ดูต้นฉบับสำหรับ รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

{{ต้องการอ้างอิง}}
[[ไฟล์:Unit circle angles color.svg|300px|thumb|right|โคไซน์และไซน์รอบ[[วงกลมหนึ่งหน่วย]]]]
{{ตรีโกณมิติ}}
ในวิชา[[คณิตศาสตร์]] '''เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ''' เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับ[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]] และเป็นจริงสำหรับทุกค่าของ[[ตัวแปร (คณิตศาสตร์)|ตัวแปร]]มุม เมื่อแต่ละข้างของสมการสามารถหาค่าได้ ในทางเรขาคณิต เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ [[เอกลักษณ์ (คณิตศาสตร์)|เอกลักษณ์]]ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของ[[มุม]]หนึ่งมุมขึ้นไป แตกต่างจาก[[เอกลักษณ์รูปสามเหลี่ยม]] ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับมุมเช่นกัน แต่จะรวมถึงความยาวด้านของ[[รูปสามเหลี่ยม]]ด้วย

เอกลักษณ์เหล่านี้เป็นประโยชน์ เมื่อใดที่มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การประยุกต์ที่สำคัญ คือ [[ปริพันธ์|การหาปริพันธ์]]ของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นวิธีการที่ต้องใช้[[การแทนค่าตรีโกณมิติ|การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ]]เป็นลำดับแรกก่อน แล้วจึงหาผลลัพธ์ของปริพันธ์โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

== สัญกรณ์ ==
=== มุม ===
บทความนี้จะใช้[[อักษรกรีก]] เช่น [[แอลฟา]] ({{mvar|α}}), [[บีตา]] ({{mvar|β}}), [[แกมมา]] ({{mvar|γ}}), และ[[ทีตา]] ({{mvar|θ}}) เพื่อใช้แทน[[มุม]] และมีหน่วยในการวัดขนาดของ[[มุม]]ที่แตกต่างกันที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ได้แก่ [[องศา (มุม)|องศา]] [[เรเดียน]] และ[[แกรเดียน]] (แกร็ด หรือก็อน)

1 รอบเต็มของวงกลม &nbsp;=&nbsp;360&nbsp;องศา&nbsp;=&nbsp;2{{pi}}&nbsp;เรเดียน&nbsp;=&nbsp;400&nbsp;ก็อน

ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลงหน่วยและค่าของมุมทั่วไป

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ การแปลงมุมทั่วไป
! รอบ<!--[[Turn (geometry)|Turn]]s-->
! [[องศา (มุม)|องศา]]
! [[เรเดียน]]
! [[แกรเดียน]]
! [[ไซน์]]
! [[โคไซน์]]
! [[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ|แทนเจนต์]]
|-
| <math> 0 </math>
| <math> 0^{\circ}</math>
| <math> 0 </math>
| <math> 0^{g}</math>
| <math> 0</math>
| <math> 1</math>
| <math> 0</math>
|-
|-
| <math> \dfrac{1}{12}</math>
| <math> 30^{\circ} </math>
| <math> \dfrac{\pi}{6}</math>
| <math> 33\dfrac{1}{3}^{g}</math>
| <math> \dfrac{1}{2}</math>
| <math> \dfrac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math> \dfrac{\sqrt{3}}{3}</math>
|-
| <math> \dfrac{1}{8}</math>
| <math> 45^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{\pi}{4}</math>
| <math> 50^{g}</math>
| <math> \dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math> \dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math> 1</math>
|-
| <math> \dfrac{1}{6}</math>
| <math> 60^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{\pi}{3}</math>
| <math> 66\dfrac{2}{3}^{g}</math>
| <math> \dfrac{\sqrt{3}}{2}</math> 
| <math> \dfrac{1}{2}</math>
| <math> \sqrt{3}</math>
|-
| <math> \dfrac{1}{4}</math>
| <math> 90^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{\pi}{2}</math>
| <math> 100^{g}</math>
| <math> 1</math>
| <math> 0</math>
| <math> \infty</math>
|-
| <math> \dfrac{1}{3}</math>
| <math> 120^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{2\pi}{3}</math>
| <math> 133\dfrac{1}{3}^{g}</math>
| <math> \dfrac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math> -\dfrac{1}{2}</math>
| <math> -\sqrt{3}</math>
|-
| <math> \dfrac{3}{8}</math>
| <math> 135^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{3\pi}{4}</math>
| <math> 150^{g}</math>
| <math> \dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math> -\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math> -1</math>
|-
| <math> \dfrac{5}{12}</math>
| <math> 150^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{5\pi}{6}</math>
| <math> 166\dfrac{2}{3}^{g}</math>
| <math> \dfrac{1}{2}</math>
| <math> -\dfrac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math> -\dfrac{\sqrt{3}}{3}</math>
|-
| <math> \dfrac{1}{2}</math>
| <math> 180^{\circ}</math>
| <math> \pi</math>
| <math> 200^{g}</math>
| <math> 0</math>
| <math> -1</math>
| <math> 0</math>
|-
| <math> \dfrac{7}{12}</math>
| <math> 210^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{7\pi}{6}</math>
| <math> 233\dfrac{1}{3}^{g}</math>
| <math> -\dfrac{1}{2}</math>
| <math> -\dfrac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math> \dfrac{\sqrt{3}}{3}</math>
|-
| <math> \dfrac{5}{8}</math>
| <math> 225^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{5\pi}{4}</math>
| <math> 250^{g}</math>
| <math> -\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math> -\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math> 1</math>
|-
| <math> \dfrac{2}{3}</math>
| <math> 240^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{4\pi}{3}</math>
| <math> 266\dfrac{2}{3}^{g}</math>
| <math> -\dfrac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math> -\dfrac{1}{2}</math>
| <math> \sqrt{3}</math>
|-
| <math> \dfrac{3}{4}</math>
| <math> 270^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{3\pi}{2}</math>
| <math> 300^{g}</math>
| <math> -1</math>
| <math> 0</math>
| <math> \infty</math>
|-
| <math> \dfrac{5}{6}</math>
| <math> 300^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{5\pi}{3}</math>
| <math> 333\dfrac{1}{3}^{g}</math>
| <math> -\dfrac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math> \dfrac{1}{2}</math>
| <math> -\sqrt{3}</math>
|-
| <math> \dfrac{7}{8}</math>
| <math> 315^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{7\pi}{4}</math>
| <math> 350^{g}</math>
| <math> -\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math> \dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math> -1</math>
|-
| <math> \dfrac{11}{12}</math>
| <math> 330^{\circ}</math>
| <math> \dfrac{11\pi}{6}</math>
| <math> 366\dfrac{2}{3}^{g}</math>
| <math> -\dfrac{1}{2}</math>
| <math> \dfrac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math> -\dfrac{\sqrt{3}}{3}</math>
|-
| <math> 1</math>
| <math> 360^{\circ}</math>
| <math> 2\pi</math>
| <math> 400^{g}</math>
| <math> 0</math>
| <math> 1</math>
| <math> 0</math>
|}

=== ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ===
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ [[ไซน์]]และ[[โคไซน์]]ของมุม บางครั้งสามารถเขียนย่อได้เป็น {{math|sin(''θ'')}} และ {{math|cos(''θ'')}} ตามลำดับ เมื่อ {{mvar|θ}} เป็นขนาดของมุม แต่เราสามารถเขียนละวงเล็บที่อยู่หน้าและหลังขนาดของมุมได้เป็น {{math|sin ''θ''}} และ {{math|cos ''θ''}}

ฟังก์ชันไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของ[[รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก]]ไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น ([[ด้านตรงข้ามมุมฉาก]])

