ดูต้นฉบับสำหรับ ภาวะคู่หรือคี่ของ 0

{{บทความคัดสรร}}
[[ไฟล์:Scale_of_justice_2.svg|thumb|alt=Empty balance scale|ตาชั่งนี้มีวัตถุ 0 วัตถุ แบ่งเป็นสองข้างเท่ากัน]]
'''[[0]]''' (ศูนย์) เป็น[[จำนวนคู่]] กล่าวได้อีกอย่างคือ '''[[ภาวะคู่หรือคี่ (คณิตศาสตร์)|ภาวะคู่หรือคี่]]'''ของ 0 เป็นคู่ วิธีพิสูจน์ว่า 0 เป็นคู่ง่ายที่สุดคือตรวจสอบว่า 0 เข้ากับนิยามของ "คู่" หรือไม่ โดย 0 เป็น[[พหุคูณ]]ของ [[2]] คือ 0 × 2 ผลคือ ศูนย์มีคุณสมบัติทั้งหมดอันเป็นลักษณะของจำนวนคู่ ตัวอย่างเช่น 0 มี[[จำนวนคี่]]ที่มากกว่าและน้อยกว่าขนาบ, <math>0+x</math> มีภาวะคู่หรือคี่เหมือน <math>x</math> และ[[เซต (คณิตศาสตร์)|เซต]]ของวัตถุ 0 วัตถุสามารถแบ่งได้เป็นสองเซตเท่า ๆ กัน

0 ยังเข้ากับแบบรูปที่จำนวนคู่อื่นมี กฎ[[เลขคณิต]]ภาวะคู่หรือคี่ เช่น คู่ − คู่ = คู่ กำหนดให้ 0 เป็นคู่ 0 เป็น[[สมาชิกเอกลักษณ์]]การบวกของ[[กรุป (คณิตศาสตร์)|กรุป]]จำนวนเต็มคู่ และเป็นกรณีตั้งต้นที่[[บทนิยามเวียนเกิด|นิยามเวียนเกิด]]ซึ่ง[[จำนวนธรรมชาติ]]คู่อื่น การใช้การเวียนเกิดนี้จาก[[ทฤษฎีกราฟ]]จนถึง[[เรขาคณิตการคณนา]]ต้องอาศัยว่า 0 เป็นคู่ ไม่เพียงแต่ 0 หารด้วย 2 ลงตัวเท่านั้น แต่ยังสามารถหารด้วย[[กำลัง 2]] ลงตัวทุกจำนวน ซึ่งเกี่ยวข้องกับ[[ระบบเลขฐานสอง]]ที่คอมพิวเตอร์ใช้

ในหมู่สาธารณชนทั่วไป ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 สามารถทำให้เกิดความสับสนได้ ในการทดลองเวลาปฏิกิริยา คนส่วนใหญ่ระบุว่า 0 เป็นคู่ช้ากว่า 2, 4, 6 หรือ 8 นักเรียนคณิตศาสตร์ตลอดจนครูอาจารย์บางส่วนคิดว่า 0 เป็นคี่, หรือเป็นทั้งคู่และคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่ นักวิจัยด้านการศึกษาคณิตศาสตร์เสนอว่า ความเข้าใจผิดเหล่านี้สามารถเป็นโอกาสเรียนรู้ได้ การศึกษาภาวะเท่ากัน เช่น 0 × 2 = 0 สามารถตอบข้อสงสัยของนักเรียนเกี่ยวกับการเรียก 0 เป็น[[จำนวน]]และใช้ในเลขคณิต การอภิปรายกลุ่มสามารถนำให้นักเรียนเข้าใจหลักการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ เช่น ความสำคัญของบทนิยาม การประเมินภาวะคู่หรือคี่ของจำนวนพิเศษนี้เป็นตัวอย่างอย่างง่ายของแก่นที่แพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์ คือ [[ภาวะนามธรรม (คณิตศาสตร์)|ภาวะนามธรรม]]ของมโนทัศน์คุ้นเคยไปสู่บริบทที่ไม่คุ้นเคย

== เหตุใด 0 เป็นจำนวนคู่ ==
บทนิยามมาตรฐานของ "[[จำนวนคู่]]" สามารถใช้[[การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์|พิสูจน์]]โดยตรงได้ว่า 0 เป็นคู่ จะเรียกจำนวนว่า "คู่" เมื่อจำนวนนั้นเป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ 2 ตัวอย่างเช่น สาเหตุที่ [[10]] เป็นคู่เพราะเท่ากับ [[5]] × 2 ในทำนองเดียวกัน 0 เป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ 2 กล่าวคือ 0 × 2 ฉะนั้น 0 จึงเป็นคู่<ref>{{harvnb|Penner|1999|p=34}}: [[Lemma (mathematics)|Lemma]] B.2.2, ''The integer 0 is even and is not odd''. แพนเนอร์ใช้สัญลักษณ์คณืตศาสตร์ ∃ [[ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง]] ในการระบุข้อพิสูจน์: "To see that 0 is even, we must prove that {{nowrap|1=∃''k'' (0 = 2''k''),}} and this follows from the equality {{nowrap|1=0 = 2 ⋅ 0}}."</ref>

นอกจากนี้ ยังสามารถอธิบายสาเหตุที่ 0 เป็นคู่ได้โดยไม่ต้องพาดพิงบทนิยามรูปนัย<ref>{{harvtxt|Ball|Lewis|Thames|2008|p=15}} อภิปรายความท้าทายนี้สำหรับครูประถมศึกษา ผู้ต้องการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์แก่ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ แต่นักเรียนไม่ใช้บทนิยามเดียวกัน หรือหากสอนแล้วจะไม่เข้าใจ</ref> คำอธิบายด้านล่างนี้ทำให้ความคิดว่า 0 เป็นจำนวนคู่ในแง่ของมโนทัศน์จำนวนมูลฐานสมเหตุสมผล จากรากฐานเหล่านี้ บุคคลสามารถให้เหตุผลแก่บทนิยามเอง และการใช้บทนิยามต่อ 0 ได้

