ดูต้นฉบับสำหรับ เรเดียน

{{ชื่ออื่น|คณิตศาสตร์}}
{{Infobox unit
| name = เรเดียน
| image = Circle radians.gif
| caption = มุมขนาด 1 เรเดียน จนถึง 2{{math|[[พาย (อักษรกรีก)|&pi;]]}} เรเดียน
| standard = [[หน่วยอนุพัทธ์เอสไอ]]
| quantity = [[มุม]]
| symbol = rad
| symbol2 = {{sup|c}}
| symbol3 = r
| symbol4 = {{sup|R}}<ref name="Hall_1909"/>
| units1     = [[มิลลิเรเดียน]]
| inunits1   = 1000 mrad
| units2     = รอบ
| inunits2   = {{sfrac|1|2{{pi}}}} รอบ
| units3     = [[องศา]]
| inunits3   = {{sfrac|180°|{{pi}}}} ≈ 57.296°
| units4     = [[แกร็ด]]
| inunits4   = {{sfrac|200<sup>g</sup>|{{pi}}}} ≈ 63.662<sup>g</sup>
}}
[[ไฟล์:Radian-common.svg|thumb|357px|right|มุมปกติทั่วไปบางมุม วัดในหน่วยเรเดียน]]

'''เรเดียน''' ({{langx|en|radian}}) คือหน่วยวัด[[มุม]]ชนิดหนึ่งบนระนาบ[[สองมิติ]] ใช้สัญลักษณ์ "rad" หรืออักษร c ตัวเล็กที่ยกสูงขึ้น (มาจาก ''circular measure'') ซึ่งไม่เป็นที่นิยมนัก ตัวอย่างเช่น มุมขนาด 1.2 เรเดียน สามารถเขียนได้เป็น "1.2 rad" หรือ "1.2<sup>c</sup>"

เรเดียนเคยเป็น ''หน่วยเสริม'' ของ[[หน่วยเอสไอ]] แต่ถูกยกเลิกใน พ.ศ. 2538 และปัจจุบันนี้เรเดียนได้ถูกพิจารณาให้เป็น ''หน่วยอนุพัทธ์'' ในหน่วยเอสไอ สำหรับการวัดมุมในวัตถุทรงตัน ดูที่[[สเตอเรเดียน]]

ทุกวันนี้เรเดียนเป็นหน่วยพื้นฐานของการวัดมุมในวิชา[[คณิตศาสตร์]] และสัญลักษณ์ "rad" มักจะถูกละไว้ในการเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ เมื่อใช้หน่วย[[องศา (มุม)|องศา]]จะใช้สัญลักษณ์วงกลมเล็ก [[เครื่องหมายองศา|°]] เพื่อให้เห็นความแตกต่างระหว่างองศากับเรเดียน

== นิยาม ==
หนึ่งเรเดียน คือ ขนาดของมุมที่วัดจาก[[จุดศูนย์กลาง]]ของ[[วงกลม]] ที่กางออกตาม[[ส่วนโค้ง]]ของวงกลม ซึ่งส่วนโค้งนั้นมีความยาวเท่ากับ[[รัศมี]]ของวงกลมพอดี

== ประวัติ ==
คำว่า ''radian'' ปรากฏครั้งแรกในงานพิมพ์เมื่อวันที่ 5 มิถุนายน พ.ศ. 2416 ในข้อสอบของวิทยาลัย[[ควีนส์คอลเลจ]] เมือง[[เบลฟาสต์]] [[ไอร์แลนด์เหนือ]] [[สหราชอาณาจักร]] โดย[[เจมส์ ทอมสัน]] (พี่ชายของ[[ลอร์ด เคลวิน]]) เขายังเคยใช้คำนี้ใน พ.ศ. 2414 ซึ่งก่อนหน้านี้ 2 ปีในขณะที่เซอร์[[ทอมัส มิวร์]] แห่ง[[มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์]] ลังเลที่จะใช้คำว่า ''rad'', ''radial'' หรือ ''radian'' แทนนิยามดังกล่าว และเมื่อทอมสันใช้คำว่า ''radian'' เซอร์มิวร์จึงรับรองการตัดสินใจของเขา

