ดูต้นฉบับสำหรับ ระบบพิกัดเชิงขั้ว

[[ไฟล์:CircularCoordinates.svg|thumb|250px|จุดในระบบพิกัดเชิงขั้วกับขั้ว ''O'' และแกนเชิงขั้ว ''L'' ในเส้นสีเขียว จุดกับพิกัดรัศมี 3 และพิกัดมุม 60 องศาหรือ (3, 60°) ในเส้นสีฟ้า จุด (4, 210°)]]
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''ระบบพิกัดเชิงขั้ว''' ({{langx|en|polar coordinate system}}) คือ [[พิกัด|ระบบค่าพิกัด]][[มิติ|สองมิติ]] ในแต่ละ[[จุด (เรขาคณิต)|จุด]]บน[[ระนาบ]]ถูกกำหนดโดย[[ระยะทาง]]จากจุดตรึงและ[[มุม]]จากทิศทางตรึง 

จุดตรึง (เหมือนจุดกำเนิดของ[[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน]]) เรียกว่า '''ขั้ว''' ลาก[[เส้นตรง#รังสี|รังสี]] จากขั้วเข้ากับทิศทางตรึง คือ '''แกนเชิงขั้ว''' ระยะทางจากขั้วเรียกว่า '''พิกัดรัศมี''' หรือ '''รัศมี''' และมุม คือ '''พิกัดมุม''', '''มุมเชิงขั้ว''' หรือ '''[[มุมทิศ]]'''<ref name="brown">{{cite book| last = Brown| first = Richard G.| editor = Andrew M. Gleason| year = 1997| title = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis| url = https://archive.org/details/advancedmathemat00rich_0| publisher = McDougal Littell| location = Evanston, Illinois| isbn = 0-395-77114-5}}</ref>

== ประวัติ ==
{{See also|ประวัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ}}
มีการนำแนวคิดเรื่องมุมและรัศมีมาใช้ตั้งแต่สมัยโบราณในหนึ่งสหัสวรรษก่อนคริสต์ศักราช นักดาราศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อ[[ฮิปปาร์คอส]] (190-120 BCE) สร้างตารางฟังก์ชันคอร์ดที่ให้ความยาวของคอร์ดสำหรับแต่ละมุม และมีการอ้างอิงว่าเขาใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วในการพิสูจน์ตำแหน่งของดวงดาว<ref name="milestones">{{cite web| last = Friendly| first = Michael| title = Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization| url = http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html| accessdate = 2006-09-10| archive-date = 2011-03-20| archive-url = https://web.archive.org/web/20110320182116/http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html| url-status = dead}}</ref>
ใน ''[[On Spirals]] (ว่าด้วยเส้นเกลียว)'' [[อาร์คิมิดีส]]บรรยายถึงวงก้นหอยอาร์คิมิดีสว่ารัศมีของฟังก์ชันขึ้นกับมุม อย่างไรก็ตามสิ่งที่ชาวกรีกเหล่านี้ทำก็ยังไม่ขยายออกไปถึงระบบพิกัดเชิงขั้วที่สมบูรณ์

ใน[[คริสต์ศตวรรษ]]ที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ ฮะบัซ อัล-ฮะซับ อัล-มาร์วะซิ (Habash al-Hasib al-Marwazi) ใช้วิธี[[ตรีโกณมิติเชิงทรงกลม]]และ[[การฉายแผนที่]]เพื่อที่จะแปลงผันพิกัดเชิงขั้วไปเป็นระบบพิกัดที่แตกต่างโดยมุ่งความสนใจไปยังจุดจำเพาะบนรูปทรงกลม ในที่นี้คือ[[กิบลัต]]มีทิศทางสู่[[มักกะหฺ]]<ref>{{citation|title=Mathematics and the Divine|last=T. Koetsier|first=L. Bergmans|publisher=[[Elsevier]]|year=2005|isbn=0444503285|page=169}}</ref> นักภูมิศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ อะบู รอย์ฮาน บิรูนี (Abū Rayhān Bīrūnī) (973-1048) พัฒนาแนวคิดซึ่งดูเหมือนจะใกล้เคียงกับระบบพิกัดเชิงขั้ว<ref name=MacTutor>{{MacTutor|id=Al-Biruni|title=Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni}}</ref> ราวๆคริสต์ศตวรรษ 1025 เขาเป็นคนแรกที่บรรยายถึงการฉายที่ระยะห่างเท่ากันของแอซมัทเท่ากับขั้วของ[[ทรงกลมท้องฟ้า]]<ref>David A. King (1996), "Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping", in Roshdi Rashed (ed.), ''[[Encyclopedia of the History of Arabic Science]]'', Vol. 1, pp. 128–184 [153], [[Routledge]], London and New York</ref>

