ดูต้นฉบับสำหรับ สัญลักษณ์ชเล็ฟลี

[[ไฟล์:Dodecahedron.png|thumb|[[ทรงสิบสองหน้าปรกติ]] เป็นทรงหลายหน้าปรกติที่มีสัญลักษณ์ชเล็ฟลีเป็น {{nowrap|{5, 3}}} ซึ่งมี[[รูปห้าเหลี่ยม]]ปรกติสามรูปรอบจุดยอดจุดหนึ่ง]]
ในทาง[[เรขาคณิต]] '''สัญลักษณ์ชเล็ฟลี''' ({{langx|en|Schläfli symbol}}) คือสัญกรณ์ที่อยู่ในรูปแบบ {''p'', ''q'', ''r'', …} ที่เป็นตัวกำหนด[[พอลิโทป]]และ[[เทสเซลเลชัน]]ปรกติ ตั้งชื่อตาม[[ลูทวิช ชเล็ฟลี]] (Ludwig Schläfli) [[นักคณิตศาสตร์]]ในคริสต์ศตวรรษที่ 19 ผู้มีส่วนร่วมคนสำคัญในเรื่องเรขาคณิตและพื้นที่อื่น ๆ

== คำอธิบาย ==
สัญลักษณ์ชเล็ฟลีเป็น[[บทนิยามเวียนเกิด]]ชนิดหนึ่ง เริ่มต้นด้วย {''p''} หมายถึง[[รูปหลายเหลี่ยมปรกติ]]ที่มี ''p'' ด้าน ตัวอย่างเช่น {3} คือ[[รูปสามเหลี่ยมปรกติ]] (ด้านเท่ามุมเท่า), {4} คือ[[รูปสี่เหลี่ยมปรกติ]] (จัตุรัส) เป็นต้น

ถัดไปคือ {''p'', ''q''} หมายถึง[[ทรงหลายหน้าปรกติ]]ที่แต่ละหน้าเป็นรูป ''p'' เหลี่ยมปรกติและมีเป็นจำนวน ''q'' รูปรอบจุดยอดจุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น [[ทรงลูกบาศก์]]มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบจุดยอดจุดหนึ่งเป็นจำนวนสามรูป ดังนั้นจึงเขียนแทนด้วย {4, 3}

{''p'', ''q'', ''r''} ก็คือพอลิโทปสี่มิติปรกติที่แต่ละห้อง (cell) เป็นทรงหลายหน้าปรกติ {''p'', ''q''} และมีเป็นจำนวน ''r'' รูปทรงรอบขอบด้านหนึ่ง เป็นเช่นนี้เรื่อยไป

พอลิโทปปรกติสามารถมีองค์ประกอบเป็น[[รูปดาวหลายแฉก]]ได้ เช่น[[รูปดาวห้าแฉก]] (pentagram) ใช้สัญลักษณ์ {5/2} เป็นตัวแทนของจุดยอดแบบรูปห้าเหลี่ยมแต่เชื่อมโยงกันในรูปแบบที่ต่างไป

[[แฟซิต]] (facet) ของพอลิโทปปรกติ {''p'', ''q'', ''r'', …, ''y'', ''z''} โดยทั่วไปคือ {''p'', ''q'', ''r'', …, ''y''} ซึ่งมีเป็นจำนวน ''z'' แฟซิตรอบจุดยอดแต่ละจุด

พอลิโทปปรกติจะมี[[ภาพจุดยอด]] (vertex figure) เป็นรูปปรกติด้วย ดังนั้นภาพจุดยอดของพอลิโทปปรกติ {''p'', ''q'', ''r'', …} คือ {''q'', ''r'', …}

สัญลักษณ์ชเล็ฟลีสามารถเขียนแทนทรงหลายหน้าแบบนูนที่มีขอบเขตจำกัด เทสเซลเลชันที่มีขอบเขตไม่จำกัดบนปริภูมิแบบยุคลิด หรือเทสเซลเลชันที่มีขอบเขตไม่จำกัดบนปริภูมิเชิงไฮเพอร์โบลา ขึ้นอยู่กับ[[ความบกพร่องแบบมุม]] (angle defect) ของการสร้าง ความบกพร่องแบบมุมเชิงบวกทำให้ภาพจุดยอดสามารถ ''พับ'' ได้ในมิติที่สูงกว่าและวนกลับมาหาตัวเองกลายเป็นพอลิโทป ความบกพร่องแบบมุมเชิงศูนย์จะปูรูปทรงจนเต็มปริภูมิในมิติเดียวกันเป็นแฟซิต ส่วนความบกพร่องแบบมุมเชิงลบไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในปริภูมิธรรมดา แต่สามารถสร้างได้ในปริภูมิเชิงไฮเพอร์โบลา

ภาพจุดยอดโดยปกติจะถูกมองว่าเป็นพอลิโทปที่มีขอบเขตจำกัด แต่บางครั้งก็สามารถพิจารณาว่าเป็นเทสเซลเลชันโดยตัวมันเอง

พอลิโทปปรกติรูปทรงหนึ่งจะมี[[พอลิโทปคู่กัน]] (dual polytope) อีกรูปทรงหนึ่ง ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ชเล็ฟลีในลำดับย้อนกลับ พอลิโทปปรกติคู่กันในตัว (self-dual) จะมีสัญลักษณ์ชเล็ฟลีแบบสมมาตร นั่นคือดัชนีในลำดับย้อนกลับก็ยังคงเดิม

