ดูต้นฉบับสำหรับ รูปสามเหลี่ยม

{{กึ่งล็อก2}}
{{กล่องข้อมูล รูปหลายเหลี่ยม
| name        = รูปสามเหลี่ยม
| image       = Triangle illustration.svg
| caption     = รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
| edges       = 3
| schläfli    = {3} (สำหรับด้านเท่า)
| area        = คำนวณได้หลายวิธี;<br />[[#การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม|ดูด้านล่าง]]
| angle       = 180°
}}
'''รูปสามเหลี่ยม''' เป็นหนึ่งใน[[รูปร่าง]]พื้นฐานใน[[เรขาคณิต]] คือ[[รูปหลายเหลี่ยม]]ซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็น[[ส่วนของเส้นตรง]] รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด ''A'', ''B'', และ ''C'' เขียนแทนด้วย {{trianglenotation|ABC}}

ใน[[เรขาคณิตแบบยุคลิด]] จุด 3 จุดใด ๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว (เช่นระนาบสองมิติ)

== ประเภทของรูปสามเหลี่ยม ==
=== แบ่งตามความยาวของด้าน ===
* '''[[รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า]]''' (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็น[[รูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า]] นั่นคือ[[มุม]]ภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็น[[รูปหลายเหลี่ยมปกติ]]<ref>{{MathWorld|title=Equilateral triangle|urlname=EquilateralTriangle}}</ref>
* '''รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว''' (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน (ตามความหมายเริ่มแรกโดย[[ยุคลิด]] ถึงแม้ว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะสามารถจัดว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ด้วย เพราะมีด้านที่ยาวเท่ากันอย่างน้อยสองด้าน) และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง<ref>{{MathWorld|title=Isosceles triangle|urlname=IsoscelesTriangle}}</ref>
* '''รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า''' (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในก็มีขนาดแตกต่างกันด้วย<ref>{{MathWorld|title=Scalene triangle|urlname=ScaleneTriangle}}</ref>

{| align="center"
|- align="center"
| width = "185" | [[ไฟล์:Triangle.Equilateral.svg|รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า]]
| width = "185" | [[ไฟล์:Triangle.Isosceles.svg|รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว]]
| width = "185" | [[ไฟล์:Triangle.Scalene.svg|รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า]]
|- align="center"
| รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
| รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
| รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า
|}

=== แบ่งตามมุมภายใน ===
* '''รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก''' (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° ([[มุมฉาก]]) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ''[[ด้านตรงข้ามมุมฉาก]]'' ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ''[[ด้านประกอบมุมฉาก]]'' ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตาม[[ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]] นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ''c'' จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก ''a'', ''b'' เขียนอย่างย่อเป็น <math>a^2 + b^2 = c^2</math> ดูเพิ่มเติมที่ [[รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ]]
* '''รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง''' (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
** '''รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน''' (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° ([[มุมป้าน]])
** '''รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม''' (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° ([[มุมแหลม]]) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

{| align="center"
|- align="center"
| width = "185" | [[ไฟล์:Triangle.Right.svg|รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก]]
| width = "185" | [[ไฟล์:Triangle.Obtuse.svg|รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน]]
| width = "185" | [[ไฟล์:Triangle.Acute.svg|รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม]]
|- align="center"
| รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
| รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน
| รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
|- align="center"
| &nbsp;
| colspan = "2" | <math>\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}</math><br />รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (ไม่มีมุมฉาก)
|}

== ข้อเท็จจริงพื้นฐาน ==
ข้อเท็จจริงเบื้องต้นเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมได้แสดงไว้ในหนังสือชื่อ ''[[Elements]]'' เล่ม 1-4 เมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล รูปสามเหลี่ยมเป็น[[รูปหลายเหลี่ยม]]ชนิดหนึ่ง และเป็น 2-[[ซิมเพล็กซ์]] (2-simplex) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปสองมิติ

