้ำ)
:<math>\frac{1}{10} = 0.1</math>
:<math>\frac{1}{11} = 0.090909\cdots</math> (09 ซ้ำ)
:<math>\frac{1}{12} = 0.083333\cdots</math> (3 ซ้ำ)
:<math>\frac{1}{81} = 0.012345679012\cdots</math> (012345679 ซ้ำ)

สำหรับจำนวนที่มีจำนวนเฉพาะอื่น ๆ เป็นตัวส่วนนั้นจะทำให้มีรูปแบบที่ซ้ำยาวขึ้น เช่น [[7]] และ [[13]]
 
การหาชุดของทศนิยมซ้ำนั้นทำได้โดยการตั้งหารยาว เราจะมีเศษไม่ใช่ศูนย์เพียง q-1 แบบเท่านั้นจากการหารด้วย q ดังนั้น ช่วงของทศนิยมซ้ำจะยาวไม่เกิน q-1 อย่างแน่นอน ลองดูตัวอย่างของการหา <math>3/7</math> ในรูปทศนิยม

         <u>  0.4 2 8 5 7 1 4 ..</u>.
  7 ) 3.0 0 0 0 0 0 0 0 
     <u> 2 8 </u>                        <math>\frac{30}{7}</math> = 4 เศษ 2
        2 0
       <u> 1 4 </u>                      <math>\frac{20}{7}</math> = 2 เศษ 6
          6 0
         <u> 5 6 </u>                    <math>\frac{60}{7}</math> = 8 เศษ 4
            4 0
           <u> 3 5 </u>                  <math>\frac{40}{7}</math> = 5 เศษ 5
              5 0
             <u> 4 9 </u>                <math>\frac{50}{7}</math> = 7 เศษ 1
                1 0
               <u>   7 </u>              <math>\frac{10}{7}</math> = 1 เศษ 3
                  3 0
                 <u> 2 8 </u>            <math>\frac{30}{7}</math> = 4 เศษ 2  (ซ้ำ)
                    2 0
                         ฯลฯ

ในทางตรงกันข้าม เราสามารถเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วน <math>\frac{p}{q}</math> ได้ โดยใช้รูปแบบทางเรขาคณิต เพื่อหาผลรวมของชุดทศนิยม เช่น
:<math>0.0123123123\cdots = \frac{123}{10000} \sum_{k=0}^\infty 0.001^k = \frac{123}{10000}\ \frac{1}{1-0.001} = \frac{123}{9990} = \frac{41}{3330}</math>

== ดูเพิ่ม ==
* [[ทศนิยม]]
* [[ระบบทศนิยมดิวอี้]]
* [[เลขฐานสิบเข้ารหัสฐานสอง]] (BCD)

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
* [http://www2.hursley.ibm.com/decimal/decifaq.html คำถามพบบ่อยเกี่ยวกับทศนิยม]
* [http://www.kwiznet.com/p/takeQuiz.php?ChapterID=1352 แบบทดสอบ: ค่าประจำตำแหน่งของทศนิยม]

[[หมวดหมู่:ระบบเลขเชิงตำแหน่ง|สิบ]]
[[หมวดหมู่:เลขคณิตมูลฐาน|ลเลขฐานสิบ]]
[[หมวดหมู่:เศษส่วน]]