=== คำอธิบายพื้นฐาน ===
[[ไฟล์:012345Pairs.svg|thumb|alt=On the left, boxes with 0, 2, and 4 white objects in pairs; on the right, 1, 3, and 5 objects, with the unpaired object in red|ช่องที่มี 0 วัตถุจะสังเกตว่าไม่มีวัตถุสีแดงเป็นเศษเหลือ<ref>เทียบกับ {{harvtxt|Lichtenberg|1972|p=535}} Fig. 1</ref>]]
0 เป็นจำนวน และจำนวนมีไว้[[การนับ|นับ]] กำหนดเซตวัตถุเซตหนึ่ง บุคคลใช้จำนวนอธิบายว่ามีวัตถุในเซตนั้นมากน้อยเพียงใด 0 เป็นการนับการไม่มีวัตถุ หรือในแง่รูปนัยมากขึ้น 0 เป็นจำนวนวัตถุใน[[เซตว่าง]] มโนทัศน์ภาวะคู่หรือคี่ใช้สำหรับการจัดกลุ่มวัตถุสองวัตถุ หากวัตถุในเซตสามารถแบ่งได้เป็นกลุ่มละสองเท่ากันโดยไม่มีเศษเหลือ จำนวนวัตถุเป็นคู่ หากมีวัตถุเหลือเป็นเศษ จำนวนวัตถุเป็นคี่ เซตว่างมีกลุ่มละสอง 0 กลุ่ม โดยไม่มีวัตถุใดเหลือจากการจัดกลุ่มดังนี้ ฉะนั้น 0 ก็เป็นคู่ด้วย<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=535–536}} "...numbers answer the question How many? for the set of objects ... zero is the number property of the empty set ... If the elements of each set are marked off in groups of two ... then the number of that set is an even number."</ref> 

สามารถสาธิตความคิดดังกล่าวได้โดยวาดรูปวัตถุเป็นคู่ การพรรณนากลุ่มละสองจำนวน 0 กลุ่มหรือเน้นการไม่มีเศษเหลือทำได้ยาก ฉะนั้นการวาดการจัดกลุ่มอย่างอื่นแล้วนำมาเปรียบเทียบกับศูนย์จึงช่วยได้ ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มห้าวัตถุมีวัตถุสองคู่ ที่สำคัญไปกว่านั้นมีวัตถุเศษเหลือ ฉะนั้น 5 เป็นคี่ ในกลุ่มสี่วัตถุไม่มีวัตถุเศษเหลือ ฉะนั้น 4 เป็นคู่ ในกลุ่มหนึ่งวัตถุไม่มีคู่และมีวัตถุเศษเหลือ ฉะนั้น 1 เป็นคี่ ในกลุ่มศูนย์วัตถุไม่มีเศษเหลือ ฉะนั้น 0 เป็นคู่<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=535–536}} "Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number."</ref>

มีบทนิยามรูปธรรมของภาวะคู่อีกนิยามหนึ่ง คือ ถ้าวัตถุในเซตสามารถจัดเป็นสองกลุ่มเท่ากันได้ แล้วจำนวนวัตถุเป็นคู่ บทนิยามนี้เทียบเท่ากับบทนิยามแรก อีกครั้งหนึ่ง 0 เป็นคู่เพราะเซตว่างสามารถแบ่งได้เป็นสองกลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มมีวัตถุ 0 วัตถุ{{sfn|Dickerson|Pitman|2012|p=191}}

จำนวนยังสามารถแสดงเป็นจุดบน[[เส้นจำนวน]] เมื่อแบ่งจำนวนคี่และคู่แยกจากกัน แบบรูปของจำนวนทั้งสองจะปรากฏชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากรวม[[จำนวนลบ]]ด้วย คือ

[[ไฟล์:EvenOddNumberLine.svg|center|alt=Integers −4 through 10; even numbers are open circles; odd numbers are dots]]

จำนวนคู่และคี่สลับกัน โดยเริ่มจากจำนวนคู่ใด ๆ นับขึ้นหรือลงทีละสองจะเป็นจำนวนคู่อีกจำนวนหนึ่ง และไม่มีเหตุผลให้ต้องนับข้ามเลข 0<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|p=537}}; compare her Fig. 3. "If the even numbers are identified in some special way ... there is no reason at all to omit zero from the pattern."</ref>

เมื่อนำ[[การคูณ]]เข้ามาเกี่ยวข้อง สามารถเข้าสู่ภาวะคู่หรือคี่ได้ในวิธีเป็นรูปนัยมากขึ้นโดยใช้[[นิพจน์ (คณิตศาสตร์)|นิพจน์เลขคณิต]] จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูป (2 × ▢) + 0 หรือ (2 × ▢) + 1 จำนวนในกลุ่มแรกเป็นคู่ และกลุ่มหลังเป็นคี่ ตัวอย่างเช่น 1 เป็นคี่เพราะ 1 = (2 × 0) + 1 และ 0 เป็นคู่เพราะ 0 = (2 × 0) + 0 การสร้างตารางข้อเท็จจริงเหล่านี้จะยิ่งเสริมภาพเส้นจำนวนข้างต้น<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=537–538}} "At a more advanced level ... numbers expressed as {{nowrap|(2 × ▢) + 0}} are even numbers ... zero fits nicely into this pattern."</ref>

=== การนิยามภาวะคู่หรือคี่ ===
นิยามแน่ชัดของศัพท์คณิตศาสตร์อย่าง "คู่" หมายถึง "พหุคูณจำนวนเต็มของ 2" สุดท้ายเป็นสัญนิยม ต่างจาก "คู่" ศัพท์คณิตศาสตร์บางคำเจตนาสร้างขึ้นเพื่อตัดกรณีที่ชัดหรือ[[ภาวะลดรูป|ลดรูป]] ตัวอย่างที่ขึ้นชื่อได้แก่[[จำนวนเฉพาะ]] ก่อนคริสต์ศตวรรษที่ 20 นิยามของจำนวนเฉพาะยังขัดกัน และนักคณิตศาสตร์คนสำคัญ เช่น กอลด์บัค, ลัมแบร์ท, [[อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์|เลอฌ็องดร์]], เคลีย์, โครเนคเคอร์ เป็นต้น เขียนว่า [[1]] เป็นจำนวนเฉพาะ{{sfn|Caldwell|Xiong|2012|pp=5–6}} นิยามสมัยใหม่ของ "จำนวนเฉพาะ" คือ "จำนวนเต็มบวกที่มี 2 [[ตัวประกอบ]]" ฉะนั้น 1 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ สามารถให้เหตุผลนิยามนี้โดยสังเกตว่านิยามนี้สอดคล้องกับทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ว่าด้วยจำนวนเฉพาะมากกว่าโดยสภาพ ตัวอย่างเช่น [[ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต]]สามารถระบุได้ง่ายขึ้นเมื่อไม่พิจารณา 1 เป็นจำนวนเฉพาะ<ref>{{harvnb|Gowers|2002|p=118}} "The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes." For a more detailed discussion, see {{harvtxt|Caldwell|Xiong|2012}}.</ref>