[[ไฟล์:Remint3.JPG|right|thumb|มุมภายนอก ''d'' เท่ากับมุมภายใน ''a'' รวมกับ ''c'']]
[[มุมภายใน]]ของรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิแบบยุคลิดจะรวมได้ 180° เสมอ ด้วยข้อเท็จจริงนี้ทำให้เราสามารถหาขนาดของมุมที่สาม เมื่อเราทราบขนาดของมุมแล้วสองมุม [[มุมภายนอก]]ของรูปสามเหลี่ยม (คือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายใน โดยต่อความยาวด้านหนึ่งออกไป) จะมีขนาดเท่ากับมุมภายในที่ไม่ได้อยู่ติดกับมุมภายนอกรวมกัน สิ่งนี้เรียกว่า[[ทฤษฎีบทมุมภายนอก]] มุมภายนอกทั้งสามจะรวมกันได้ 360° เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมนูนอื่น ๆ

ผลบวกของความยาวของสองด้านใด ๆ ในรูปสามเหลี่ยม จะมากกว่าความยาวของด้านที่สามเสมอ สิ่งนี้เรียกว่า[[อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม]] (กรณีพิเศษของการเท่ากันคือ มุมสองมุมถูกยุบให้มีขนาดเป็นศูนย์ รูปสามเหลี่ยมจะลดตัวลงเป็นเพียงส่วนของเส้นตรง)

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่า ''คล้ายกัน'' ก็ต่อเมื่อทุกมุมของรูปหนึ่ง มีขนาดเท่ากับมุมที่สมนัยกันของอีกรูปหนึ่ง ซึ่งในกรณีนี้ ด้านที่สมนัยกันจะเป็น[[สัดส่วน]] (proportional) ต่อกัน ตัวอย่างกรณีนี้เช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านตรงข้ามมุมนั้นขนานกัน เป็นต้น

นอกจากนี้ยังมี[[สัจพจน์]]และ[[ทฤษฎีบท]]พื้นฐานเกี่ยวกับการคล้ายกันของรูปสามเหลี่ยมดังนี้
* รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกัน ถ้ามีมุมที่สมนัยกันอย่างน้อยสองมุมเท่ากัน
* ถ้าด้านที่สมนัยกันสองด้านเป็นสัดส่วนต่อกัน และมุมที่ด้านทั้งสองประกอบอยู่[[สมภาค]] (congruent) ต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน
* ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นสัดส่วนต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน

สำหรับรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สมภาคต่อกัน (หรือเรียกได้ว่า ''เท่ากันทุกประการ'') ซึ่งหมายความว่ามุมและด้านมีขนาดเท่ากันทั้งหมด ก็ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรื่องนี้
* สัจพจน์ ''ด้าน-มุม-ด้าน'': ถ้าด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* สัจพจน์ ''มุม-ด้าน-มุม'': ถ้ามุมสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างสองมุมนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* สัจพจน์ ''ด้าน-ด้าน-ด้าน'': ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* ทฤษฎีบท ''มุม-มุม-ด้าน'': ถ้ามุมสองมุมและด้านที่ไม่อยู่ระหว่างสองมุมนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* ทฤษฎีบท ''ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก'' (''ฉาก-ด้าน-ด้าน''): ถ้าด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งและด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสมภาคกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* ทฤษฎีบท ''ด้านตรงข้ามมุมฉาก-มุม'' (''ฉาก-มุม-ด้าน''): ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสมภาคกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
* เงื่อนไข ''ด้าน-ด้าน-มุม'' (''มุม-ด้าน-ด้าน''): ถ้าด้านสองด้านและมุมที่ไม่อยู่ระหว่างสองด้านนั้นสมภาคต่อกัน และถ้าหากมุมนั้นเป็นมุมป้าน นั่นคือด้านตรงข้ามยาวกว่าด้านประชิดมุม หรือด้านตรงข้ามเท่ากับไซน์ของมุมคูณด้วยด้านประชิดมุม ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน

ถึงแม้ว่ามุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน (''มุม-มุม-มุม'') เรายังไม่สามารถสรุปได้ว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองสมภาคต่อกัน เพียงแค่คล้ายกัน

โปรดสังเกตต่อไปอีกว่า
* เงื่อนไข ''ด้าน-ด้าน-มุม'' รับรองไม่ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกันเสมอ
* สำหรับทฤษฎีบท ''ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก'' รูปสามเหลี่ยมจะต้องเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หากไม่เช่นนั้นก็จะถูกจัดเป็นเงื่อนไข ''ด้าน-ด้าน-มุม'' ซึ่งก็รับรองไม่ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน

การใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากและแนวคิดเรื่องความคล้าย [[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]]อย่าง[[ไซน์]]และ[[โคไซน์]]จึงถูกนิยามขึ้น ซึ่งเป็นฟังก์ชันของมุมที่ใช้ในการตรวจสอบเรื่อง[[ตรีโกณมิติ]]

[[ไฟล์:Pythagorean.svg|thumb|right|ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]]
[[ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]] (Pythagorean theorem) เป็นอีกทฤษฎีบทหนึ่งที่สำคัญ กล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของ[[ด้านตรงข้ามมุมฉาก]] จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของทั้งสองด้านที่เหลือ ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว ''c'' หน่วย และด้านประกอบมุมฉากยาว ''a'' และ ''b'' หน่วย ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงให้ความหมายว่า
:<math>a^2 + b^2 = c^2\,\!</math>
บทกลับของทฤษฎีบทนี้ก็ยังคงเป็นจริง นั่นคือถ้าความยาวของด้านทั้งสามตรงตามเงื่อนไขในสมการข้างต้น ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ข้อเท็จจริงอย่างอื่นที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีดังนี้
* มุมแหลมสองมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็น[[มุมประกอบมุมฉาก]] (complementary angles)
:<math>a + b + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies a + b = 90^{\circ} \implies a = 90^{\circ} - b</math>
* ถ้าหากด้านประกอบมุมฉากมีขนาดเท่ากัน มุมแหลมสองมุมก็จะมีขนาดเท่ากันด้วยคือ 45° และจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น <math>\sqrt{2}</math> เท่าของด้านประกอบมุมฉาก
* ถ้าหากมุมแหลมสองมุมมีขนาด 30° และ 60° ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น 2 เท่าของด้านประกอบมุมฉากที่สั้นกว่า

สำหรับรูปสามเหลี่ยมทุกรูป ขนาดของด้านและมุมมีความสัมพันธ์กันตาม[[กฎของไซน์]]และ[[กฎของโคไซน์]]

== จุด เส้นตรง และรูปวงกลมที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม ==

[[ไฟล์:Triangle.Circumcenter.svg|thumb|right|[[ศูนย์กลางวงล้อม]] คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม]]

[[เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก]] (perpendicular bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน และตั้งฉากกับด้านนั้น นั่นคือ ทำมุมฉากกับด้านนั้น เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจะพบกันที่จุดเดียว คือ [[ศูนย์กลางวงล้อม]] (circumcenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของ[[วงกลมล้อม]] (circumcircle) ซึ่งเป็น[[วงกลม]]ที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสาม 

[[ทฤษฎีบทของธาลีส]] (Thales' theorem) กล่าวว่า ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้ว มุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน

[[ไฟล์:Triangle.Orthocenter.svg|thumb|left|จุดตัดของส่วนสูงคือ [[จุดออร์โทเซนเตอร์]]]]

[[ส่วนสูง]] (altitude) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉาก (ทำมุมฉาก) กับด้านตรงข้าม ด้านตรงข้ามนั้นเรียกว่า''ฐาน'' (base) ของส่วนสูง และจุดที่ส่วนสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนที่ขยายออกมา) นั้นเรียกว่า  ''เท้า'' (foot) ของส่วนสูง ความยาวของส่วนสูงคือระยะทางระหว่างฐานกับจุดยอด ส่วนสูงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว เรียกจุดนั้นว่า [[จุดออร์โทเซนเตอร์]] (orthocenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดออร์โทเซนเตอร์จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน จุดยอดทั้งสามและจุดออร์โทเซนเตอร์นั้นอยู่ใน[[ระบบออร์โทเซนตริก]] (orthocentric system)

