ดูต้นฉบับสำหรับ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค

'''เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค''' ({{langx|en|conjugate transpose}}) ของ[[เมทริกซ์]] A มิติ ''m''×''n'' ซึ่งมีสมาชิกเป็น[[จำนวนเชิงซ้อน]] คือ[[เมทริกซ์สลับเปลี่ยน]]ของเมทริกซ์ A ซึ่งเปลี่ยนสมาชิกทั้งหมดเป็นสังยุค เขียนแทนด้วยเมทริกซ์ A* หรือสามารถนิยามได้จาก
::<math>(A^*)_{i,j} = \overline{A_{j,i}}</math>
เมื่อ 1 ≤ ''i'' ≤ ''n'' และ 1 ≤ ''j'' ≤ ''m'' และขีดเส้นตรงหมายถึง[[สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน]] (อาทิ สังยุคของ ''a'' + ''b''i คือ ''a'' − ''b''i เป็นต้น)

นิยามดังกล่าวสามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้
::<math>A^* = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}}</math>
ซึ่ง <math>A^\mathrm{T}\!</math> คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยน และ <math>\overline{A}</math> คือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นสังยุค

ชื่ออื่น ๆ ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค เช่น ''เมทริกซ์สลับเปลี่ยนเอร์มีเชียน'' (Hermitian transpose) ''เมทริกซ์สังยุคเอร์มีเชียน'' (Hermitian conjugate) ''ทรานสจูเกต'' (transjugate) หรือแม้แต่ ''เมทริกซ์ผูกพัน'' (adjoint matrix) ซึ่งคำสุดท้ายนี้อาจหมายถึง[[เมทริกซ์แอดจูเกต]] (adjugate matrix) ก็ได้ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ได้อีกหลายรูปแบบ เช่น
* <math>A^*\!</math> หรือ <math>A^\mathrm{H}\!</math> ใช้ใน[[พีชคณิตเชิงเส้น]]
* <math>A^\dagger</math> ใช้ใน[[กลศาสตร์ควอนตัม]]
* <math>A^+\!</math> ใช้ใน[[ตัวผกผันเทียมมัวร์-เพนโรส]] (Moore-Penrose pseudoinverse)

== ตัวอย่าง ==
กำหนดให้เมทริกซ์ A
::<math>A = \begin{bmatrix}
3+i & 5 \\
2-2i & i \\
\end{bmatrix}</math>
เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A คือ
::<math>A^* = \begin{bmatrix}
3-i & 2+2i \\
5 & -i \\
\end{bmatrix}</math>

== คุณสมบัติ ==
* <math>(A+B)^* = A^*+B^*\!</math> สำหรับเมทริกซ์ A และ B ใดๆ ที่มีมิติเท่ากัน
* <math>(rA)^* = r^*A^*\!</math> สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ''r'' และเมทริกซ์ A ใด ๆ <math>r^*</math> ในที่นี้หมายถึงสังยุคของ ''r''
* <math>(AB)^* = B^*A^*\!</math> สำหรับเมทริกซ์ A มิติ ''m''×''n'' และเมทริกซ์ B มิติ ''n''×''p'' (สามารถคูณกันได้)
* <math>(A^*)^* = A\!</math> สำหรับเมทริกซ์ A ใด ๆ
* ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว <math>\det (A^*) = (\det A)^*\!</math> และ <math>\operatorname{tr} (A^*) = (\operatorname{tr} A)^*\!</math> (ดูเพิ่มที่[[ดีเทอร์มิแนนต์]]และ[[รอยเมทริกซ์]])
* A* จะสามารถมี[[ตัวผกผัน]]ได้ก็ต่อเมื่อ A มีตัวผกผัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวเราจะได้ว่า <math>(A^*)^{-1} = (A^{-1})^*\!</math>
* [[ค่าลักษณะเฉพาะ]] (eigenvalue) ของเมทริกซ์ A* คือสังยุคของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A

== ดูเพิ่ม ==
* [[เมทริกซ์เอร์มีเชียน]] (Hermitian matrix)
* [[เมทริกซ์เอร์มีเชียนเสมือน]] (skew-Hermitian matrix)
* [[เมทริกซ์ปรกติ]] (normal matrix)
* [[เมทริกซ์ยูนิแทรี]] (unitary matrix)

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
* {{MathWorld | urlname=ConjugateTranspose | title=Conjugate Transpose}}
* {{planetmath reference|id=4382|title=Conjugate transpose}}

[[หมวดหมู่:เมทริกซ์|สลับเปลี่ยนสังยุค]]
[[หมวดหมู่:พีชคณิตเชิงเส้น|มเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค]]