ในทำนองเดียวกัน เป็นไปได้ท่จะนิยามใหม่ให้คำว่า "คู่" ไม่รวม 0 ด้วย ทว่า ในกรณีนั้น นิยามใหม่จะทำให้การระบุทฤษฎีบทว่าด้วยจำนวนคู่ยากขึ้น ผลสามารถเห็นได้ทันทีในกฎเลขคณิตเกี่ยวกับจำนวนคู่และคี่<ref name="Partee">{{harvnb|Partee|1978|p=xxi}}</ref> โดยกฎที่เกี่ยวข้องมากที่สุดว่าด้วยการบก การลบ และการคูณ คือ
:คู่ ± คู่ = คู่
:คี่ ± คี่ = คู่
:คู่ × จำนวนเต็ม = คู่

เมื่อแทรกค่าที่เหมาะสมลงในฝั่งซ้ายมือของกฎเหล่านี้ จะได้ 0 ในฝั่งขวามือ 
:2 − 2 = 0
:−3 + 3 = 0
:4 × 0 = 0

ดังนั้น กฎข้างต้นจะไม่ถูกต้องหาก 0 ไม่เป็นคู่<ref name="Partee" /> อย่างดีที่สุดกฎเหล่านี้ก็ต้องปรับเปลี่ยนใหม่ ตัวอย่างเช่น คู่มือการศึกษาทดสอบหนึ่งประเมินว่าจำนวนคู่ว่ามีลักษณะเป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ 2 แต่ 0 "ไม่เป็นทั้งคู่หรือคี่"<ref name="MarkAlanStewart" /> กฎของคู่มือนี้สำหรับจำนวนคู่และคี่จึงมีข้อยกเว้นดังนี้
:คู่ ± คู่ = คู่ '''(หรือ 0)'''
:คี่ ± คี่ = คู่ '''(หรือ 0)'''
:คู่ × จำนวนเต็ม '''(ที่ไม่เป็น 0)''' = คู่<ref name="MarkAlanStewart">{{harvnb|Stewart|2001|p=54}} กำหนดกฎไว้ดังนี้ แต่ไม่ได้ยกมาคำต่อคำ</ref>

การสร้างข้อยกเว้นสำหรับ 0 ในนิยามของจำนวนคู่บังคับให้บุคคลต้องสร้างข้อยกเว้นในกฎว่าด้วยจำนวนคู่ จากอีกมุมมองหนึ่ง เมื่อนำกฎของจำนวนคู่บวกออกไปแล้วกำหนดให้กฎเหล่านั้นยังใช้ได้สำหรับจำนวนเต็มบังคับให้มีนิยามปกติและภาวะคู่ของ 0<ref name="Partee" />

== บริบททางคณิตศาสตร์ ==
ผลลัพธ์นับไม่ถ้วนใน[[ทฤษฎีจำนวน]]ยกทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตและคุณสมบัติ[[พีชคณิต]]ของจำนวนคู่ ฉะนั้นทางเลือกข้างต้นจึงมีผลกระทบกว้างขวาง ตัวอย่างเช่น ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนบวกมีการแยกตัวประกอบเฉพาะตัว หมายความว่า บุคคลสามารถระบุว่าจำนวนนั้นมีจำนวนตัวประกอบเฉพาะจำนวนคู่หรือคี่ เนื่องจาก 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือมีตัวประกอบเฉพาะ จึงเป็นผลลัพธ์ของจำนวนเฉพาะแตกต่างกัน 0 จำนวน ส่วน 0 เป็นจำนวนคู่ 1 จึงมีจำนวนตัวประกอบเฉพาะแตกต่างกันเป็นคู่ ดังนี้ส่อความว่า[[ฟังก์ชันเมอบีอุส]]ได้ค่า {{nowrap|1=μ(1) = 1}} ซึ่งจำเป็นสำหรับการเป็น[[ฟังก์ชันเชิงการคูณ]] และ[[Möbius inversion formula|สูตรผกผันเมอบีอุส]]ให้ใช้ได้<ref>{{harvnb|Devlin|1985|pp=30–33}}</ref>

=== ไม่เป็นคี่ ===
จำนวน {{mvar|n}} เป็นคี่เมื่อจำนวนเต็ม {{mvar|k}} โดยที่ {{math|1=''n'' = 2''k'' + 1}} วิธีหนึ่งในการพิสูจน์ว่า 0 ไม่เป็นคี่คือ[[การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง|ใช้ข้อขัดแย้ง]] คือ ถ้า {{math|1=0 = 2''k'' + 1}} แล้ว {{math|1=''k'' = −1/2}} ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็ม{{sfn|Penner|1999|p=34}} เนื่องจาก 0 ไม่ใช่คี่ หากพิสูจน์แล้วจำนวนที่ยังไม่ทราบแล้วว่าเป็นคี่ จำนวนนั้นจะเป็น 0 ไม่ได้ ข้อสังเกตที่ดูเล็กน้อยนี้สามารถให้ข้อพิสูจน์ที่สะดวก และเปิดเผยข้อพิสูจน์ซึ่งอธิบายว่าเหตุใดจำนวนดังกล่าวจึงไม่เป็น 0

ผลลัพธ์คลาสสิกของทฤษฎีกราฟระบุว่า[[กราฟ (คณิตศาสตร์)|กราฟ]]อันดับคี่ (คือ มี[[จุดยอด]]จำนวนคี่) จะมีจุดยอดที่มี[[ระดับขั้น]]คู่อย่างน้อยหนึ่งจุดยอดเสมอ ([[ประพจน์]]นี้ต้องให้ 0 เป็นคู่ เพราะ[[กราฟว่าง]]มีระดับขั้นคู่ และจุดยอดเอกเทศมีระดับขั้นคู่)<ref name=Berlinghoff>{{harvnb|Berlinghoff|Grant|Skrien|2001}} For isolated vertices see p. 149; for groups see p. 311.</ref> ในการพิสูจน์ประพจน์นี้ แท้จริงแล้วการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เข้มกว่าจะง่ายกว่า คือ กราฟอันดับคี่ใด ๆ มีจำนวนจุดยอดระดับขั้นคู่เป็นจำนวนคี่ ลักษณะของจำนวนคี่นี้อธิบายโดยผลลัพธ์ทั่วไปกว่า ที่เรียก [[บทตั้งการจับมือ]] คือ กราฟใด ๆ มีจำนวนจุดยอดระดับขั้นคี่เป็นคู่<ref>{{harvnb|Lovász|Pelikán|Vesztergombi|2003|pp=127–128}}</ref> สุดท้าย จำนวนจุดยอดคี่เป็นคู่นั้นอธิบายได้จากสูตรผลรวมระดับขั้นโดยสภาพ