[[ไฟล์:Triangle.Incircle.svg|thumb|right|จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุม ใช้หาจุดศูนย์กลางของ[[วงกลมแนบใน]]]]

[[เส้นแบ่งครึ่งมุม]] (angle bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอด ซึ่งแบ่งมุมออกเป็นครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุดศูนย์กลางของ[[วงกลมแนบใน]] (incircle) ของรูปสามเหลี่ยม วงกลมแนบในคือวงกลมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม และสัมผัสด้านทั้งสาม มีอีกสามวงกลมที่สำคัญคือ [[วงกลมแนบนอก]] (excircle) คือวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้านและส่วนที่ขยายออกมาทั้งสอง จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกอยู่ใน[[ระบบออร์โทเซนตริก]]

<br clear=left>
[[ไฟล์:Triangle.Centroid.svg|thumb|left|[[เซนทรอยด์]] เป็นศูนย์ถ่วง]]

[[เส้นมัธยฐาน]] (median) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นพื้นที่ที่เท่ากัน เส้นมัธยฐานทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ [[เซนทรอยด์]] (centroid) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้จะเป็น[[ศูนย์ถ่วง]] (center of gravity) ของรูปสามเหลี่ยมด้วย ถ้ามีไม้ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถทำให้มันสมดุลได้ที่เซนทรอยด์ของมันหรือเส้นใด ๆ ที่ลากผ่านเซนทรอยด์ เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานด้วยอัตราส่วน 2:1 นั่นคือระยะทางระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์ จะเป็นสองเท่าของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

[[ไฟล์:Triangle.NinePointCircle.svg|thumb|right|[[วงกลมเก้าจุด]] แสดงความสมมาตรที่จุดหกจุดอยู่บนวงกลมเดียวกัน]]

จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม และเท้าของส่วนสูงทั้งสาม จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน คือ [[วงกลมเก้าจุด]] (nine point circle) ของรูปสามเหลี่ยม อีกสามจุดที่เหลือคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดกับ[[จุดออร์โทเซนเตอร์]] ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนสูง รัศมีของวงกลมเก้าจุดจะเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อม มันจะสัมผัสวงกลมแนบใน (ที่[[จุด Feuerbach]]) และสัมผัส[[วงกลมแนบนอก]]

<br clear=left>
[[ไฟล์:Triangle.EulerLine.svg|thumb|left|[[เส้นออยเลอร์]] คือเส้นที่ลากผ่าน เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง)]]

เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (จุดสีแดง) ทั้งหมดจะอยู่บนเส้นเดียวกัน ที่เรียกว่า [[เส้นออยเลอร์]] (Euler's line) (เส้นสีแดง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับศูนย์กลางวงล้อม ระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงล้อมจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดออร์โทเซนเตอร์

จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในโดยทั่วไปจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์

ภาพสะท้อนของเส้นมัธยฐานที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดยอดเดียวกัน เรียกว่า symmedian symmedianทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ [[จุด symmedian]] (symmedian point) ของรูปสามเหลี่ยม
<br clear="all">

== การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ==
[[ไฟล์:Triangle.GeometryArea.svg|300px|thumb|พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สามารถแสดงได้เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของ[[รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน]] ซึ่งมีความยาวฐานกับความสูงที่เท่ากัน]]
การคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่มักจะพบในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน สูตรที่ง่ายและเป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ
:<math>S=\frac{1}{2}bh</math>
เมื่อ ''S'' หมายถึงพื้นที่ ''b'' คือความยาวของฐาน และ ''h'' คือความสูงหรือส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม คำว่าฐานในที่นี้สามารถหมายถึงด้านในด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และส่วนสูงคือระยะที่วัดจากมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านนั้นตั้งฉากไปยังฐาน

ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะง่าย แต่ก็ใช้ประโยชน์ได้เฉพาะเมื่อสามารถหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมได้โดยง่าย ตัวอย่างเช่นการรังวัดที่ดินที่มีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยม จะวัดความยาวของด้านทั้งสามแล้วสามารถคำนวณหาพื้นที่ได้โดยไม่ต้องวัดส่วนสูงเป็นต้น วิธีการที่หลากหลายถูกใช้ในทางปฏิบัติ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมบ้าง วิธีต่อไปนี้เป็นสูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ใช้กันบ่อย ๆ<ref>{{MathWorld|title=Triangle area|urlname=TriangleArea}}</ref>

=== ใช้เวกเตอร์ ===
พื้นที่ของ[[รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน]]สามารถคำนวณได้ด้วย[[เวกเตอร์]] กำหนดให้ ''AB'' และ ''AC'' เป็นเวกเตอร์ที่ชี้จาก ''A'' ไป ''B'' และ ''A'' ไป ''C'' ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ''ABCD'' คือ <math>|{AB}\times{AC}|</math> ซึ่งเป็นขนาดของ[[ผลคูณไขว้]]ระหว่างเวกเตอร์ ''AB'' กับ ''AC'' และ <math>|{AB}\times{AC}|</math> มีค่าเท่ากับ <math>|{h}\times{AC}|</math> เมื่อ ''h'' แทนส่วนสูงที่เป็นเวกเตอร์

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ''ABC'' เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปนี้ หรือ <math>S = \frac{1}{2}|{AB}\times{AC}|</math>

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ''ABC'' ก็ยังสามารถเขียนได้ด้วยรูปแบบของ[[ผลคูณจุด]]ดังนี้
:<math>\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2}\,</math>

[[ไฟล์:Triangle.TrigArea.svg|frame|left|ใช้ตรีโกณมิติหาส่วนสูง ''h'']]

=== ใช้ตรีโกณมิติ ===

ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหาได้ด้วย[[ตรีโกณมิติ]] จากรูปทางซ้าย ส่วนสูงจะเท่ากับ ''h''&nbsp;=&nbsp;''a''&nbsp;sin&nbsp;γ นำไปแทนในสูตร ''S''&nbsp;=&nbsp;&frac12;''bh'' ที่ได้จากข้างต้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจึงแสดงได้เป็น

:<math>S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha  = \frac{1}{2}ca\sin \beta</math>

นอกจากนั้น เมื่อ sin α = sin (''π'' - α) = sin (β + γ) และเป็นเช่นนี้เหมือนกันกับอีกสองมุมที่เหลือ จะได้สูตร

:<math>S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha)</math>

=== ใช้พิกัด ===

ถ้าจุดยอด A อยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ใน[[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน]] และกำหนดให้พิกัดของอีกสองจุดยอดอยู่ที่ <math>{B = (x_B, y_B) , C = (x_C, y_C)}</math> แล้วพื้นที่ S จะคำนวณได้จาก ½ เท่าของ[[ค่าสัมบูรณ์]]ของ[[ดีเทอร์มิแนนต์]]

:<math>S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|</math>

สำหรับจุดยอดสามจุดใด ๆ สมการคือ 121.12-74258/4561*754120+54851

:<math>S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big| </math>
:<math>S=\frac{1}{2} \big| (x_C - x_A) (y_B - y_A) - (x_B - x_A) (y_C - y_A) \big|</math> 

ในสามมิติ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม <math>{A = (x_A, y_A, z_A) , B = (x_B, y_B, z_B) , C = (x_C, y_C, z_C)}</math> คือ[[ผลบวกพีทาโกรัส]]ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ฉายไปบนระนาบพื้นฐาน (<math>x = 0, y = 0, z = 0</math>)

:<math>S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left ( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right) ^2 +
\left ( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right) ^2 +
\left ( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right) ^2 } </math>

