ดูต้นฉบับสำหรับ สัจพจน์การเลือก

[[ไฟล์:Axiome_du_choix.png|thumb|250x250px| ภาพตัวอย่างสัจพจน์การเลือก โดย ''S''<sub>''i''</sub> และ ''x''<sub>''i''</sub> แสดงแทนด้วยโถและลูกแก้วสีต่าง ๆ ตามลำดับ]]
ใน[[คณิตศาสตร์]] '''สัจพจน์การเลือก''' หรือ '''สัจพจน์ของการเลือก''' ({{langx|en|axiom of choice}}) หรือเรียกโดยย่อว่า '''AC''' เป็น[[สัจพจน์]]ของ[[ทฤษฎีเซต]]ที่กล่าวว่า ''[[ผลคูณคาร์ทีเซียน]]ของคอลเลกชั่นของเซตไม่ว่างเป็นเซตไม่ว่าง'' กล่าวโดยให้เห็นภาพว่า หากมีถุงใส่ของจำนวนหนึ่ง ที่ถุงแต่ละใบมีของอย่างน้อยหนึ่งชิ้น จะสามารถเลือกหยิบของออกมาหนึ่งชิ้นจากถุงแต่ละใบได้ แม้ว่าจะมีถุงเป็น[[อนันต์]]ก็ตาม ในเชิงตรรกศาสตร์ สัจพจน์การเลือกกล่าวว่า สำหรับทุก[[วงศ์ (คณิตศาสตร์)|วงศ์]]ของเซตไม่ว่าง <math>(S_i)_{i \in I}</math> จะมีวงศ์ของสมาชิก <math>(x_i)_{i \in I}</math> ที่มีคุณสมบัติว่า <math>x_i \in S_i</math> สำหรับทุก <math>i \in I</math> [[Ernst Zermelo|เอิร์นส์ แซร์เมโล]]เป็นผู้เสนอสัจพจน์การเลือกเป็นคนแรกในปี ค.ศ. 1904 เพื่อใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทจัดอันดับดี<ref>{{Harvard citation no brackets|Zermelo 1904}}</ref>

[[เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์]]เสนอคำอธิบายไว้ดังนี้: ถ้ามีรองเท้าเป็นคู่ ๆ อยู่จำนวนหนึ่ง (อาจเป็นอนันต์คู่ก็ได้) คุณสามารถเลือกรองเท้าข้างซ้ายจากแต่ละคู่ได้ และนี่เป็นฟังก์ชันการเลือกที่นิยามได้โดยตรง แต่หากมี''ถุงเท้าจำนวนไม่จำกัดคู่'' (สมมติว่าถุงเท้าไม่มีลักษณะที่จะแยกสองข้างออกจากกันได้) จะเห็นว่าไม่มีวิธีที่ชัดแจ้งว่าจะเลือกถุงเท้าอย่างไรจากแต่ละคู่ โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์การเลือก<ref>{{Harvard citation no brackets|Jech|1977|p=351}}</ref>

นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้สัจพจน์การเลือกโดยไม่มีข้อโต้แย้ง<ref>Jech, 1977, p.&nbsp;348''ff''; Martin-Löf 2008, p.&nbsp;210. According to {{Harvard citation no brackets|Mendelson|1964}}</ref> สัจพจน์การเลือกรวมอยู่ในทฤษฎีเซตมาตรฐานที่เรียกว่า ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลรวมสัจพจน์การเลือก (ZFC) ซึ่งเป็น[[ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์]]มาตรฐานในคณิตศาสตร์ เหตุผลประการหนึ่งที่สัจพจน์นี้ถูกยอมรับเป็นเพราะว่าผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์ที่ยอมรับโดยทั่วไปจำนวนหนึ่ง เช่น [[ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ]] นั้นต้องใช้สัจพจน์การเลือกพิสูจน์ นักทฤษฎีเซตร่วมสมัยยังศึกษาสัจพจน์ที่ขัดแย้งกับสัจพจน์การเลือก เช่น [[สัจพจน์ของการกำหนด]] 

ในคณิตศาสตร์บางรูปแบบ เช่น[[คณิตศาสตร์เชิงการสร้าง]]บางประเภท อาจมีการหลีกเลี่ยงไม่ใช้สัจพจน์การเลือก แม้ว่าจะมีคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางส่วนที่ยอมรับสัจพจน์ของการเลือกก็ตาม

== ข้อความ ==
[[ฟังก์ชันการเลือก]] (choice function) หรือเรียกอีกอย่างว่าตัวเลือก (selector) หรือการเลือก (selection) คือฟังก์ชัน <math>f</math> ซึ่งนิยามบนคอลเลคชัน <math>X</math> ของเซตที่ไม่เป็นเซตว่าง โดยมีเงื่อนไขว่า สำหรับแต่ละเซต <math>A</math> ใน <math>X</math> จะได้ว่า <math>f(A)</math> เป็นสมาชิกของ <math>A</math> จากนิยามดังกล่าว สัจพจน์การเลือกจะมีรูปแบบเป็น
{{ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์
| math_statement = ทุกเซต <math>X</math> ของเซตไม่ว่าง จะมีฟังก์ชันการเลือก <math>f</math> นิยามบน <math>X</math> และส่งเซตใน <math>X</math> ไปยังสมาชิกหนึ่งตัวของมัน
| name = สัจพจน์
}}
ในรูปแบบรูปนัย สามารถเขียนสัจพจน์การเลือกได้ดังนี้