[[Sperner's lemma|บทตั้งชแปร์เนอร์]]เป็นการนำยุทธศาสตร์เดียวกันไปใช้อย่างก้าวหน้าขึ้น บทตั้งนี้ระบุว่า [[การระบายสีกราฟ|การระบายสี]]บางชนิดบน[[Triangulation (geometry)|โครงข่ายสามเหลี่ยม]]ของ[[ซิมเพล็กซ์]]มีสับซิมเพล็กซ์หนึ่งที่มีทุกสี แทนที่จะสร้างสับซิมเพล็กซ์ดังกล่าวโดยตรง การพิสูจน์ว่ามีจำนวนคี่ของสับซิมเพล็กซ์ดังกล่าวผ่านการให้เหตุผลอุปนัยจะง่ายกว่า<ref>{{harvnb|Starr|1997|pp=58–62}}</ref> ประพจน์ที่เข้มกว่าของบทตั้งนี้อธิบายว่าเหตุใดจำนวนนี้จึงเป็นคี่ เพราะโดยสภาพซิมเพล็กซ์แยกได้เป็น {{nowrap|(''n'' + 1) + ''n''}} เมื่อพิจารณาการกำหนดทิศทางที่เป็นไปได้สองอย่างของซิมเพล็กซ์หนึ่ง ๆ<ref>{{harvnb|Border|1985|pp=23–25}}</ref>

=== การสลับคี่-คู่ ===
[[ไฟล์:RecursiveEven.svg|right|thumb|alt=0->1->2->3->4->5->6->... in alternating colors|บทนิยามเวียนเกิดของภาวะคู่หรือคี่ของจำนวนธรรมชาติ]]
ข้อเท็จจริงที่ว่า 0 เป็นคู่ ร่วมกับข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนคี่และคู่สลับกันเพียงพอที่จะระบุภาวะคู่หรือคี่ของจำนวนธรรมชาติอื่นทุกจำนวน ความคิดนี้สามารถสร้างเป็นบทนิยามเวียนเกิดของเซ็ตจำนวนธรรมชาติคู่ได้ คือ
* 0 เป็นคู่
* (''n'' + 1) เป็นคู่เฉพาะเมื่อ ''n'' ไม่เป็นคู่

นิยามนี้มีข้อได้เปรียบทางเชิงแนวคิดที่อาศัยเฉพาะรากฐานเล็กน้อยของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น คือ การมี 0 และ[[ตัวตามหลัง]] ฉะนั้น จึงเป็นประโยชน์สำหรับระบบตรรกะคอมพิวเตอร์อย่างกรอบตรรกะ (LF) และโปรแกรมพิสูจน์ทฤษฎีบทอีซาแบล (Isabelle theorem prover)<ref>{{harvnb|Lorentz|1994|pp=5–6}}; {{harvnb|Lovas|Pfenning|2008|p=115}}; {{harvnb|Nipkow|Paulson|Wenzel|2002|p=127}}</ref> ด้วยนิยามนี้ สภาพคู่ของ 0 จึงไม่ใช่ทฤษฎีบทแต่เป็น[[สัจพจน์]] ที่จริง "0 เป็นจำนวนคู่" อาจตีความได้ว่าเป็นสัจพจน์เปอาโน (Peano axiom) ซึ่งจำนวนธรรมชาติคู่เป็นแบบจำลอง<ref>{{harvnb|Bunch|1982|p=165}}</ref> บทสร้างคล้ายกันขยายนิยามของสภาพคู่หรือคี่ให้[[จำนวนเชิงอันดับที่]]อนันต์ โดยทุก[[limit ordinal|อันดับลิมิต]]เป็นคู่รวมทั้ง 0 และตัวตามหลังของอันดับที่คู่เป็นคี่<ref name="Salzmann">{{harvnb|Salzmann|Grundhöfer|Hähl|Löwen|2007|p=168}}</ref>

[[ไฟล์:RecursiveEvenPolygon.svg|left|thumb|alt=Non-convex polygon penetrated by an arrow, labeled 0 on the outside, 1 on the inside, 2 on the outside, etc. |การทดสอบจุดในรูปหลายเหลี่ยม]]
การทดสอบคลาสสิก[[จุดในรูปหลายเหลี่ยม]]จากเรขาคณิตคณนาใช้ความคิดข้างต้น ในการระบุว่าจุดหนึ่งอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมหรือไม่ บุคคลลากรังสีจากอนันต์มายังจุดและนับจำนวนครั้งที่รังสีนั้นผ่านขอบของรูปหลายเหลี่ยม จำนวนครั้งที่ข้ามจะเป็นคู่ก็ต่อเมื่อจุดอยู่นอกรูปหลายเหลี่ยม [[ขั้นตอนวิธี]]ดังกล่าวใช้ได้เพราะหากรังสีไม่ข้ามรูปหลายเหลี่ยมเลย จำนวนครั้งที่ข้ามก็จะเป็น 0 ซึ่งเป็นคู่ และจุดอยู่นอกรูปหลายเหลี่ยม ทุกครั้งที่รังสีข้ามรูปหลายเหลี่ยม จำนวนครั้งที่ข้ามจะสลับระหว่างคู่กับคี่ และจุดที่อยู่ตรงปลายจะสลับระหว่างนอกกับในรูป<ref>{{harvnb|Wise|2002|pp=66–67}}</ref>

[[ไฟล์:RecursiveEvenBipartite.svg|right|thumb|alt=A graph with 9 vertices, alternating colors, labeled by distance from the vertex on the left |การสร้างกราฟสองส่วน]]
ในทฤษฎีกราฟ [[กราฟสองส่วน]]เป็นกราฟที่จุดยอดแบ่งออกเป็นสองสี่ โดยที่จุดยอดที่อยู่ติดกันมีสีต่างกัน หาก[[ความต่อเนื่อง (ทฤษฎีกราฟ)|กราฟต่อเนื่อง]]ไม่มี[[วง]]คี่จะสามารถสร้างการแบ่งเป็นสองส่วนได้โดยเลือกจุดยอดฐาน ''v'' และระบายสีทุกจุดยอดด้วยสีดำหรือขาว โดยขึ้นอยู่กับ[[ระยะทาง (ทฤษฎีกราฟ)|ระยะทาง]]จาก ''v'' เป็นคู่หรือคี่ เนื่องจากระยะทางระหว่าง ''v'' กับตัวมันเองเป็น 0 และ 0 เป็นคู่ จุดยอดฐานจึงระบายสีต่างจากจุดยอดที่อยู่ติดกัน ซึ่งมีระยะทาง 1<ref>{{harvnb|Anderson|2001|p=53}}; {{harvnb|Hartsfield|Ringel|2003|p=28}}</ref>