=== ใช้สูตรของเฮรอน ===

อีกวิธีที่ใช้คำนวณหาพื้นที่ <math>S</math> ได้คือการใช้[[สูตรของเฮรอน]]
:<math>S = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}</math>

เมื่อ <math>s = (a+b+c)/2</math> คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม

นอกจากนี้ก็มีสูตรอื่นที่เทียบเคียงกับสูตรของเฮรอน

:<math> S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2) ^2-2 (a^4+b^4+c^4)}</math>
:<math> S = \frac{1}{4} \sqrt{2 (a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) - (a^4+b^4+c^4)}</math>
:<math> S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}</math>

== การคำนวณด้านและมุม ==
โดยทั่วไปแล้ว มีวิธีการที่ได้รับการยอมรับหลากหลายวิธีเพื่อคำนวณความยาวของด้านหรือขนาดของมุม ในขณะที่วิธีการเฉพาะอย่างสามารถใช้ได้ดีกับค่าต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งวิธีอื่นอาจต้องอยู่ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนมากกว่า

=== อัตราส่วนตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ===
[[ไฟล์:Trigonometry triangle.svg|right|thumb|รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง]]
{{บทความหลัก|ฟังก์ชันตรีโกณมิติ}}
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์สามารถใช้คำนวณหามุมที่ไม่ทราบขนาด หรือความยาวของด้านที่ไม่ทราบได้ ด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมีดังต่อไปนี้
* ''[[ด้านตรงข้ามมุมฉาก]]'' คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก หรือนิยามเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากก็ได้ ตามรูปคือด้าน ''h''
* ''ด้านตรงข้ามมุม'' คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เราสนใจ ตามรูปคือ ''a''
* ''ด้านประชิดมุม'' คือด้านที่อยู่ติดต่อกันบนมุมฉากกับมุมที่เราสนใจ ตามรูปคือ ''b''

==== ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ====
'''ไซน์'''ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุม ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
:<math>\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}</math>
โปรดสังเกตว่าอัตราส่วนนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเฉพาะรูปใดรูปหนึ่ง แค่เรามีมุมที่สนใจ ''A'' บนรูปสามเหลี่ยมนั้นก็เพียงพอ

'''โคไซน์'''ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านประชิดมุม ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
:<math>\cos A = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {b} {h}</math>

'''แทนเจนต์'''ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุม ต่อความยาวของด้านประชิดมุม
:<math>\tan A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{adjacent}} = \frac {a} {b}</math>

เราสามารถท่องว่า "ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด" สำหรับการจำอัตราส่วนเหล่านี้อย่างย่อ

==== ฟังก์ชันผกผัน ====
[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน]]สามารถใช้คำนวณมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเราทราบความยาวของด้านสองด้านใดๆ

'''อาร์กไซน์''' ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านตรงข้ามมุม กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
:<math>\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \right)</math>

'''อาร์กโคไซน์''' ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านประชิดมุม กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
:<math>\theta = \arccos \left( \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \right)</math>

'''อาร์กแทนเจนต์''' ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านตรงข้ามมุม กับความยาวของด้านประชิดมุม
:<math>\theta = \arctan \left( \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \right)</math>

=== กฎของไซน์และโคไซน์ ===
[[ไฟล์:Triangle with notations 2.svg|thumb||left|รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน ''a'', ''b'', ''c'' และมีมุม ''α'', ''β'', ''γ'' ตามลำดับ]]
{{บทความหลัก|กฎของไซน์|กฎของโคไซน์}}
'''กฎของไซน์''' (law of sine) หรือกฎไซน์ (sine rule) <ref>{{cite web|url=http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/laws.html|title=The Laws of Cosines and Sines|author=Prof. David E. Joyce|publisher=Clark University|accessdate=2008-11-1}}</ref> ระบุไว้ว่าอัตราส่วนของความยาวของด้าน ''a'' ที่สมนัยกับมุม ''α'' (มุมตรงข้าม) จะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้าน ''b'' ที่สมนัยกับมุม ''β'' ดังนี้
:<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</math>