ฟังก์ชันโคไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของ[[รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก]]ไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น ([[ด้านตรงข้ามมุมฉาก]])

[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ|ฟังก์ชันแทนเจนต์]] ({{math|tan}}) ของมุม คือ [[อัตราส่วน]]ของไซน์และโคไซน์
:<math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math>
และสุดท้าย ฟังก์ชัน[[ตัวผกผันการคูณ|ส่วนกลับ]] ได้แก่ เซแคนต์ ({{math|sec}}), โคเซแคนต์ ({{math|csc}}), และโคแทนเจนต์ ({{math|cot}}) ซึ่งเป็นส่วนกลับการคูณของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตามลำดับ
:<math>\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}</math>
นิยามเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์อัตราส่วน

== ฟังก์ชันผกผัน ==
{{บทความหลัก|ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน}}
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเป็น[[ฟังก์ชันผกผัน]]ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันผกผันของไซน์ เรียกว่า '''อินเวอร์สไซน์''' ({{math|sin<sup>−1</sup>}}) หรือ '''อาร์กไซน์''' ({{math|arcsin}} หรือ {{math|asin}}) โดยที่
:<math>\sin(\arcsin x) = x\quad\text{for} \quad |x| \leq 1 </math>
และ
:<math>\arcsin(\sin x) = x\quad\text{for} \quad |x| \leq \frac{\pi}{2} </math>

บทความนี้จะใช้สัญกรณ์ข้างล่างนี้สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF; text-align: center;"
|-
! ฟังก์ชัน
| sin
| cos
| tan
| sec
| csc
| cot
|-
! ฟังก์ชันผกผัน
| arcsin
| arccos
| arctan
| arcsec
| arccsc
| arccot
|}

== รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ ==
เมื่อกำหนด <math>A</math> เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้
:<math>\sin A \cdot \csc A = 1</math>

:<math>\cos A \cdot \sec A = 1</math>

:<math>\tan A \cdot \cot A = 1</math>

:<math>\cos A \cdot \tan A = \sin A</math>

:<math>\sin A \cdot \cot A = \cos A</math>

:<math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1\,</math>

:<math>\sec^2 A - \tan^2 A = 1\,</math>

:<math>\csc^2 A - \cot^2 A = 1\,</math>

เมื่อกำหนด <math>x</math> และ <math>y</math> เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้
:<math>\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y</math>

:<math>\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y</math>

:<math>\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y</math>

:<math>\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y</math>

:<math>\tan \left(x+y\right)=\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}</math>

:<math>\tan \left(x-y\right)=\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}</math>

:<math>\sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) </math>

:<math>\sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) </math>

:<math>\cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)</math>

:<math>\cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right)\sin \left( \frac{x-y}{2} \right)</math>

:<math>\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}</math>

:<math>\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}</math>

:<math>\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}</math>

:<math>\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin y}</math>

:<math>2\sin x \cos y=\sin \left(x+y\right) + \sin \left(x-y\right)</math>

:<math>2\cos x \sin y=\sin \left(x+y\right) - \sin \left(x-y\right)</math>

:<math>2\cos x \cos y=\cos \left(x+y\right) + \cos \left(x-y\right)</math>

:<math>2\sin x \sin y=\cos \left(x-y\right) - \cos \left(x+y\right)</math>

:<math>\sin 2x=2\sin x \cos x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}</math>

:<math>\cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x=1-2\sin^2 x=2\cos^2 x-1=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}</math>

:<math>\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}</math>

:<math>\sin 3x=3\sin x - 4\sin^3 x</math>

:<math>\cos 3x=4\cos^3 x - 3\cos x</math>

:<math>\tan 3x=\frac{3\tan x - \tan^3 x}{1-3\tan ^2x}</math>

[[หมวดหมู่:ตรีโกณมิติ]]
[[หมวดหมู่:เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์]]
{{โครงคณิตศาสตร์}}