ดูต้นฉบับสำหรับ สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส


[[ไฟล์:Pythagorean_theorem_-_Ani.gif|thumb| ชีวลักษณ์ (Animation) สาธิตค่าสามค่าที่น้อยที่สุดของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส คือ {{Math|1=3{{sup|2}} + 4{{sup|2}} = 5{{sup|2}}}}]]
'''สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส''' ([[ภาษาอังกฤษ|อังกฤษ:]] Pythagorean triple) ประกอบด้วย[[จำนวนธรรมชาติ|จำนวนเต็มบวก]]สามจำนวน คือ {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}} และ {{Math|''c''}} โดยที่ {{Math|1=''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}}}} สามสิ่งอันดับดังกล่าวนี้มักถูกเขียนเป็น {{Math|(''a'', ''b'', ''c'')}} ซึ่งตัวอย่างที่รู้จักกันดี คือ {{Math|(3, 4, 5)}} ถ้า {{Math|(''a'', ''b'', ''c'')}} เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส แล้วจะได้ {{Math|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} ซึ่งจะมี {{Math|''k''}} เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ โดยถ้ารูปสามเหลี่ยมมีความยาวด้านเท่ากับค่าของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสแล้วจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเรียกว่า '''รูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัส'''

'''ปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส''' (primitive Pythagorean triple) คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}} และ {{Math|''c''}} เป็น[[จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์]] (coprime) ซึ่งกล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 และ -1<ref>{{Harvard citation text|Long|1972|p=48}}</ref> เช่น {{Math|(3, 4, 5)}} เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ซึ่งในขณะที่ {{Math|(6, 8, 10)}} ไม่เป็นเนื่องจากมีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 คือ 2 และสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถย่อ/ขยาย ให้เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสที่มีเอกลักษณ์ได้ โดยการหาร {{Math|(''a'', ''b'', ''c'')}} ด้วย[[ตัวหารร่วมมาก]] (greatest common divisor) ซึ่งในทางกลับกัน สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถหาได้โดยการคูณองค์ประกอบของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสด้วยจำนวนเต็มบวก

ชื่อของสามสิ่งอันดับของพีทาโกรัสนั้นมาจาก[[ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]] (Pythagorean theorem) ซึ่งอธิบายว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูปนั้นมีความความสัมพันธ์ระหว่างด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้านและด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามสูตร <math>a^2+b^2=c^2</math> ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสสามอธิบายความยาวด้านทั้งสามที่เป็นจำนวนเต็มของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม จะไม่อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น [[รูปสามเหลี่ยม]]ที่มีด้านยาว <math>a=b=1</math> และ <math>c=\sqrt2</math> ซึ่งรูปสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ <math>(1,1,\sqrt2)</math> ไม่เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเนื่องจาก[[รากที่สองของสอง]]ไม่เป็นจำนวนเต็มหรือ[[จำนวนตรรกยะ]] อีกเหตุผลหนึ่งคือ <math>1</math> และ <math>\sqrt2</math>  ไม่มีตัวคูณร่วมที่เป็นจำนวนเต็มเพราะ <math>\sqrt2</math> เป็น[[จำนวนอตรรกยะ]]

สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสนั้นเป็นที่รู้จักกันตั้งแต่ยุคโบราณ รายงานที่เก่าที่สุดที่มีการบันทึกมาจาก [[:en:Plimpton_322|Plimpton 322]] ซึ่งเป็นแผ่นจารึกดินเหนียวของชาว[[บาบิโลเนีย]]ที่มีอายุประมาณปี 1800 ก่อนคริสตกาลที่ถูกเขียนด้วย[[ระบบเลขฐานหกสิบ]] (sexagesimal)<ref>{{Citation|last=Robson|first=Eleanor|title=Words and Pictures: New Light on Plimpton 322|url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/news/monthly105-120.pdf|volume=109|issue=2|pages=105–120|year=2002|periodical=[[The American Mathematical Monthly]]|doi=10.1080/00029890.2002.11919845|author-link=Eleanor Robson|access-date=2024-09-24|archive-date=2022-07-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20220720212753/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/news/monthly105-120.pdf|url-status=dead}}</ref>

เมื่อหาคำตอบในรูปของจำนวนเต็ม [[สมการ]] {{Math|1=''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}}}} คือ [[สมการไดโอเฟนไทน์]] (Diophantine equation) ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในการหาคำตอบที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักกันในชื่อของ [[สมการไม่เชิงเส้น]]ไดโอเฟนไทน์ (nonlinear Diophantine equation)