=== แบบรูปพีชคณิต ===
[[ไฟล์:EvenIntegersSubgroup.svg|left|thumb|alt=Integers −4 through +4 arranged in a corkscrew, with a straight line running through the evens |2'''Z''' (สีน้ำเงิน) เป็นกรุปย่อยของ '''Z''']]
ใน[[พีชคณิตนามธรรม]] จำนวนเต็มคู่ก่อโครงสร้างเชิงพีชคณิตต่าง ๆ ซึ่งต้องอาศัยการมีเลข 0 ข้อเท็จจริงที่ว่า[[เอกลักษณ์การบวก]] (0) เป็นคู่ ร่วมกับผลรวมและ[[ตัวผกผันการบวก]]ของจำนวนคู่เป็นคู่และ[[สมบัติการเปลี่ยนหมู่]]ของการบวก หมายความว่า จำนวนเต็มบวกจัดเป็น[[กรุป (คณิตศาสตร์)|กรุป]]หนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น กรุปจำนวนเต็มคู่ภายใต้การบวกเป็น[[กรุปย่อย]]ของกรุปจำนวนเต็มทั้งหมด นี่เป็นตัวอย่างพื้นฐานของมโนทัศน์กรุปย่อย<ref name=Berlinghoff /> การสังเกตก่อนหน้านี้ว่า "คู่ − คู่ = คู่" บังคับให้ 0 เป็นคู่เป็นส่วนหนึ่งของแบบรูปทั่วไป คือ สับเซตที่ไม่ว่างใด ๆ ของกรุปการบวกซึ่ง[[สมบัติการปิด|มีสมบัติปิด]]ภายใต้การลบจะต้องเป็นสับกรุป และโดยเฉพาะอย่างยิ่งต้องมี[[สมาชิกเอกลักษณ์]]<ref>{{harvnb|Dummit|Foote|1999|p=48}}</ref>

เนื่องจากจำนวนเต็มคู่เป็นกรุปย่อยของจำนวนเต็ม จึงแบ่งกั้นจำนวนเต็มออกเป็น[[เซตร่วมเกี่ยว]] อาจอธิบายเซตร่วมเกี่ยวได้เป็น[[ชั้นสมมูล]]ของ[[ความสัมพันธ์สมมูล]]ดังนี้ {{nowrap|''x'' ~ ''y''}} ถ้า {{nowrap|(''x'' − ''y'')}} เป็นคู่ ในที่นี้ ภาวะคู่ของ 0 สำแดงออกโดยตรงเป็น[[ความสัมพันธ์สะท้อน]]ของ[[ความสัมพันธ์ทวิภาค]] ~<ref>{{harvnb|Andrews|1990|p=100}}</ref> มีเซตร่วมเกี่ยวเพียง 2 เซตในกรุปย่อยนี้ คือ จำนวนคู่และคี่ ฉะนั้นจึงมีดัชนี 2

กลับกัน [[กรุปสลับ]]เป็นกรุปย่อยดัชนี 2 ในกรุปสมมาตร ''n'' อักษร สมาชิกของกรุปสลับ เรียก การเรียงสับเปลี่ยนคู่ (even permutation) เป็นผลคูณของจำนวนย้ายข้างคู่ [[ฟังก์ชันเอกลักษณ์|การส่งเอกลักษณ์]] (identity map) [[ผลคูณว่าง]]ของการไม่ย้ายข้าง เป็นการเรียงสับเปลี่ยนคู่เพราะ 0 เป็นคู่ และเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุป<ref>{{harvnb|Tabachnikova|Smith|2000|p=99}}; {{harvnb|Anderson|Feil|2005|pp=437–438}}</ref>

กฎ "คู่ × จำนวนเต็ม = คู่" หมายความว่า จำนวนคู่ก่อไอดีลใน[[ริง (คณิตศาสตร์)|ริง]]ของจำนวนเต็ม และความสัมพันธ์สมมูลข้างต้นสามารถอธิบายได้เป็น[[เลขคณิตมอดุลาร์|สมมูลมอดุโลไอดีลนี้]] โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนเต็มคู่เป็นจำนวนเต็ม ''k'' โดยที่ {{nowrap|''k'' ≡ 0 (mod 2)}} การประดิษฐ์ดังกล่าวมีประโยชน์สำหรับการสืบสวนรากจำนวนเต็มของ[[พหุนาม]]<ref>{{harvnb|Barbeau|2003|p=98}}</ref>

=== อันดับ 2 เอดิก ===
มีการรับรู้ทำนองว่าพหุคูณบางจำนวนของ 2 เป็น "คู่มากกว่า" จำนวนอื่น พหุคูณของ 4 เรียก คู่คู่ (doubly even) เนื่องจากสามารถหารด้วย 2 ได้สองครั้ง ไม่เพียงแต่ 0 หารด้วย 4 ลงตัวเท่านั้น แต่ยังมีสมบัติพิเศษที่สามารถหารด้วยกำลังของ 2 ทุกจำนวนลงตัว ฉะนั้นจึงมีความเป็น "ภาวะคู่" ยิ่งกว่าจำนวนอื่น<ref name="arnold-wong">{{harvnb|Arnold|1919|p=21}} "By the same test zero surpasses all numbers in 'evenness.'"; {{harvnb|Wong|1997|p=479}} "Thus, the integer {{nowrap|1=''b''000⋯000 = 0}} is the most 'even.'</ref>

ผลลัพธ์หนึ่งของข้อเท็จจริงนี้ปรากฏในอันดับบิตผันกลับ (bit-reversed ordering) ของประเภทข้อมูลจำนวนเต็มที่ขั้นตอนวิธีคอมพิวเตอร์บางอย่างใช้ เช่น [[การแปลงฟูรีเยอย่างเร็ว]][[Cooley–Tukey FFT algorithm|คูลีย์–ทูคีย์]] (Cooley–Tukey) การเรียงอันดับนี้มีสมบัติว่า ยิ่งเกิดตัวเลข 1 ตัวแรกในการกระจายฐานสองของจำนวนห่างไปทางซ้ายมากเพียงใด หรือยิ่งหารด้วย 2 ได้มากครั้งเท่าใด จะยิ่งปรากฏเร็วขึ้น การผันกลับบิตของ 0 ยังเป็น 0 คือ สามารถหารด้วย 2 ได้กี่ครั้งก็ได้ และการกระจายฐานสองของ 0 ไม่มีเลข 1 เลย ฉะนั้นจึงมาก่อนเสมอ<ref>{{harvnb|Wong|1997|p=479}}</ref>