== กรุปสมมาตร ==
สัญลักษณ์ชเล็ฟลีมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกรุปสมมาตรการสะท้อน หรือเรียกว่า[[ค็อกซีเตอร์กรุป]] (Coxeter group) โดยใช้เลขดัชนีเหมือนกันแต่ใช้วงเล็บเหลี่ยมแทนเป็นรูปแบบ [''p'', ''q'', ''r'', …] กรุปเช่นนี้มักจะถูกตั้งชื่อตามพอลิโทปปรกติที่มันสร้างขึ้นมา ตัวอย่างเช่น [3, 3] คือค็อกซีเตอร์กรุปสำหรับ[[สมมาตรเชิงทรงสี่หน้า]] (tetrahedral symmetry), [3, 4] คือ[[สมมาตรเชิงทรงแปดหน้า]] (octahedral symmetry) และ [3, 5] คือ[[สมมาตรเชิงทรงยี่สิบหน้า]] (icosahedral symmetry) เป็นต้น

== พอลิโทปปริซึมเอกรูป ==
พอลิโทปปริซึมเอกรูปสามารถนิยามและตั้งชื่อได้ด้วย[[ผลคูณคาร์ทีเซียน]]ของพอลิโทปปรกติในมิติที่ต่ำกว่า ดังนี้
* [[ปริซึม]] ''p'' เหลี่ยม ซึ่งมีภาพจุดยอดเป็น ''p''.4.4 เขียนแทนด้วย { } × {''p''}, สัญลักษณ์ { } หมายถึงเส้นตรงหนึ่งหน่วย
* ปริซึมเอกรูปที่มีหน้าเป็น {''p'', ''q''} เขียนแทนด้วย { } × {''p'', ''q''}
* [[ดูโอปริซึม]] ''p''-''q'' เขียนแทนด้วย {''p''} × {''q''}

== สัญลักษณ์ชเล็ฟลีส่วนขยาย ==
[[ค็อกซีเตอร์]]ได้ขยายแนวคิดของสัญลักษณ์ชเล็ฟลีออกไปเพื่อใช้กับ[[ทรงหลายหน้าเสมือนปรกติ]] (quasiregular polyhedron) โดยเพิ่มมิติตามแนวดิ่งลงในสัญลักษณ์ เป็นจุดเริ่มต้นสู่[[แผนภาพค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน]] (Coxeter-Dynkin diagram) ที่มีนัยทั่วไปมากขึ้น
{| class=wikitable
! รูปแบบ
! สัญลักษณ์ชเล็ฟลีส่วนขยาย
! สัญกรณ์ที
! แผนภาพค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน
|- align=center
! ทรงหลายหน้าปรกติ
| <math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>
| <math>t_0\{p,q\}</math>
| {{CDD|node_1|p|node|q|node}}
|- align=center
! ทรงหลายหน้าเสมือนปรกติ
| <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
| <math>t_1\{p,q\}</math>
| {{CDD|node|p|node_1|q|node}}
|- align=center
! ทรงหลายหน้าปรกติคู่กัน
| <math>\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>
| <math>t_2\{p,q\}</math>
| {{CDD|node|p|node|q|node_1}}
|}

และสำหรับพอลิโทปสี่มิติ[[การตัดปลายครึ่งด้าน|ปลายตัดครึ่งด้าน]] (rectified 4-polytope) ก็จะเป็นเช่นนี้
{| class="wikitable"
! รูปแบบ
! สัญลักษณ์ชเล็ฟลีส่วนขยาย
! สัญกรณ์ที
! แผนภาพค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน
|- align=center
! ทรงหลายห้องปรกติ
| <math>\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix}</math>
| <math>t_0\{p,q,r\}</math>
| {{CDD|node_1|p|node|q|node|r|node}}
|- align=center
! ทรงหลายห้องปลายตัดครึ่งด้าน
| <math>\begin{Bmatrix} p \\ q , r \end{Bmatrix}</math>
| <math>t_1\{p,q,r\}</math>
| {{CDD|node|p|node_1|q|node|r|node}}
|- align=center
! ทรงหลายห้องปลายตัดครึ่งด้านคู่กัน
| <math>\begin{Bmatrix} q , p \\ r \end{Bmatrix}</math>
| <math>t_2\{p,q,r\}</math>
| {{CDD|node|p|node|q|node_1|r|node}}
|- align=center
! ทรงหลายห้องปรกติคู่กัน
| <math>\begin{Bmatrix} r, q , p \end{Bmatrix}</math>
| <math>t_3\{p,q,r\}</math>
| {{CDD|node|p|node|q|node|r|node_1}}
|}

== อ้างอิง ==
* [[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]]; ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', (Methuen and Co., 1948). (pp.&nbsp;14, 69, 149) [http://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC&lpg=PP1&dq=Regular%20Polytopes&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false]

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
* {{mathworld | urlname = SchlaefliSymbol | title = Schläfli symbol}}
* [http://bbs.sachina.pku.edu.cn/Stat/Math_World/math/w/w166.htm Wythoff Symbol and generalized Schläfli Symbols] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060522051432/http://bbs.sachina.pku.edu.cn/Stat/Math_World/math/w/w166.htm |date=2006-05-22 }}
* [http://www.ac-noumea.nc/maths/polyhedr/names_.htm polyhedral names et notations]{{ลิงก์เสีย|date=สิงหาคม 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}


[[หมวดหมู่:พอลิโทป]]
[[หมวดหมู่:สัญกรณ์คณิตศาสตร์]]