== ตัวอย่าง ==
มีค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสจากจำนวนนับถึงเลข 100 มีทั้งหมด 16 ค่า ได้แก่
{| style="margin:auto;"  cellspacing="0" cellpadding="0"
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (3, 4, 5)
|style="padding:0 1em"| (5, 12, 13)
|style="padding:0 1em"| (8, 15, 17)
|style="padding:0 1em"| (7, 24, 25)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (20, 21, 29)
|style="padding:0 1em"| (12, 35, 37)
|style="padding:0 1em"| (9, 40, 41)
|style="padding:0 1em"| (28, 45, 53)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (11, 60, 61)
|style="padding:0 1em"| (16, 63, 65)
|style="padding:0 1em"| (33, 56, 65)
|style="padding:0 1em"| (48, 55, 73)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (13, 84, 85)
|style="padding:0 1em"| (36, 77, 85)
|style="padding:0 1em"| (39, 80, 89)
|style="padding:0 1em"| (65, 72, 97)
|}
ค่าของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสอื่น ๆ เช่น (6, 8, 10) ไม่อยู่ในรายชื่อ เนื่องจากไม่เป็นค่าปฐมฐาน เพราะ (6, 8, 10) เป็นพหุคูณของค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (3, 4, 5)

และค่าเหล่านี้คือค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสจากจำนวนนับถึงเลข 300 ได้แก่
{| style="margin:auto;"  cellspacing="0" cellpadding="0"
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (20, 99, 101)
|style="padding:0 1em"| (60, 91, 109)
|style="padding:0 1em"| (15, 112, 113)
|style="padding:0 1em"| (44, 117, 125)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (88, 105, 137)
|style="padding:0 1em"| (17, 144, 145)
|style="padding:0 1em"| (24, 143, 145)
|style="padding:0 1em"| (51, 140, 149)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (85, 132, 157)
|style="padding:0 1em"| (119, 120, 169)
|style="padding:0 1em"| (52, 165, 173)
|style="padding:0 1em"| (19, 180, 181)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (57, 176, 185)
|style="padding:0 1em"| (104, 153, 185)
|style="padding:0 1em"| (95, 168, 193)
|style="padding:0 1em"| (28, 195, 197)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (84, 187, 205)
|style="padding:0 1em"| (133, 156, 205)
|style="padding:0 1em"| (21, 220, 221)
|style="padding:0 1em"| (140, 171, 221)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (60, 221, 229)
|style="padding:0 1em"| (105, 208, 233)
|style="padding:0 1em"| (120, 209, 241)
|style="padding:0 1em"| (32, 255, 257)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (23, 264, 265)
|style="padding:0 1em"| (96, 247, 265)
|style="padding:0 1em"| (69, 260, 269)
|style="padding:0 1em"| (115, 252, 277)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (160, 231, 281)
|style="padding:0 1em"| (161, 240, 289)
|style="padding:0 1em"| (68, 285, 293)
|}