แม้ 0 หารด้วย 2 ได้มากครั้งกว่าจำนวนอื่นใด แต่ก็บอกปริมาณว่าหารได้กี่ครั้งไม่ได้อย่างตรงไปตรงมา สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ ที่ไม่เป็น 0 บุคคลสามารถนิยามอันดับ 2 เอดิกของ n ว่าเป็นจำนวนครั้งที่ n หารด้วย 2 ได้ลงตัว คำอธิบายดัวกล่าวใช้กับ 0 ไม่ได้ เพราะไม่ว่าจะหารด้วย 2 กี่ครั้งก็ยังสามารถหารด้วย 2 ได้อีก ฉะนั้น สัญนิยมปกติจึงตั้งอันดับ 2 ของ 0 ให้เป็น[[อนันต์]]เป็นกรณีพิเศษ<ref>{{harvnb|Gouvêa|1997|p=25}} Of a general prime ''p'': "The reasoning here is that we can certainly divide 0 by ''p'', and the answer is 0, which we can divide by ''p'', and the answer is 0, which we can divide by ''p''…" (ellipsis in original)</ref> สัญนิยมนี้มิได้มีเฉพาะอันดับ 2 แต่เป็นสัจพจน์หนึ่งของการกำหนดค่าการบวกในพีชคณิชชั้นสูง<ref>{{harvnb|Krantz|2001|p=4}}</ref>

กำลังของ 2 ได้แก่ 1, 2, 4, 8, ... เป็น[[ลำดับ]]เชิงเดียวของจำนวนอันดับ 2 ที่เพิ่มขึ้น ในจำนวน 2 เอดิก ลำดับดังกล่าวแท้จริงแล้ว[[ลิมิตของลำดับ|ลู่เข้า]] 0<ref>{{harvnb|Salzmann|Grundhöfer|Hähl|Löwen|2007|p=224}}</ref>

== การศึกษา ==
[[ไฟล์:FrobisherZeroParity.svg|thumb|upright=1.8|alt=Bar chart; see description in body text|ร้อยละของคำตอบตามเวลา<ref name="Frobisher41">{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}</ref>]]
เรื่องภาวะคู่หรือคี่ของ 0 มักมีการสอนในระดับ[[ประถมศึกษา]]สองหรือสามปีแรก ซึ่งเป็นขณะที่มีการนำเสนอและเรียนรู้มโนทัศน์จำนวนคู่และคี่<ref>This is the timeframe in United States, Canada, Great Britain, Australia, and Israel; see {{harvtxt|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007|p=85}}</ref>

=== ความรู้ของนักเรียน ===

แผนภาพด้านขวามือ<ref name="Frobisher41" /> แสดงความเชื่อของเด็กเกี่ยวกับภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เมื่อพวกเขาผ่านจากปี 1 ถึงปี 6 ของระบบการศึกษาอังกฤษ ข้อมูลนี้ได้จากเล็น โฟรบิเชอร์ ซึ่งทำการสำรวจเด็กนักเรียนชาวอังกฤษ โฟรบิเชอร์สนใจว่าความรู้ภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดตัวเดียวเปลี่ยนเป็นความรู้ว่าด้วยภาวะคู่หรือคี่เลขโดดหลายตัวอย่างไร และ 0 มีส่วนสำคัญในผลลัพธ์ดังกล่าว

ในการสำรวจขั้นต้นเด็กนักเรียน 7 ขวบเกือบ 400 คน มี 45% เลือกตอบคู่เมื่อถูกถามเรื่องภาวะคู่หรือคี่ของ 0<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|pp=37, 40, 42}}; results are from the survey conducted in the mid-[[Academic term#United Kingdom|summer term]] of 1992.</ref> การสำรวจติดตามให้คำตอบเพิ่มขึ้น คือ ไม่ใช่ทั้งคู่และคี่ เป็นทั้งคู่และคี่และไม่ทราบ ครั้งนี้จำนวนเด็กในพิสัยอายุเดียวกันที่บอกว่า 0 เป็นคู่ลดลงเหลือ 32%<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}} "The percentage of Year 2 children deciding that zero is an even number is much lower than in the previous study, 32 per cent as opposed to 45 per cent"</ref> ความสำเร็จในการตัดสินว่า 0 เป็นคู่นั้นทีแรกเพิ่มขึ้นแล้วคงที่อยู่ประมาณ 50% ในปีที่ 3 ถึงปีที่ 6<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}} "The success in deciding that zero is an even number did not continue to rise with age, with approximately one in two children in each of Years 2 to 6 putting a tick in the 'evens' box ..."</ref> เมื่อเทียบกับการระบุภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดตัวเดียวซึ่งเป็นงานที่ง่ายที่สุด ความสำเร็จอยู่ที่ประมาณ 85%<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|pp=40–42, 47}}; these results are from the February 1999 study, including 481 children, from three schools at a variety of attainment levels.</ref>

ในการสัมภาษณ์ โฟรบิเชอร์ค้นหาการให้เหตุผลของนักเรียน นักเรียนปี 5 คนหนึ่งตัดสินว่า 0 เป็นคู่เพราะพบใน[[สูตรคูณ]]แม่ 2 นักเรียนปี 4 สองคนพบว่า 0 สามารถแบ่งออกได้เป็นสองส่วนเท่ากัน นักเรียนปี 4 อีกคนหนึ่งให้เหตุผลว่า "1 เป็นคี่และถ้าฉันนับถอยหลังมา มันจะเป็นคู่"<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, attributed to "Jonathan"</ref> การสัมภาษณ์ยังเปิดเผยความเข้าใจผิดเบื้องหลังคำตอบผิดด้วย นักเรียนปี 2 คนหนึ่ง "ค่อนข้างเชื่อมั่น" ว่า 0 เป็นคี่ บนเหตุผลว่า "มันเป็นเลขแรกที่คุณนับ"<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, attributed to "Joseph"</ref> นักเรียนปี 4 คนหนึ่งเรียก 0 ว่า "ไม่มี" และคิดว่าไม่เป็นทั้งคี่หรือคู่ เพราะ "มันไม่ใช่จำนวน"<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, attributed to "Richard"</ref> ในอีกการศึกษาหนึ่ง แอนนี คีธสังเกตชั้นเรียนนักเรียนปี 2 จำนวน 15 คนซึ่งชักจูงกันและกันว่า 0 เป็นจำนวนคู่โดยอาศัยการสลับคู่-คี่และความเป็นไปได้ในการแบ่งกลุ่มวัตถุ 0 วัตถุออกเป็นสองกลุ่มเท่ากัน<ref>{{harvnb|Keith|2006|pp=35–68}} "There was little disagreement on the idea of zero being an even number. The students convinced the few who were not sure with two arguments. The first argument was that numbers go in a pattern ...odd, even, odd, even, odd, even... and since two is even and one is odd then the number before one, that is not a fraction, would be zero. So zero would need to be even. The second argument was that if a person has zero things and they put them into two equal groups then there would be zero in each group. The two groups would have the same amount, zero"</ref>

