ดูต้นฉบับสำหรับ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

{{กล่องข้อมูล รูปหลายเหลี่ยม
| name        = รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
| image       = Triangle.Equilateral.svg
| caption     = รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็น[[รูปหลายเหลี่ยมปรกติ]]
| type        = [[รูปสามเหลี่ยม]],<br />2-[[ซิมเพล็กซ์]]
| edges       = 3
| schläfli    = {3}
| coxeter     = {{CDD|node_1|3|node}}
| symmetry    = [[สมมาตรเชิงทรงสองหน้า|D<sub>3</sub>]]
| area        = <math>\tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2</math>
| angle       = 60°
}}
'''รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า''' คือ[[รูปสามเหลี่ยม]]ชนิดหนึ่งที่ด้านทั้งสามมี[[ความยาว]]เท่ากัน ใน[[เรขาคณิตแบบยุคลิด]] รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจัดเป็น[[รูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า]] (equiangular polygon) กล่าวคือ มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากันคือ 60° ด้วยคุณสมบัติทั้งสอง รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงจัดเป็น[[รูปหลายเหลี่ยมปรกติ]] (regular polygon) และเรียกอีกชื่อหนึ่งได้ว่าเป็น ''รูปสามเหลี่ยมปรกติ''

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ยาวด้านละ <math>a\,\!</math> หน่วย จะมี[[ส่วนสูง (รูปสามเหลี่ยม)|ส่วนสูง]] (altitude) เท่ากับ <math>\frac{\sqrt{3}}{2}a</math> หน่วย และมี[[พื้นที่]]เท่ากับ <math>\frac{\sqrt{3}}{4}a^2</math> ตารางหน่วย

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความสมมาตรมากที่สุด คือมี[[สมมาตรแบบสะท้อน]]สามเส้น และ[[สมมาตรแบบหมุน]]ที่อันดับสามรอบศูนย์กลาง [[กรุปสมมาตร]]ของรูปสามเหลี่ยมนี้จัดว่าเป็น[[กรุปการหมุนรูปของอันดับหก]] (dihedral group of order 6) หรือ ''D<sub>3</sub>''

[[ไฟล์:Viervlak-frame.jpg|thumb|right|ทรงสี่หน้าปรกติ สร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป]]
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถพบได้ในโครงสร้างทางเรขาคณิตอื่นๆ หลายอย่าง เช่น [[รูปวงกลม]]ที่มี[[รัศมี]]เท่ากันสองวงตัดกัน โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นรอบวงของอีกวงหนึ่ง ทำให้เกิด[[ส่วนโค้ง]]ขนาดเท่ากัน และสามารถแสดงได้ด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปสามเหลี่ยมนี้ยังเป็นส่วนหนึ่งของการสร้าง[[ทรงหลายหน้า]] [[ทรงตันเพลโต]]สามในห้าชิ้นประกอบขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า หนึ่งในนั้นคือ[[ทรงสี่หน้าปรกติ]] ซึ่งประกอบด้วยหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสี่หน้า นอกจากนั้นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถนำมาเรียงติดต่อกันบน[[ระนาบ]] จนเกิดเป็น[[รูปแบนราบสามเหลี่ยม]] (triangular tiling)

การหารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ สามารถหาได้จาก[[ทฤษฎีบทสามส่วนของมอร์ลีย์]] (Morley's trisector theorem)

== การสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ==
[[ไฟล์:Equilateral triangle construction.svg|200px|thumb|right|การสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า]]
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถสร้างขึ้นได้ง่ายด้วย[[สันตรง]]และ[[วงเวียน]] เริ่มต้นจากวาดวงกลมรัศมี ''r'' หน่วยด้วยวงเวียน จากนั้นวาดวงกลมอีกวงหนึ่งด้วยรัศมีเท่ากัน โดยให้[[จุดศูนย์กลาง]]ของวงใหม่อยู่บน[[เส้นรอบวง]]ของวงกลมแรก วงกลมทั้งสองจะตัดกันสองจุด ลาก[[ส่วนของเส้นตรง]]เชื่อมจุดศูนย์กลางทั้งสอง และลากจากจุดศูนย์กลางทั้งสองไปยังจุดตัดจุดหนึ่งบนเส้นรอบวง ส่วนของเส้นตรงทั้งสามเส้นจะประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ ''r'' หน่วย

== รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนคล้ายด้านเท่า ==
[[รูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน]]หมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็น[[จำนวนตรรกยะ]] เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวของด้านเป็นจำนวนตรรกยะ จะให้พื้นที่เป็น[[จำนวนอตรรกยะ]] ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงไม่มีทางเป็นฮีโรเนียน อย่างไรก็ตาม มีลำดับของรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนชุดหนึ่งและเป็นชุดเดียวที่ "คล้ายด้านเท่า" เพราะว่าด้านทั้งสามที่มีความยาวเท่ากับ ''n'' − 1, ''n'', ''n'' + 1 และเป็น[[จำนวนเต็ม]] จากตัวอย่างต่อไปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียนคล้ายด้านเท่า

{| class="wikitable" style="table-layout: fixed; width: 200px;"
! colspan="3" | ความยาวของด้าน || rowspan="2" | พื้นที่
|-
! ''n'' − 1 || ''n'' || ''n'' + 1
|- align="right"
| 3 || 4 || 5 || 6
|- align="right"
| 13 || 14 || 15 || 84
|- align="right"
| 51 || 52 || 53 || 1170
|- align="right"
| 193 || 194 || 195 || 16296
|}

ลำดับจำนวนของ ''n'' สามารถหาได้จากการคูณจำนวนก่อนหน้าด้วย 4 และลบด้วยสองจำนวนก่อนหน้า นั่นคือ
::<math>q_n = 4q_{n-1} - q_{n-2}\,\!</math>
ตัวอย่างเช่น 52 = 4 × 14 − 4 และ 194 = 4 × 52 − 14 เป็นต้น ลำดับจำนวนนี้สามารถสร้างขึ้นจากผลเฉลยของ[[สมการของเพลล์]] <math>x^2 - 3y^2 = 1</math> ซึ่งถูกถ่ายทอดมาจากการขยาย[[เศษส่วนต่อเนื่อง]]ของ √3 <ref>Takeaki Murasaki (2004) , [http://zmath.impa.br/cgi-bin/zmen/ZMATH/en/quick.html?first=1&maxdocs=3&bi_op=contains&type=pdf&an=02147316&format=complete ''On the Heronian Triple (n+1, n, n−1) ''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090608062045/http://zmath.impa.br/cgi-bin/zmen/ZMATH/en/quick.html?first=1&maxdocs=3&bi_op=contains&type=pdf&an=02147316&format=complete |date=2009-06-08 }}, Sci. Rep. Fac. Educ., Gunma Univ. 52, 9-15.</ref>

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

== ดูเพิ่ม ==
* [[ตรีโกณมิติ]]
* [[ทฤษฎีบทของวีวีอานี]] (Viviani's theorem)

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
* {{mathworld|urlname=GeometricConstruction.html|title=Geometric Construction}}

[[หมวดหมู่:รูปสามเหลี่ยม]]