== เชิงอรรถและรายการอ้างอิง ==

=== เชิงอรรถ ===
<references />

=== รายการอ้างอิง ===
* {{Citation|last=Alperin|first=Roger C.|title=The modular tree of Pythagoras|url=http://www.math.sjsu.edu/~alperin/pt.pdf|volume=112|issue=9|pages=807–816|year=2005|periodical=American Mathematical Monthly|citeseerx=10.1.1.112.3085|doi=10.2307/30037602|jstor=30037602|mr=2179860|author-link=Roger C. Alperin|access-date=2024-09-24|archive-date=2022-11-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20221116050114/http://www.math.sjsu.edu/~alperin/pt.pdf|url-status=dead}}
* {{Citation|last=Berggren|first=B.|title=Pytagoreiska trianglar|volume=17|pages=129–139|year=1934|periodical=Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi|language=sv}}
* {{Citation|last=Barning|first=F.J.M.|title=Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices|url=https://ir.cwi.nl/pub/7151/7151D.pdf|volume=ZW-011|page=37|year=1963|periodical=Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk.|language=nl}}
* {{Citation|last=Eckert|first=Ernest|title=Primitive Pythagorean triples|volume=23|issue=5|pages=413–417|year=1992|periodical=The College Mathematics Journal|doi=10.2307/2686417|jstor=2686417}}
* {{Citation|last=Elkies|first=Noam|title=Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90|url=http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/hilbert.pdf|author-link=Noam Elkies}}
* {{Citation|last=Heath|first=Thomas|title=The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II)|url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl|year=1956|edition=2nd|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-60088-8|author-link=T. L. Heath}}
* {{Citation|last=Long|first=Calvin T.|title=Elementary Introduction to Number Theory|year=1972|edition=2nd|place=Lexington|publisher=[[D. C. Heath and Company]]|lccn=77171950}}
* {{Citation|last=Martin|first=Artemas|title=Rational right angled triangles nearly isosceles|volume=3|issue=2|pages=47–50|year=1875|periodical=[[Annals of Mathematics|The Analyst]]|doi=10.2307/2635906|jstor=2635906|author-link=Artemas Martin}}
* {{Citation|last=McCullough|first=Darryl|title=Height and excess of Pythagorean triples|url=http://www.math.ou.edu/~dmccullough/teaching/pythagoras2.pdf|volume=78|issue=1|pages=26–44|year=2005|periodical=Mathematics Magazine|doi=10.1080/0025570X.2005.11953298}}
* {{Citation|last=Romik|first=Dan|title=The dynamics of Pythagorean triples|url=https://www.ams.org/journals/tran/2008-360-11/S0002-9947-08-04467-X/S0002-9947-08-04467-X.pdf|volume=360|issue=11|pages=6045–6064|year=2008|periodical=Trans. Amer. Math. Soc.|arxiv=math.DS/0406512|doi=10.1090/S0002-9947-08-04467-X|mr=2425702}}
* {{Citation|last=Teigen|first=M.G.|title=On Generating Pythagorean Triples|volume=78|issue=4|pages=378–379|year=1971|periodical=The American Mathematical Monthly|doi=10.2307/2316903|jstor=2316903|last2=Hadwin|first2=D.W.}}
* {{Citation|last=Trautman|first=Andrzej|title=Geometric universe|year=1998|editor-last=S.A. Hugget|type=Postscript|chapter=Pythagorean spinors and Penrose twistors|chapter-url=http://www.fuw.edu.pl/~amt/oxford.ps|author-link=Andrzej Trautman|editor2-last=L.J. Mason|editor3-last=K.P. Tod|editor4-last=S.T. Tsou|editor5-last=N.M.J. Woodhouse}}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==

* [https://web.archive.org/web/20100613033436/http://www.math.siu.edu/kocik/pracki/44Cliffpdf.pdf Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples]
* [https://web.archive.org/web/20060917145537/http://learn.sdstate.edu/vestald/publications/Curious%20Consequences.pdf Curious Consequences of a Miscopied Quadratic]
* [https://web.archive.org/web/20051129025352/http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Pythag/pythag.html Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems]
* [https://web.archive.org/web/20160304023524/http://people.wcsu.edu/sandifere/Academics/2007Spring/Mat342/PythagTrip02.pdf Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions]
*  
* [http://www.hbmeyer.de/pythagen.htm Interactive Calculator for Pythagorean Triples]
* [http://www.numbertheory.org/php/negative_pell.html The negative Pell equation and Pythagorean triples]
* [http://blah.math.tu-graz.ac.at/~frisch/wwwpdf/pytha.pdf Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials]
* {{Citation|last=Price|first=H. Lee|title=The Pythagorean Tree: A New Species|year=2008|arxiv=0809.4324}}
* [http://www.math.brown.edu/johsilve/frintch1ch6.pdf Pythagorean Triples and the Unit Circle], chap. 2–3, in "[http://www.math.brown.edu/~jhs/frint.html A Friendly Introduction to Number Theory]" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, {{ISBN|0-13-186137-9}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/pythTriple.shtml Pythagorean Triples] at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
* [http://www.friesian.com/pythag.htm Pythagorean Triplets]
* [https://web.archive.org/web/20110525231240/http://www.rowan.edu/colleges/las/departments/math/facultystaff/osler/InCircle.pdf The Remarkable Incircle of a Triangle]
* [http://mathcentral.uregina.ca/mp/previous2005/feb06sol.php Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples]
* [https://web.archive.org/web/20081223140307/http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pythagoreantriples.html Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry]
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PT_matrix.shtml The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples] at cut-the-knot
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>Weisstein, Eric W., "Pythagorean Triple", MathWorld
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]]
[[หมวดหมู่:รูปสามเหลี่ยม]]
[[หมวดหมู่:สมการ]]