มีการศึกษาเชิงลึกกว่าโดยเอสเทอร์ เลเวนสัน, เป็สซีอา ซามีร์ (Pessia Tsamir) และดีนา ตีร็อช (Dina Tirosh) ซึ่งสัมภาษณ์นักเรียนเกรด 6 คู่หนึ่งที่เรียนดีในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ของพวกเขา นักเรียนคนหนึ่งนิยมคำอธิบายนิรนัยของการอ้างทางคณิตศาสตร์ ขณะที่อีกคนนิยมตัวอย่างที่จับต้องได้ ทีแรกนักเรียนทั้งสองคิดว่า 0 ไม่เป็นทั้งคู่หรือคี่ด้วยเหตุผลต่างกัน เลเวนสันและคณะแสดงว่าเหตุใดการให้เหตุผลของนักเรียนจึงสะท้อนมโนทัศน์ของ 0 และการหาร<ref>{{harvnb|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007|pp=83–95}}</ref>

{| class="wikitable" style="margin:0.5em 0 1.3em 1.4em; float:right"
!คำอ้างของนักเรียน<ref name=BallFig/>
|-
|{{Unbulleted list
|"''0 ไม่เป็นทั้งคู่หรือคี่''"
|"''0 อาจเป็นคู่ก็ได้''"
|"''0 ไม่เป็นคี่''"
|"''0 ต้องเป็นคู่''"
|"''0 ไม่เป็นจำนวนคู่''"
|"''0 จะต้องเป็นคู่เสมอ''"
|"''0 จะไม่เป็นจำนวนคู่เสมอ''"
|"''0 เป็นคู่''"
|"''0 พิเศษ''"}}
|}
เดโบราห์ โลเวนเบิร์ก บอลล์วิเคราะห์ความคิดของนักเรียนชั้นเกรด 3 เกี่ยวกับจำนวนคู่และคี่และ 0 ซึ่งพวกเขาเพิ่งอภิปรายกับกลุ่มนักเรียนเกรด 4 นักเรียนอภิรายภาวะคู่หรือคี่ของ 0 กฎสำหรับจำนวนคู่และวิธีทำคณิตศาสตร์ การอ้างเกี่ยวกับ 0 มีหลายแบบ ดังที่ปรากฏในรายการขวามือ<ref name=BallFig>{{harvnb|Ball|Lewis|Thames|2008|p=27}}, Figure 1.5 "Mathematical claims about zero."</ref> บอลล์และผู้ประพันธ์ร่วมของเธอแย้งว่าตอนนี้แสดงให้เห็นว่านักเรียนสามารถ "ทำคณิตศาสตร์ในโรงเรียน" ได้ ตรงข้ามกับการลดทอนวิชาตามปกติเป็นการหาคำตอบของแบบฝึกหัดดุจเครื่องจักร{{sfn|Ball|Lewis|Thames|2008|p=16}}

แก่นหนึ่งในเอกสารข้อมูลวิจัยคือความตึงเครียดระหว่าง[[ภาพมโนทัศน์และนิยามมโนทัศน์|ภาพมโนทัศน์กับนิยามมโนทัศน์]]ของนักเรียน<ref>{{harvnb|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007}}; {{harvnb|Dickerson|Pitman|2012}}</ref> นักเรียนเกรด 6 ในการศึกษาของเลเวนสันและคณะทั้งนิยามจำนวนคู่ว่าเป็นพหุคูณของ 2 หรือจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว แต่ทีแรกไม่สามารถใช้นิยามนี้กับ 0 ได้ เพราะพวกเขาไม่แน่ใจว่าการคูณหรือหาร 0 ด้วย 2 ทำอย่างไร สุดท้ายผู้สัมภาษณ์นำพวกเขาให้สรุปว่า 0 เป็นคู่ โดยนักเรียนใช้วิธีต่าง ๆ ในการมาสู่ข้อสรุปนี้ โดยการวาดบนภาพ นิยาม คำอธิบายจับต้องได้และคำอธิบายนามธรรมผสมกัน ในอีกการศึกษาหนึ่ง เดวิด ดิกเคอร์สัน และเดเมียน พิตแมนตรวจสอบการใช้นิยามของนักศึกษาปริญญาตรีเอกคณิตศาสตร์จำนวน 5 คน พวกเขาพบว่านักศึกษาเหล่านั้นส่วนใหญ่สามารถใช้นิยามของ "คู่" กับ 0 ได้ แต่พวกเขายังไม่ค่อยเชื่อตามการให้เหตุผลนี้ เนื่องจากขัดกับภาพมโนทัศน์ของพวกเขา{{sfn|Dickerson|Pitman|2012}}

=== ความรู้ของครู ===
คณะนักวิจัยการศึกษาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยมิชิแกนรวมโจทย์จริงหรือเท็จ "0 เป็นจำนวนคู่" ในฐานข้อมูลคำถามกว่า 250 คำถามซึ่งออกแบบมาเพื่อวัดความรู้เนื้อหาของครู สำหรับผู้วิจัย "ความรู้ทั่วไป ... ซึ่งผู้ใหญ่ที่มีการศึกษาดีทุกคนพึงมี" และ "เป็นกลางทางอุดมการณ์" ตรงที่ว่าคำตอบไม่แตกต่างกันระหว่างคณิตศาสตร์ดั้งเดิมกับคณิตศาสตร์ปฏิรูป ในการวิจัยครูประถมศึกษาจำนวน 700 คนระหว่างปี 2543–2547 ในสหรัฐ สมรรถนะโดยรวมของคำถามเหล่านี้สามารถพยากรณ์พัฒนาการผลทดสอบมาตรฐานของนักเรียนได้อย่างมีนัยสำคัญหลังเข้าเรียนในชั้นเรียนของครูคนนั้น ๆ<ref>{{harvnb|Ball|Hill|Bass|2005|pp=14–16}}</ref> ในการวิจัยเชิงลึกขึ้นในปี 2551 ผู้วิจัยพบโรงเรียนแห่งหนึ่งท่ครูทุกคนคิดว่า 0 ไม่เป็นคี่และคู่ ซึ่งรวมถึงครูผู้หนึ่งที่เป็นแบบอย่างในทุกกรณี ศึกษานิเทศก์คณิตศาสตร์ผู้หนึ่งในโรงเรียนนั้นเป็นผู้เผยแพร่ความเข้าใจผิดดังกล่าว{{sfn|Hill|Blunk|Charalambous|Lewis|2008|pp=446–447}}