อย่างไรก็ตาม แนวความคิดของการวัดมุมในหน่วยเรเดียน เพื่อให้แตกต่างจากการวัดมุมเป็นองศา ริเริ่มมาจากความคิดของ[[รอเจอร์ โคตส์]] ใน พ.ศ. 2257 เขามีทุกอย่างที่เกี่ยวกับแนวความคิดนี้ยกเว้นเพียง "ชื่อ" และเขายอมรับว่าการวัดมุมนี้เป็น[[หน่วยธรรมชาติ]]อีกด้วย

== การอธิบาย ==
{| class="wikitable floatright"
|+ ค่าที่ใช้บ่อย
![[องศา (มุม)|องศา]]
!เรเดียน
|-
| <math>180^\circ</math> || <math>\pi \approx 3{.}1416</math>
|-
| <math>90^\circ</math> || <math>\frac12 \pi \approx 1{.}5708</math>
|-
| <math>45^\circ</math> || <math>\frac{1}{4} \pi \approx 0{.}7854</math>
|-
| <math>57^\circ\, 17'\, 45''</math>
| rowspan="2" | <math>\approx 1</math>
|-
| <math>57{.}29577951^\circ</math>
|-
| <math>1^\circ</math> || <math>\frac{\pi}{180} \approx 17{.}45\,\text{mrad}</math>
|-
| <math>3{.}44'</math> ([[ลิปดา]]) || <math>1\,\text{mrad} = 0{.}001</math>
|-
| <math>1''</math> ([[พิลิปดา]]) || <math>4{.}85\,\mu \text{rad}</math>
|}

เรเดียนมีประโยชน์ในการแยกแยะระหว่างปริมาณของความแตกต่างในธรรมชาติ แต่ยังอยู่ใน[[มิติ]]เดียวกัน ตัวอย่างเช่น [[ความเร็วเชิงมุม]]สามารถวัดได้ในหน่วยเรเดียนต่อ[[วินาที]] (rad/s) เป็นการใช้หน่วยเรเดียนเพื่อเน้นว่า ความเร็วเชิงมุมมีค่าเท่ากับ 2π คูณด้วย[[ความถี่]]ของการหมุน

ในทางปฏิบัติ สัญลักษณ์ "rad" จะถูกใช้ในที่ที่เหมาะสม แต่โดยทั่วไปแล้วหน่วยเรเดียนมักจะถูกละเลยไปเมื่อเขียนรวมกับจำนวนอื่น ๆ 

ในวงกลมหนึ่งหน่วย จะมีมุมรอบจุดศูนย์กลางเท่ากับ 2π เรเดียน ดังนั้น

::<math>2\pi\mbox{ rad} = 360^\circ</math>
::<math>1 \mbox{ rad} = \frac {360^\circ} {2 \pi} = \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57.29577951^\circ </math>

หรือ

::<math>360^\circ=2\pi\mbox{ rad}</math>
::<math>1^\circ=\frac{2\pi}{360}\mbox{ rad}=\frac{\pi}{180}\mbox{ rad} \approx 0.01745329\mbox{ rad}</math>

โดยทั่วไป เราสามารถบอกได้ว่า

::<math>x \mbox{ rad} = x \frac {180^\circ} {\pi}</math>

ตัวอย่างเช่น เมื่อเราต้องการแปลงค่า -1.570796 เรเดียนไปเป็นหน่วยองศา สามารถทำได้ดังนี้

::<math>-1.570796 \mbox{ rad} = -1.570796 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx -90^\circ</math>

ในวิชา[[แคลคูลัส]] มุมต่าง ๆ จะต้องใช้เป็นหน่วยเรเดียนใน[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]] เพื่อให้สามารถสร้าง[[เอกลักษณ์]] แสดงผลลัพธ์อย่างง่าย และเป็นธรรมชาติให้มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ตัวอย่างการใช้เรเดียนปรากฏในเอกลักษณ์ต่อไปนี้

::<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1</math>

ซึ่งเป็นพื้นฐานของเอกลักษณ์อื่น ๆ ในทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งเอกลักษณ์นี้ด้วย

