ดูต้นฉบับสำหรับ เซตกำลัง

{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
[[ไฟล์:Hasse diagram of powerset of 3.svg|right|thumb|250px|สมาชิกของเซตกำลังของเซต {''x'', ''y'', ''z''}  [[ทฤษฎีการเรียงลำดับ|เรียงลำดับ]]ตาม[[สับเซต|การมีสมาชิกในอีกเซตหนึ่งทั้งหมด]]]]
ในวิชา[[คณิตศาสตร์]] '''เซตกำลัง''' หรือ '''เพาเวอร์เซต''' ({{langx|en|power set}}) ของ[[เซต (คณิตศาสตร์)|เซต]] ''S'' ใด ๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ <math>\mathcal{P}(S)</math>, ''P''(''S''), ℙ(''S''), [[Weierstrass p|&weierp;]](''S'') หรือ [[เซตกำลัง#แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชัน|2<sup>''S''</sup>]] เป็นเซตของ[[เซตย่อย]]ทั้งหมดของ ''S'' รวมทั้ง[[เซตว่าง]] และเซต ''S'' เอง ตามหลัก[[ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์]] (เช่นสัจพจน์ [[ZFC]]) [[สัจพจน์แห่งเซตกำลัง]]รองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใด ๆ<ref>Devlin (1979) หน้า 50</ref>

เซตย่อยใด ๆ ของ <math>\mathcal{P}(S)</math> เรียกว่า ''[[ครอบครัวของเซต]]'' บน ''S''

==ตัวอย่าง==

ถ้า ''S'' เป็นเซต {''x'', ''y'', ''z''} แล้วเซตย่อยของ ''S'' ได้แก่:

* {} (อาจเขียนแทนด้วย <math>\varnothing</math> เรียก[[เซตว่าง]])
* {''x''} 
* {''y''}
* {''z''}
* {''x'', ''y''}
* {''x'', ''z''}
* {''y'', ''z''}
* {''x'', ''y'', ''z''}
ดังนั้นเซตกำลังของ ''S'' คือ {{}, {''x''}, {''y''}, {''z''}, {''x'', ''y''}, {''x'', ''z''}, {''y'', ''z''}, {''x'', ''y'', ''z''}} <ref>Puntambekar (2007), {{Google books quote|id=IYnkhA92BzIC|pg=SA1-PA2|text=The power set is|หน้า 1-2}}</ref>

==สมบัติ==

ถ้า <math>S</math> เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก <math>|S| = n</math> ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ <math>S</math> คือ <math>|\mathcal{P}(S)| = 2^n</math> ทำให้เกิดสัญกรณ์ <math>2^S</math> สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้
: เขียนเซตย่อยใด ๆ ของ <math>S</math> ในรูปแบบ <math>\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\}</math> ซึ่ง <math>\omega_i , 1 \le i \le n</math> มีค่า <math>0 </math> หรือ <math> 1</math> ถ้า <math> \omega_i = 1</math> สมาชิกตัวที่<math> i </math> ของ <math>S</math> อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่<math>i</math>ไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ <math>2^n</math>

[[การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์]] แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี [[ภาวะเชิงการนับ]] มากกว่าเซตนั้น ๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใด ๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้น ๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง[[ทฤษฎีบทของคันทอร์]]แสดงว่าเซตกำลังของ[[เซตอนันต์นับได้]]เป็น[[เซตอนันต์นับไม่ได้]] ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของ[[จำนวนธรรมชาติ]]มี[[ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง|ความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง]]กับเซตของ[[จำนวนจริง]] (ดูหน้า [[:en:cardinality of the continuum|cardinality of the continuum]])

เซตกำลังของเซต ''S'' และการดำเนินการหา[[ยูเนียน]] [[อินเตอร์เซกชัน]] และ [[ส่วนเติมเต็ม]] สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของ[[พีชคณิตแบบบูล]] ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใด ๆ เป็น[[สมสัณฐาน]]กับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูล''ขนาดอนันต์'' ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วย[[โครงสร้างพีชคณิตย่อย]] ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า [[:en:Stone's representation theorem|Stone's representation theorem]])