มีรายงานที่ต่างกันของการเริ่มต้นของพิกัดเชิงขั้วตามส่วนหนึ่งของรูปนัยระบบพิกัด ''Origin of Polar Coordinates (กำเนิดพิกัดเชิงขั้ว)'' ประวัติของพิกัดนี้ถูกบรรยายโดย [[จูเลียน คูลิดจ์]] (Julian Lowell Coolidge) ศาสตราจารย์[[มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด|ฮาร์วาร์ด]]<ref name="coolidge">{{cite journal| last = Coolidge| first = Julian| authorlink = Julian Lowell Coolidge| title = The Origin of Polar Coordinates| journal = American Mathematical Monthly| volume = 59| pages = 78–85| year = 1952| url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html| doi = 10.2307/2307104}}</ref> เกรกัวร์ เดอ แชง-แวงซอง (Grégoire de Saint-Vincent) และ โบนาเวนตูรา คาวาลิเอริ (Bonaventura Cavalieri) ต่างเริ่มนำแนวคิดมาใช้ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 7 แชง-แวงซองเขียนถึงพิกัดเชิงขั้วโดยการส่วนตัวในปี ค.ศ. 1625 และตีพิมพ์งานของเขาในปี ค.ศ. 1647 ขณะที่คาวาลิเอริตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1635 และฉบับที่ถูกต้องในปี ค.ศ. 1653 คาวาลิเอริเป็นบุคคลแรกที่ใช้พิกัดเชิงขั้วแก้ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในวงก้นหอยอาร์คิมิดีส ต่อมา[[แบลซ ปัสกาล]]ได้ใช้พิกัดเชิงขั้วคำนวณหาความยาวของส่วนโค้งของรูป[[พาราโบลา]]

ใน ''Method of Fluxions (วิธีการไหล)'' (เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1671, ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1736) เซอร์[[ไอแซก นิวตัน]]พิเคราะห์การแปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้วซึ่งเขาได้อิงตาม "รูปแบบที่ 7 สำหรับวงก้นหอย" และพิกัดอื่นๆอีกเก้าพิกัด<ref>{{cite journal| last = Boyer| first = C. B.| title = Newton as an Originator of Polar Coordinates| url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1949-12_56_10/page/n144| journal = American Mathematical Monthly| volume = 56| pages = 73–78| year = 1949| doi = 10.2307/2306162}}</ref> ในวารสาร ''Acta Eruditorum'' (1691), เจคอบ เบอร์โนลลี (Jacob Bernoulli) ใช้ระบบร่วมกับจุดบนเส้นที่เรียกว่า ''ขั้ว'' และ ''แกนเชิงขั้ว'' ตามลำดับ พิกัดเป็นระยะทางจากขั้วและมุมจากแกนเชิงขั้ว งานของเบอร์โนลลีครอบคลุมไปถึงการพบ[[รัศมีความโค้ง]]ของเส้นโค้งที่อยู่ในพิกัดนี้

