ดูต้นฉบับสำหรับ อสมการโคชี-ชวาร์ซ

{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
{{ใช้ปีคศ|width=250px}}
'''อสมการโคชี-ชวาร์ซ''' ({{langx|en|Cauchy–Schwarz inequality}} บางครั้งเรียก Bunyakovsky inequality หรือ Schwarz inequality, หรือ Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality) เป็น[[อสมการ]]ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายใน[[คณิตศาสตร์]]หลายสาขา อาทิเช่น วิชา[[พีชคณิตเชิงเส้น]] [[การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง]]<ref> พัฒนี อุดมกะวานิช, ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง (Real Analysis), พ.ศ. 2545 โรงพิมพ์พิทักษ์การพิมพ์</ref> [[ทฤษฎีความน่าจะเป็น]] และถือเป็นอสมการที่สำคัญที่สุดอสมการหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์ <ref>[http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html [[:en:J. Michael Steele|J. Michael Steele]], The Cauchy-Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Ch. 1, Cambridge University Press (April 26, 2004), ISBN 052154677X, ISBN 978-0521546775]</ref> อสมการโคชี-ชวาร์ซมีรูปแบบทั่วไปอีกเรียกว่า [[อสมการของโฮลเดอร์]] (Hölder's inequality)

== ประวัติ ==
อสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปของ อสมการของผลรวม ซึ่งเป็นกรณีอันตะถูกตีพิมพ์ครั้งแรกเมื่อปี ค.ศ. 1821 โดย ออกัสติน-หลุยส์ โคชี (Augustin-Louis Cauchy) ในขณะที่ วิกเตอร์ บันยาคอฟสกี้ (Viktor Bunyakovsky) ลูกศิษย์ของโคชี เสนออสมการในรูปแบบของอสมการ[[ปริพันธ์]]ที่เป็นกรณีทั่วไปกว่าในปี ค.ศ. 1859 <ref>[http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/bunyakovsky.pdf W. V.Ya. Bunyakovskii Bounjakowsky,   "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finis"  Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg (7), 1  (1859)]</ref>  และ เฮอร์มาน ชวาร์ซ (Hermann Schwarz) ค้นพบผลลัพธ์ในกรณีทั่วไปของผลคูณภายในเมื่อปี ค.ศ. 1885 <ref>[http://jeff560.tripod.com/c.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>[http://eom.springer.de/b/b017770.htm The Bunyakovskii inequality is also known as the Schwarz inequality; however, Bunyakovskii published his study as early as 1859, whereas in H.A. Schwarz' work this inequality appeared as late as 1884 (without any reference to the work of Bunyakovskii)]</ref> 

== อสมการโคชี-ชวาร์ซ ==

ให้ <math>X</math> เป็น[[ปริภูมิผลคูณภายใน]] และ <math> x , y \in X</math>

:<math> |\langle x,y\rangle| ^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle,</math>

โดยที่ <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> คือ[[ผลคูณภายใน]] หลังจากถอดรากที่สองทั้งสองข้างของอสมการ และจัดรูปให้อยู่ในรูปของ[[นอร์ม]]ของ[[เวกเตอร์]] จะได้ว่า

: <math> |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\, </math>

โดยที่อสมการทั้งสองข้างจะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ <math>x</math> และ <math>y</math> เป็น[[อิสระเชิงเส้น]]ต่อกัน (ในทางเรขาคณิต, <math>x</math> และ <math>y</math> [[ขนาน (เราขาคณิต)|ขนานกัน]] หรือเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็น[[เวกเตอร์ศูนย์]])

ในกรณี <math>\mathbb C </math> เป็นเซตของ[[จำนวนเชิงซ้อน]] และ <math>x_1,\ldots, x_n\in\mathbb C</math> และ <math>y_1,\ldots, y_n\in\mathbb C</math>  อาจสามารถเขียนอสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปแบบชัดแจ้งได้ดังนี้

:<math>|x_1 \bar{y_1} + \cdots + x_n \bar{y_n}|^2 \leq (|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2) (|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2).</math>

โดยที่ ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>, and ''y''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''y''<sub>''n''</sub> เป็นสมาชิกของเวกเตอร์ <math>x</math> และ <math>y</math> 

หรือสามารถเขียนอยู่ในรูปที่กระชับคือ

:<math>\left|\sum_{i=1}^n x_i \bar{y_i}\right|^2 \leq \sum_{j=1}^n |x_j|^2 \sum_{k=1}^n |y_k|^2 .</math>

== การพิสูจน์ <ref>วัชรพงษ์ โขวิฑูรกิจ ,ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, คณิตศาสตร์วิศวกรรมไฟฟ้าขั้นสูง, สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2546 (ISBN 974-13-2533-9) หน้า 280</ref> ==

พิจารณา กรณี <math>y = 0</math> จะได้ว่าอสมการข้างต้นเป็นจริง ซึ่งเป็นกรณีไม่สำคัญ

พิจารณา กรณี <math>y \neq 0</math>
ถ้า <math> a </math> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ 
จากอสมการจะได้ว่า <math>0 \leq \langle x-ay,x-ay \rangle = \langle x,x \rangle-a\langle y,x \rangle -\bar a\langle x,x \rangle + |a|^2\langle y,y\rangle</math> 

พบว่าถ้าแทน <math> a </math> ด้วย <math> a = \frac{\langle x,y \rangle} {\langle y,y \rangle} </math>  แล้ว อสมการโคชี-ชวาร์ซ เป็นจริง

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

[[หมวดหมู่:พีชคณิตเชิงเส้น|ค]]
[[หมวดหมู่:อสมการ|ค]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีความน่าจะเป็น|ค]]
[[หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์|ค]]