'''กฎของโคไซน์''' (law of cosine) หรือกฎโคไซน์ (cosine rule) เป็นการเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ทราบความยาว ไปยังด้านที่เหลือและมุมที่อยู่ตรงข้าม จากรูปทางซ้ายมือ สมมติว่าเราทราบความยาวของด้าน ''a'' และ ''b'' และทราบขนาดของมุมตรงข้าม ''γ'' ความยาวของด้าน ''c'' สามารถคำนวณจากสูตรต่อไปนี้
:<math>c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma) \implies b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta) \implies a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)</math>

== รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ ==
รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ หมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้ถูกวาดขึ้นบนพื้นผิวที่แบนราบ ตัวอย่างรูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบเช่น [[รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลม]]ใน[[เรขาคณิตทรงกลม]] และ[[รูปสามเหลี่ยมเชิงไฮเพอร์โบลา]]ใน[[เรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา]] ซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตแบบยุคลิด

ในขณะที่รูปสามเหลี่ยมธรรมดา (สองมิติ) มุมภายในรูปสามเหลี่ยมจะรวมกันได้ 180° แต่รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบมุมภายในอาจรวมกันได้มากกว่าหรือน้อยกว่านั้น บนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบ (บุ๋มลงไป) จะบวกกันได้น้อยกว่า 180° และบนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นบวก (นูนขึ้นมา) จะบวกกันได้มากกว่า 180° นั่นหมายความว่า ถ้าเราวาดรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่มากบนพื้นผิวโลก มุมภายในจะรวมกันได้มากกว่า 180°

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

== ดูเพิ่ม ==
* [[สมภาค]] (congruence)
* [[จุดแฟร์มาต์]] (Fermat point)
* [[เทนเซอร์ความเฉื่อยของรูปสามเหลี่ยม]] (inertia tensor of triangle)
* [[กฎของไซน์]], [[กฎของโคไซน์]], [[กฎของแทนเจนต์]]
* [[ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]]
* [[จำนวนสามเหลี่ยม]] (triangular number)

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
{{คอมมอนส์-หมวดหมู่|Triangles|{{PAGENAME}}}}
* [https://web.archive.org/web/20061110032901/http://www.btinternet.com/~se16/hgb/triangle.htm Area of a triangle - 7 different ways]
* [http://www.mathopenref.com/tocs/constructionstoc.html Animated demonstrations] of triangle constructions using compass and straightedge.
* [http://www.platinumgmat.com/gmat_study_guide/triangles Basic Overview & Explanation of Triangles] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100407181543/http://www.platinumgmat.com/gmat_study_guide/triangles |date=2010-04-07 }}
* Deko Dekov: [http://www.dekovsoft.com/e.htm Computer-Generated Encyclopedia of Euclidean Geometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090217141108/http://www.dekovsoft.com/e.htm |date=2009-02-17 }}. Contains a few thousands theorems discovered by a computer about interesting points associated with any triangle.
* Clark Kimberling: [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of triangle centers]. Lists some 3200 interesting points associated with any triangle.
* Christian Obrecht: [http://www.eukleides.org/ Eukleides]. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
* [http://www.apronus.com/geometry/triangle.htm Proof that the sum of the angles in a triangle is 180 degrees]
* [http://www.xtec.es/~qcastell/ttw/ttweng/portada.html The Triangles Web], by Quim Castellsaguer
* [http://ostermiller.org/calc/triangle.html Triangle Calculator] - solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
* [http://www.mathopenref.com/tocs/triangletoc.html Triangle definition pages] with interactive applets that are also useful in a classroom setting. 
* [http://agutie.homestead.com/files/triangles_1.htm Triangles: Theorems and Problems.] Interactive illustrations at [[Geometry from the Land of the Incas]].
* [http://mathworld.wolfram.com/Triangle.html Triangles at Mathworld]

{{รูปหลายเหลี่ยม}}

[[หมวดหมู่:รูปหลายเหลี่ยม|3]]
[[หมวดหมู่:รูปสามเหลี่ยม| ]]