คำว่า ''พิกัดเชิงขั้ว'' โดยแท้จริงแล้วน่าจะมาจาก[[เกรโกรีโอ ฟอนตานา]] (Gregorio Fontana) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในสมัยคริสต์ศตวรรษที่ 18 และคำนี้ปรากฏเป็น[[ภาษาอังกฤษ]]ในงานแปลของ [[จอร์จ พีค็อก]] (George Peacock) ที่ชื่อ ''แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์'' ของลาครัว (Lacroix) ในปี ค.ศ. 1816<ref>{{cite web| last = Miller| first = Jeff| title = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics| url = http://members.aol.com/jeff570/p.html| accessdate = 2006-09-10| archiveurl = https://web.archive.org/web/19991003184733/http://members.aol.com/jeff570/p.html| archivedate = 1999-10-03| url-status = live}}</ref><ref>{{cite book| last = Smith| first = David Eugene| title = History of Mathematics, Vol II| publisher = Ginn and Co.| year = 1925| location = Boston| pages = 324}}</ref> [[อาแล็กซี แกลโร]]เป็นคนแรกที่คิดพิกัดเชิงขั้วในรูปแบบสามมิติ และ[[เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์]]เป็นคนแรกที่นำมาใช้งานจริง<ref name="coolidge" />

== สัญนิยม ==
[[ไฟล์:Polar graph paper.svg|thumb|right|250px|เส้นกริดขั้วและแถบบอกมุมในแต่ละองศา]]
พิกัดรัศมีมักใช้ ''r'' แสดงแทนและพิกัดมุมใช้ θ หรือ ''t'' แสดงแทน 

มุมในเครื่องหมายขั้ว ทั่วไปถูกแสดงอยู่ในรูปแบบ[[องศา (มุม)|องศา]]หรือ[[เรเดียน]] (2[[พาย (ค่าคงตัว)|π]] rad เท่ากับ 360°) องศาถูกใช้ใน[[การเดินเรือ]], การสำรวจ และมีการนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขา ขณะที่เรเดียนโดยทั่วไปอยู่ในคณิตศาสตร์และ[[คณิตศาสตร์ฟิสิกส์]]<ref>{{cite book| last = Serway| first = Raymond A.|author2=Jewett, Jr.|author3=John W.| title = Principles of Physics| publisher = Brooks/Cole—Thomson Learning| year = 2005| isbn = 0-534-49143-X}}</ref>

ในหลาย ๆ บริบท พิกัดมุมบวกหมายความว่ามุม θ ถูกวัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกนและมีค่าพิกัดมุมลบเมื่อวัดในทิศตามเข็มนาฬิกา ในเอกสารทางคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งแกนเชิงขั้วถูกลากในแนวนอนและไปทางทางขวา

=== ความพิเศษของพิกัดเชิงขั้ว ===
ทุกตัวเลขของการหมุนครบรอบ (360°) พิกัดมุมจะไม่เปลี่ยนทิศทาง และพิกัดรัศมีลบแสดงถึงระยะทางซึ่งได้จากการวัดเหมือนพิกัดรัศมีบวกแต่มีทิศทางตรงข้าม ดังนั้นในจุดเดียวกันสามารถแสดงด้วยตัวเลขไม่สิ้นสุดที่มีพิกัดเชิงขั้วต่างกัน {{nowrap| (''r'', θ ± ''n''×360°)}} หรือ {{nowrap| (−''r'', θ ± (2''n'' + 1) 180°)}} เมื่อ ''n'' คือ[[จำนวนเต็ม]]ใด ๆ<ref>{{cite web| url = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf| title = Polar Coordinates and Graphing| accessdate = 2006-09-22| date = 2006-04-13 | format = PDF| archive-date = 2012-02-15| archive-url = https://www.webcitation.org/65Tl0XlQe?url=http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006/teacher_20060413_0948.pdf| url-status = dead}}</ref> ยิ่งไปกว่านั้น ขั้วเองสามารถแสดงแทนด้วย (0,&nbsp;θ) สำหรับมุม θ ใด ๆ<ref>{{cite book|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|last=Lee|first=Theodore|author2=David Cohen|author3=David Sklar|year=2005|publisher=Thomson Brooks/Cole|edition=4th|isbn=0534402305}}</ref>

เมื่อต้องการแสดงแทนจุดใด ๆ ปกติใช้ ''r'' เป็น[[จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ|จำนวนไม่เป็นลบ]] ({{nowrap|''r'' ≥ 0}}) และ θ ใน[[ช่วง]] [0,&nbsp;360°) หรือ (−180°,&nbsp;180°] (ในเรเดียน,  [0,&nbsp;2π) หรือ (−π,&nbsp;π]) <ref>{{cite book|title=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|first=Ian|last=Stewart|author2=David Tall|year=1983|publisher=Cambridge University Press|isbn=0521287634}}</ref>  และต้องเลือกแอซิมัทสำหรับขั้ว เช่น θ&nbsp;=&nbsp;0

== ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนกับพิกัดเชิงขั้ว ==
[[ไฟล์:Polar to cartesian.svg|right|thumb|200px|แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียน]]
ค่าของพิกัดเชิงขั้ว ''r'' และ θ สามารถแปลงเป็น[[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน|พิกัดคาร์ทีเซียน]] ''x'' and ''y'' โดยใช้[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]]ไซน์และโคไซน์:
:<math>x = r \cos \theta \,</math>
:<math>y = r \sin \theta \,</math>

ขณะที่ค่าของพิกัดคาร์ทีเซียน ''x'' และ ''y'' ก็สามารถแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้ว ''r'' โดย
:<math>r = \sqrt{y^2 + x^2} \quad</math> (ตาม[[ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]])  และ
:<math>\theta =
\begin{cases}
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0\\
\arcsin (\frac{y}{r}) & \mbox{if } x \geq 0 \\
-\arcsin (\frac{y}{r}) + \pi & \mbox{if } x < 0\\
\end{cases}</math>
ทุกสูตรเหล่านี้สมมุติว่าขั้วคือจุดกำเนิดคาร์ทีเซียน (0,0) แกนเชิงขั้ว คือ แกนคาร์ทีเซียน ''x'' และทิศทางของแกนคาร์ทีเซียน ''y'' มีแอซิมัท +π/2 rad = +90° (แทนที่ −π/2) ฟังก์ชันอาร์กไซน์คือส่วนกลับของฟังก์ชัน[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ|ไซน์]]ซึ่งสมมุติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [−π/2, +π/2] = [−90°, +90°]

สูตรสำหรับ θ นอกเหนือจากการแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [-π/2, +3π/2) = [−90°, +270°)

θ ในช่วง [0, 2π) อาจใช้
:<math>\theta =
\begin{cases}
\arctan (\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y < 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0
\end{cases}</math>
ฟังก์ชันอาร์กแทนเป็นส่วนกลับของฟังก์ชัน[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ|แทนเจนต์]] ซึ่งสมมติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย (−π/2, +π/2) = (−90°, +90°)

θ ในช่วง (−π, π] อาจใช้<ref>{{cite book|first=Bruce Follett|last=Torrence|author2=Eve Torrence|title=The Student's Introduction to Mathematica|url=https://archive.org/details/studentsintroduc0000torr|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=0521594618}}</ref>
:<math>\theta =
\begin{cases}
\arctan (\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0
\end{cases}</math>

ใน[[ภาษาโปรแกรม]]สมัยใหม่มีฟังก์ชันที่จะคำนวณหาพิกัดมุม θ เพียงให้ค่า ''x'' และ ''y'' โดยไม่ต้องให้อะไรเพิ่มเติม เช่น ฟังก์ชัน <code>atan2</code> (''y'', ''x'') ใน[[ภาษาซี]] และ <code>atan</code> (''y'', ''x'') ในคอมมอน ลิซ์ป (Common Lisp) ในทั้งสองกรณีนั้น ผลที่ได้เป็นมุมในเรเดียนในพิสัย (−π, π]

== สมการเชิงขั้วของเส้นโค้ง ==
สมการที่นิยามเส้นโค้งพืชคณิตแสดงในพิกัดเชิงขั้วหรือที่เรียกว่า '''สมการเชิงขั้ว''' ในหลายกรณี สมการสามารถถูกกำหนดง่าย ๆ โดยนิยาม ''r'' ตาม[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]]ของ θ (''r'' {{=}} ''f(θ)'' หรือ ''F(r, θ)'' {{=}} ''0'') เส้นโค้งที่ได้ประกอบด้วยจุดในรูปแบบ (''r''(θ), θ) และสามารถถือว่าเป็นเส้น[[กราฟของฟังก์ชัน|กราฟ]]ของฟังกชันขั้ว ''r''