::<math>\frac{d}{dx} \sin x = \cos x</math>

== การวิเคราะห์เชิงมิติ ==
ถึงแม้ว่าเรเดียนจะเป็นหน่วยในการวัดอันหนึ่ง แต่สิ่งใดก็ตามที่วัดเป็นเรเดียนจะ[[ความไร้มิติ|ไร้มิติ]] โดยความไร้มิติสามารถเห็นได้จาก [[อัตราส่วน]]ระหว่างความยาวของส่วนโค้งกับความยาวรัศมี ที่ทำมุมกันแล้วใส่หน่วยเป็นเรเดียน ซึ่งผล[[หาร]]ดังกล่าวนั้นไร้มิติ (ไม่มีหน่วย)

เราสามารถเห็นความไร้มิติของเรเดียนได้อีกทางหนึ่งโดยพิจารณาจาก[[อนุกรมเทย์เลอร์]] สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ [[ไซน์]] ของ[[ตัวแปร]] ''x''

::<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots</math>

หากตัวแปร ''x'' นั้นมีหน่วย (มีมิติ) ผลรวมของ[[อนุกรม]]นี้จะไร้ความหมาย เนื่องจากพจน์ ''x'' ที่มีหน่วยเป็น "เรเดียนกำลังหนึ่ง" จะไม่สามารถบวกกับพจน์ <math>x^3/3!</math> ที่มีหน่วยเป็น "เรเดียนกำลังสาม" ได้ รวมทั้งพจน์ถัด ๆ ไปของอนุกรมด้วย เมื่อเป็นเช่นนี้แล้ว ''x'' จะต้องไร้มิติเพื่อให้ผลรวมของอนุกรมมีความหมาย

== พหุคูณเอสไอ ==
[[คำอุปสรรค]]ของ[[หน่วยเอสไอ]]มีการใช้อย่างจำกัดในหน่วยเรเดียน หน่วย[[มิลลิเรเดียน]] (0.001 rad หรือ 1 mrad) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า "มิล" (angular mil) ถูกใช้ในวิชา[[อาวุธปืน]]และการเล็งระยะเป้าหมาย เนื่องจากในระยะ 1,000 [[เมตร]] มุมที่เปลี่ยนไปเพียง 1 มิลลิเรเดียน จะทำให้เป้าหมายคลาดเคลื่อนไปถึง 1 เมตร (ในมุมที่เล็กเช่นนั้น ความโค้งของส่วนโค้งของวงกลมไม่มีนัยสำคัญ) ความแตกต่างของลำแสง[[เลเซอร์]]ก็สามารถวัดได้ในหน่วยมิลลิเรเดียน สำหรับหน่วยที่เล็กกว่านี้เช่น [[ไมโครเรเดียน]] (µrad) และ[[นาโนเรเดียน]] (nrad) จะถูกใช้ในทาง[[ดาราศาสตร์]] และยังสามารถใช้วัดคุณภาพของลำแสงเลเซอร์ที่แตกต่างกันน้อยมาก ในทำนองเดียวกัน คำอุปสรรคที่เล็กกว่า มิลลิ - มีประโยชน์ในการวัดค่ามุมที่เล็กอย่างยิ่งยวดได้อย่างมีศักยภาพ อย่างไรก็ตาม คำอุปสรรคที่ใหญ่กว่านี้ไม่ปรากฏว่ามีประโยชน์เท่าใดนัก โดยสาเหตุหลักเนื่องจากค่ามุมที่เกิน 2π เรเดียน จะกลับไปเริ่มต้นวัดมุมในวงกลมวงเดิมอีกรอบหนึ่ง

== ดูเพิ่ม ==
* [[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]]
* [[การวิเคราะห์ฮาร์โมนิก]]
* [[ความถี่เชิงมุม]]
* [[แกร็ด]]
* [[องศา (มุม)|องศา]]
* [[สเตอเรเดียน]] "เรเดียนกำลังสอง"

[[หมวดหมู่:หน่วยวัด]]
[[หมวดหมู่:หน่วยธรรมชาติ]]
[[หมวดหมู่:หน่วยอนุพัทธ์เอสไอ]]
[[หมวดหมู่:หน่วยมุม]]
[[หมวดหมู่:พาย (ค่าคงตัว)]]
{{ระบบเอสไอ}}