เซตกำลังของเซต ''S'' ก่อให้เกิด [[อาบีเลียนกรุป]] เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหา[[ผลต่างสมมาตร]] (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้น ๆ) เซตกำลังของเซต ''S'' ยังก่อให้เกิด[[โมนอยด์]][[สมบัติการสลับที่|สลับที่]] เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์[[สมบัติการแจกแจง|กฎการแจกแจง]]สามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้าง[[ริงแบบบูล]]

==แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชัน== 
ในวิชาทฤษฎีเซต [[ปริภูมิฟังก์ชัน|''X''<sup>''Y''</sup>]] เป็นเซตของ[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]]ทั้งหมดจาก ''Y'' ไป ''X''  เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า [[จำนวนธรรมชาติ#การสร้างมาตรฐาน|จำนวนธรรมชาติ]]) ดังนั้น 2<sup>''S''</sup> (นั่นคือ {0,1}<sup>''S''</sup>) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก ''S'' ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2<sup>''S''</sup> กับ[[บุพภาพ]]ที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามี[[ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง|ความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง]]ระหว่าง 2<sup>''S''</sup> กับ <math>\mathcal{P}(S)</math> โดยแต่ละฟังก์ชันเป็น[[ฟังก์ชันบ่งชี้]]ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ<math>\mathcal{P}(S)</math> กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้  ฉะนั้น 2<sup>''S''</sup> และ <math>\mathcal{P}(S)</math> ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมี[[:en:set notation#Metaphor in denoting sets|มูลเหตุ]]สำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2<sup>''S''</sup> สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ ''X''<sup>''Y''</sup> และสมบัติของเซตกำลัง[[เซตกำลัง#สมบัติ|ข้างต้น]]ว่า |2<sup>S</sup>| = 2<sup>|S|</sup>)

สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่าง[[เซตกำลัง#ตัวอย่าง|ข้างต้น]]ที่ <math>S = \{x, y, z\}</math> เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2<sup>n</sup>−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 
''1'' ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน ''S'' บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้น
ๆ ดังนั้น {''x'', ''y''} = 110

สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ ''S'' จะได้

* {&nbsp;} = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)
* {''x''} = 100 = 4
* {''y''} = 010 = 2
* {''z''} = 001 = 1
* {''x'', ''y''} = 110 = 6
* {''x'', ''z''} = 101 = 5
* {''y'', ''z''} = 011 = 3
* {''x'', ''y'', ''z''} = 111 = 7

==ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม==
เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับ[[ทฤษฎีบททวินาม]] จำนวนของเซตที่มีสมาชิก <math>k</math> ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก <math>n</math> ตัวจะเท่ากับ[[การจัดหมู่]] <math>C(n,k) </math> เรียกอีกชื่อว่า[[สัมประสิทธิ์ทวินาม]]

ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:

*เซตขนาด 0 <math>C(3, 0) = 1</math> เซต
*เซตขนาด 1 <math>C(3, 1) = 3</math> เซต
*เซตขนาด 2 <math>C(3, 2) = 3</math> เซต
*เซตขนาด 3 <math>C(3, 3) = 1</math> เซต

==อ้างอิง==
<references/>
==รายชื่อหนังสืออ้างอิง==
* {{cite book | last=Devlin | first=Keith J. | authorlink=Keith Devlin | title=Fundamentals of contemporary set theory | url=https://archive.org/details/fundamentalsofco0000devl | series=Universitext | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1979 | isbn=0-387-90441-7 | zbl=0407.04003 }}
* {{cite book |last=Puntambekar | first=A.A. | title=Theory Of Automata And Formal Languages | year=2007 | publisher=Technical Publications | isbn=978-81-8431-193-8 }}
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต|ซเซต]]
[[หมวดหมู่:มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์]]