รูปแบบ[[สมมาตร]]ที่ต่างกันสามารถอนุมานจากสมการของฟังกชันขั้ว ''r'' ถ้า {{nowrap|''r''(−θ) {{=}} ''r''(θ)}} เส้นโค้งจะสมมาตรกับรังสีแนวนอน (0°/180°) ถ้า {{nowrap|''r''(π − θ) {{=}} ''r''(θ)}} จะสมมาตรกับรังสีแนวตั้ง (90°/270°) และถ้า {{nowrap|''r''(θ − α°) {{=}} ''r''(θ)}} จะสมมาตรแบบหมุน α° [[ทวนเข็มนาฬิกา]] รอบขั้ว

เพราะธรรมชาติของวงกลมที่มีอยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้ว เส้นโค้งหลาย ๆ เส้นสามารถอธิบายโดยสมการเชิงขั้วง่าย ๆ เพราะว่ารูปแบบในพิกัดคาร์ทีเซียนของเส้นเหล่านั้นเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมาก เส้นโค้งที่เรารู้จักกันดีได้แก่ [[กลีบกุหลาบ]], [[วงก้นหอย]], [[ริบบิ้น]], [[ลีมาซอง]] และ [[หัวใจ]]

=== วงกลม ===
[[ไฟล์:circle r=1.svg|thumb|right|วงกลมตามสมการ {{nowrap|''r'' (θ) {{=}} 1}}]]
โดยทั่วไปสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ {{nowrap| (''r<sub>0</sub>'', φ)}} และรัศมี ''a'' คือ

:<math>r^2 - 2 r r_0 \cos (\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2\, </math>

สมการนี้สามารถทำให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้นได้หลายทางโดยปรับเปลี่ยนให้เข้าสู่กรณีเฉพาะ เช่นสมการ

:<math>r (\theta) =a \,</math>

สำหรับวงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ขั้วและรัศมี ''a''<ref name="ping">{{cite web| first=Johan| last=Claeys| url=http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm| title=Polar coordinates| accessdate=2006-05-25| archive-date=2000-03-02| archive-url=https://web.archive.org/web/20000302151535/http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm| url-status=dead}}</ref>

=== เส้นตรง ===
เส้น''รัศมี'' (ที่วิ่งผ่านขั้ว) แทนด้วยสมการ
:<math>\theta = \varphi \,</math>
เมื่อ φ คือมุมของการยกตัวของเส้น; {{nowrap|φ {{=}} arctan ''m''}} เมื่อ ''m'' คือ[[ความชัน]]ของเส้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นตรงที่ไม่ใช่รัศมีที่ตัดกับรัศมี {{nowrap|θ {{=}} φ}} [[ตั้งฉาก]]ที่จุด (''r<sub>0</sub>'', φ) มีสมการดังนี้
:<math>r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi) \,</math>

=== กลีบกุหลาบ ===
[[ไฟล์:Rose 2sin(4theta).svg|thumb|right|กลีบกุหลาบตามสมการ {{nowrap|''r''(θ) {{=}} 2 sin 4θ}}]]
[[กลีบกุหลาบ]]เป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดี ที่มองดูเหมือนกลีบดอกไม้ สามารถแสดงแทนในรูปสมการเชิงขั้วทั่วไปดังนี้
:<math>r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,</math>
สำหรับทุก ๆ ค่าคงที่ φ<sub>0</sub> (รวมถึงค่า 0) ถ้า ''k'' คือจำนวนเต็ม สมการจะสร้างกลีบดอกไม้ ''k'' กลีบถ้า ''k'' คือ [[จำนวนคู่และจำนวนคี่|จำนวนคี่]] หรือ 2''k'' กลีบถ้า ''k'' คือจำนวนคู่ ถ้า ''k'' คือ [[จำนวนตรรกยะ|เลขเศษส่วน]]แต่ไม่ใช่จำนวนเต้ม เส้นโค้งจากสมการอาจเป็นรูปกลีบดอกไม้แต่กลีบอาจจะซ้อนทับกัน จากที่กล่าวมาข้างต้นทำให้สมการนี้ไม่สามารถกำหนดกลีบดอกไม้เป็นเป็น 2, 6, 10, 14, และอื่น ๆ กลีบได้ [[ตัวแปร]] ''a'' จะแทนความยาวของกลีบดอกไม้

=== วงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส ===
[[ไฟล์:Spiral of Archimedes.svg|thumb|right|แขนมุมของวงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสตามสมการ {{nowrap|''r''(θ) {{=}} θ}} เมื่อ {{nowrap|0 < θ < 6π}}]]
เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสเป็นวงก้นหอยที่ถูกค้นพบโดย[[อาร์คิมิดีส]] ซึ่งสามารถแทนได้ด้วยสมการเชิงขั้ว
:<math>r(\theta) = a+b\theta \,</math>
<!--เมื่อเปลี่ยนค่า ''a'' will turn วงก้นหอย ขณะที่ ''b'' ควบคุมระยะห่างระหว่างแขนมุม, which for a given spiral is always constant. ก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสมีสองแขนคือ The Archimedean spiral has two arms, one for {{nowrap|θ > 0}} และand one for {{nowrap|θ < 0}}. The two arms are smoothly connected at the pole. Taking the mirror image of one arm across the 90°/270° line will yield the other arm. This curve is notable as one of the first curves, after the [[conic section]]s, to be described in a mathematical treatise, and as being a prime example of a curve that is best defined by a polar equation.-->

== จำนวนเชิงซ้อน ==
[[ไฟล์:Imaginarynumber2.svg|thumb|right|200px|ภาพแสดงเลขเชิงซ้อน ''z'' ลงจุดบนระนาบเชิงซ้อน]]
[[ไฟล์:Euler's formula.svg|thumb|right|200px|ภาพแสดงเลขเชิงซ้อนลงจุดบนระนาบเชิงซ้อนเมื่อใช้[[สูตรของออยเลอร์]]]]
ทุก ๆ [[จำนวนเชิงซ้อน]]สามารถแทนได้ด้วยจุดใน[[ระนาบเชิงซ้อน]] ดังนั้นจึงสามารถแสดงด้วยจุดในพิกัดคาร์ทีเซียน (เรียกว่า แบบมุมฉากหรือแบบคาร์ทีเซียน) หรือจุดในพิกัดเชิงขั้ว (เรียกว่า แบบเชิงขั้ว)

เลขเชิงซ้อน ''z'' สามารถแทนในรูปแบบมุมฉากดังนี้
: <math>z = x + iy</math>
เมื่อ ''i'' คือ [[หน่วยจินตภาพ]] หรือสามารถเลือกเขียนในแบบเชิงขั้ว (ตามสูตรการแปรผันข้างบน) ดังนี้
:<math>z = r\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)</math>
และลดรูปเป็น
: <math>z = re^{i\theta} \,</math>
เมื่อ ''e'' คือ [[e (ค่าคงตัว)|ตัวเลขของออยเลอร์]]ซึ่งสมมูลตามที่แสดงโดย[[สูตรของออยเลอร์]]<ref>{{cite book| last = Smith| first = Julius O.| title = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)| accessdate = 2006-09-22| year = 2003| publisher = W3K Publishing| isbn = 0-9745607-0-7| chapter = Euler's Identity| chapter-url = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html| archive-date = 2006-09-15| archive-url = https://web.archive.org/web/20060915004724/http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html| url-status = dead}}</ref> (มุม θ ถูกแสดงในหน่วยเรเดียน)

สำหรับ[[การคูณ]], [[การหาร]] และ[[การยกกำลัง]]ของเลขเชิงซ้อน ทั่วไปแล้วจะกระทำในแบบเชิงขั้วมากกว่าแบบมุมฉาก จากกฎของการยกกำลัง:

* การคูณ:
:: <math>r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,</math>
* การหาร:
:: <math>\frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,</math>
* การยกกำลัง ([[สูตรของเดอ มัวฟ์]]):
:: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,</math>

== แคลคูลัส ==
[[แคลคูลัส]]สามารถประยุกต์สมการไปใช้พิกัดเชิงขั้วได้<ref>{{cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|title=Areas Bounded by Polar Curves|author=Husch, Lawrence S.|accessdate=2006-11-25|archive-date=2000-03-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20000301151724/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|url-status=dead}}</ref><ref>{{cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|title=Tangent Lines to Polar Graphs|author=Lawrence S. Husch|accessdate=2006-11-25|archive-date=2019-11-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20191121222301/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|url-status=dead}}</ref>