: <math>\forall X \left[ \varnothing \notin X \implies \exists f \colon X \rightarrow \bigcup X \quad \forall A \in X \, ( f(A) \in A ) \right]</math>

ดังนั้น[[นิเสธ]]ของสัจพจน์การเลือกจึงกล่าวว่า จะมีคอลเลคชันของเซตไม่ว่างที่ไม่มีฟังก์ชันการเลือก

== ความเป็นอิสระ ==
ในปี ค.ศ. 1938 [[ควร์ท เกอเดิล]]พิสูจน์ว่า''นิเสธ''ของสัจพจน์การเลือกไม่ใช่ทฤษฎีบทของระบบ ZF โดยสร้าง[[Inner model|โมเดลภายใน]] (inner model) เรียกว่า[[เอกภพที่สร้างได้]] (constructible universe) ที่สอดคล้องกับ ZFC จึงเป็นการพิสูจน์ว่า ZFC ต้องกัน (consistent) ก็ต่อเมื่อ ZF ต้องกัน<ref>{{Cite journal|last=Godel|first=K.|date=1938-12-01|title=The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis|url=http://www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.24.12.556|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=24|issue=12|pages=556–557|doi=10.1073/pnas.24.12.556|issn=0027-8424|pmc=PMC1077160|pmid=16577857}}</ref> และในปี ค.ศ. 1963 พอล โคเฮนใช้เทคนิคที่เรียกว่า [[forcing]] พิสูจน์ว่าสัจพจน์การเลือกไม่ได้เป็นทฤษฎีบทของ ZF ภายใต้เงื่อนไขว่า ZF ต้องกัน โดยสร้างโมเดลขึ้นมาที่สอดคล้องกับ  ZF¬C (คือ ZF รวมกับนิเสธของสัจพจน์การเลือก) จึงเป็นการพิสูจน์ว่า  ZF¬C ต้องกัน<ref>เป็น Theorem 1 ใน {{Cite journal|last=Cohen|first=P. J.|date=1963-12-01|title=THE INDEPENDENCE OF THE CONTINUUM HYPOTHESIS|url=http://www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.50.6.1143|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=50|issue=6|pages=1143–1148|doi=10.1073/pnas.50.6.1143|issn=0027-8424|pmc=PMC221287|pmid=16578557}}</ref> ผลลัพธ์ทั้งสองแสดงว่าสัจพจน์การเลือกเป็น[[Independence (mathematical logic)|อิสระเชิงตรรกะ]]จาก ZF

== ข้อความที่สมมูลกับสัจพจน์การเลือก ==
ข้อความด้านล่างสมมูลกับสัจพจน์การเลือกภายใต้ ZF 

* [[ทฤษฎีบทการจัดอันดับดี]]
* [[บทตั้งของซอร์น]]
* [[ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ]]

== ดูเพิ่ม ==

* [[Axiom of determinacy|สัจพจน์ของการกำหนด]]

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

== บรรณานุกรม ==
* {{Citation|last=Jech|first=Thomas|title=About the Axiom of Choice|date=1977|work=Handbook of Mathematical Logic|editor-last=Barwise|editor-first=John|publisher=North-Holland Pub. Co}}
* Per Martin-Löf, "100 years of Zermelo's axiom of choice: What was the problem with it?", in ''Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?'', Sten Lindström, Erik Palmgren, Krister Segerberg, and Viggo Stoltenberg-Hansen, editors (2008). {{ISBN|1-4020-8925-2}}
* {{cite book|last1=Mendelson|first1=Elliott|title=Introduction to Mathematical Logic|publisher=Van Nostrand Reinhold|year=1964|location=New York|author1-link=Elliott Mendelson}}
* {{Cite journal|last=Zermelo|first=E.|date=December 1904|title=Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann: Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe|url=http://link.springer.com/10.1007/BF01445300|journal=Mathematische Annalen|language=de|volume=59|issue=4|pages=514–516|doi=10.1007/BF01445300|issn=0025-5831}}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==

* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Axiom_of_choice Axiom of Choice] ใน [[Encyclopedia of Mathematics]] ของ Springer
* [https://web.archive.org/web/20130801134743/http://www.apronus.com/provenmath/choice.htm Axiom of Choice and Its Equivalents] ที่ ProvenMath ซึ่งรวมเอาข้อความเชิงรูปนัยของสัจพจน์การเลือก, หลักการมากสุดของเฮาส์ดอร์ฟฟ์, บทตั้งของซอร์นและบทพิสูจน์ความสมมูลระหว่างข้อความดังกล่าว
* [http://www.math.purdue.edu/~hrubin/JeanRubin/Papers/conseq.html Consequences of the Axiom of Choice] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210515021241/https://www.math.purdue.edu/~hrubin/JeanRubin/Papers/conseq.html |date=2021-05-15 }}, based on the book by [http://www.emunix.emich.edu/~phoward/ Paul Howard] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210226235056/https://emunix.emich.edu/~phoward/ |date=2021-02-26 }} and Jean Rubin.
* {{SEP|axiom-choice|The Axiom of Choice|[[John Lane Bell]]}}.

[[หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต]]
[[หมวดหมู่:สัจพจน์ทางคณิตศาสตร์]]