พิกัดมุม ''θ'' ถูกแสดงในเรเดียนตลอดจนภาคตัดนี้ ซึ่งเป็นทางเลือกหนึ่งในการทำแคลคูลัส

=== แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ===
ให้ {{nowrap|''x'' {{=}} ''r'' cos(''θ'')}} และ {{nowrap|''y'' {{=}} ''r'' sin(''θ'')}} ซึ่งได้จากความสัมพันธ์ของพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว ให้ฟังก์ชัน ''u''(''x'',''y'') ตามสมการ
:<math>r \tfrac{\partial u}{\partial r} = r \tfrac{\partial u}{\partial x}\tfrac{\partial x}{\partial r} + r \tfrac{\partial u}{\partial y}\tfrac{\partial y}{\partial r},</math>
:<math>\tfrac{\partial u}{\partial \theta} = \tfrac{\partial u}{\partial x}\tfrac{\partial x}{\partial \theta} + \tfrac{\partial u}{\partial y}\tfrac{\partial y}{\partial \theta},</math>
หรือ
:<math>r \tfrac{\partial u}{\partial r} = r \tfrac{\partial u}{\partial x} \cos(\theta) + r \tfrac{\partial u}{\partial y} \sin(\theta)  = x \tfrac{\partial u}{\partial x} + y \tfrac{\partial u}{\partial y},</math>
:<math>\tfrac{\partial u}{\partial \theta} = - \tfrac{\partial u}{\partial x} r \sin(\theta) + \tfrac{\partial u}{\partial y} r \cos(\theta) = -y \tfrac{\partial u}{\partial x} + x \tfrac{\partial u}{\partial y}</math>

เพราะฉะนั้น จะได้สมการ:

:<math>r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y} \,</math>
:<math>\tfrac{\partial}{\partial \theta} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y} </math>

หาความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเชิงขั้ว ''r''(θ) ในทุก ๆ จุดที่ให้ เส้นโค้งนั้นอยู่ในรูประบบ[[สมการอิงตัวแปรเสริม]]
:<math>x=r(\theta)\cos\theta \,</math>
:<math>y=r(\theta)\sin\theta \,</math>

ทำ[[อนุพันธ์]]ในเทอมของ θ ทั้งสองสมการ
:<math>\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta \,</math>
:<math>\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta \,</math>

หารสมการที่สองด้วยสมการแรกให้ความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด {{nowrap|(''r'', ''r''(θ))}}:
:<math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}</math>

=== แคลคูลัสเวกเตอร์ ===
[[แคลคูลัสเวกเตอร์]]สามารถใช้กับพิกัดเชิงขั้วได้ด้วยเช่นกัน ให้ <math>\mathbf{r}</math> เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง {{nowrap|(''r''cos(θ) ''r''sin(θ))}}, ''r'' และ θ ขึ้นกับเวลา ''t''

ใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
:<math>\hat{\mathbf{r}}=(\cos(\theta),\sin(\theta))</math>
ในทิศทางของ '''r''' และ
:<math>\hat{\boldsymbol\theta}=(-\sin(\theta),\cos(\theta))</math>
ที่มุมฉากถึง '''r''' อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของตำแหน่งเป็น
:<math>\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},</math>
:<math>\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} +
 \frac{1}{r}\quad \dot {\overbrace{r^2\dot\theta}}\quad \hat{\boldsymbol\theta}</math>

== การเชื่อมโยงกับพิกัดทรงกลมและกระบอก ==
ระบบพิกัดเชิงขั้วสามารถขยายออกไปถึงสามมิติกับระบบพิกัดที่แตกต่งกันอีกสองระบบได้คือระบบพิกัดทรงกลมและระบบพิกัดกระบอก

== การประยุกต์ ==
{{โครงส่วน}}

== ดูเพิ่ม ==
* [[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน]]

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

[[หมวดหมู่:ระบบพิกัด]]