ไม่แน่ชัดว่าครูมากน้อยเพียงใดมีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับ 0 คณะนักวิจัยจากมหาวิทยาลัยมิชิแกนไม่ได้ตีพิมพ์เผยแพร่ข้อมูลสำหรับคำถามแต่ละคำถาม เบตตี ลิชเทนเบิร์ก (Betty Lichtenberg) ผู้ช่วยศาสตราจารย์การศึกษาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยเซาท์ฟลอริดา ในการศึกษาปี 2515 รายงานว่าเมื่อกลุ่มครูโรงเรียนประถมตามแผนได้รับการทดสอบจริงหรือเท็จซึ่งมีคำถามหนึ่งว่า "0 เป็นจำนวนคู่" ครูเหล่านั้นคิดว่าเป็น "คำถามลวง" โดยสองในสามตอบ "เท็จ"<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|p=535}}</ref>

=== การส่อความสำหรับการสอน ===
ในทางคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ว่า 0 เป็นคู่นั้นเป็นปัญหาการใช้บทนิยามที่เรียบง่าย แต่จำเป็นต้องมีคำอธิบายเพิ่มในบริบทของการศึกษา ประเด็นหนึ่งว่าด้วยรากฐานของการพิสูจน์ คือ นิยามของ "คู่" ว่าเป็น "พหุคูณจำนวนเต็มของ 2" นั้นไม่เหมาะสมเสมอไป นักเรียนประถมศึกษาปีที่ 1 อาจยังมิได้เรียนความหมายของคำว่า "จำนวนเต็ม" หรือ "พหุคูณ" ซึ่งไม่ต้องกล่าวถึงการคูณด้วย 0<ref>{{harvnb|Ball|Lewis|Thames|2008|p=15}}. See also Ball's keynote for further discussion of appropriate definitions.</ref> นอกจากนี้ การระบุนิยามของภาวะคู่หรือคี่สำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถดูเหมือนเป็นทางลัดมโนทัศน์ตามอำเภอใจหากจำนวนคู่ที่สืบสวนจนถึงขณะนั้นมีเฉพาะจำนวนบวกเท่านั้น ประเด็นนี้สามารถช่วยให้ตระหนักว่ามโนทัศน์จำนวนขยายจากจำนวนเต็มบวกให้รวมศูนย์และจำนวนเต็มลบฉันใด คุณสมบัติของจำนวนอย่างภาวะคู่หรือคี่ก็ขยายในทางที่ไม่เล็กน้อยฉันนั้น<ref>As concluded by {{harvtxt|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007|p=93}}, referencing {{harvtxt|Freudenthal|1983|p=460}}</ref>

== ประชานจำนวน ==
[[ไฟล์:Nuerk figure 4 bare.svg|thumb|alt=Numbers 0–8, repeated twice, in a complex arrangement; the 0s are on top, separated by a dotted line|การวิเคราะห์ข้อมูลทดลองทางสถิติ แสดงการแบ่งของ 0 ในการวิเคราะห์ที่ว่างเล็กสุดนี้ มีเพียงการเกาะกลุ่มของข้อมูลเท่านั้นที่มีความหมาย ส่วนแกนคงค่า<ref>{{harvtxt|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|p=851}}: "It can also be seen that zero strongly differs from all other numbers regardless of whether it is responded to with the left or the right hand. (See the line that separates zero from the other numbers.)"</ref>]]

ผู้ใหญ่ที่เชื่อว่า 0 เป็นคู่นั้นก็ยังไม่คุ้นเคยกับการคิดว่ามันเป็นคู่ จนสามารถทำให้การตอบสนองช้าลงในการทดลองเวลาปฏิกิริยาจนวัดได้ สตานิสลัส เดอแอน (Stanislas Dehaene) ผู้บุกเบิกในสาขาประชานจำนวน นำการทดลองดังกล่าวหลายครั้งในต้นคริสต์ทศวรรษ 1990 มีการฉาย[[ระบบเลข|เลข]]หรือคำเลข (number word) บน[[จอภาพ]]แก่ผู้รับการทดลอง แล้วให้[[คอมพิวเตอร์]]บันทึกเวลาที่ผู้รับการทดลองใช้ในการกดเลือกปุ่มว่าจำนวนที่ฉายนั้นเป็นคู่หรือคี่ ผลลัพธ์แสดงว่าผู้รับการทดลองประมวลเลข 0 ช้ากว่าเลขคู่อื่น มีความแปรผันในการทดลองบางอย่างพบความล่าช้ามากถึง 60 มิลลิวินาที หรือประมาณ 10% ของเวลาปฏิกิริยาเฉลี่ย ซึ่งเป็นความแตกต่างเล็กน้อยแต่มีความสำคัญ<ref>ดูข้อมูลทั้ง {{harvtxt|Dehaene|Bossini|Giraux|1993}}, และสรุปโดย {{harvtxt|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|p=837}}.</ref>

การทดลองของเดอแอนมิได้ออกแบบมาเพื่อสอบสวนเลข 0 โดยเฉพาะแต่เพื่อเรียบเทียบแบบจำลองต่าง ๆ ว่าประมวลผลและแยกสารสนเทศภาวะคู่หรือคี่อย่างไร แบบจำลองที่จำเพาะที่สุด คือ สมมติฐานการคำนวณในใจ เสนอว่าปฏิกิริยาต่อ 0 ควรเร็ว เพราะ 0 เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย และการคำนวณ 0 × 2 = 0 ง่าย (ผู้ศึกษาทราบว่าผู้รับการทดลองคำนวณและตอบผลลัพธ์การคูณด้วย 0 เร็วกว่าการคูณด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ 0 แม้ผู้รับการทดลองใช้เวลานานกว่าในการยืนยันผลลัพธ์อย่าง 2 × 0 = 0) ผลลัพธ์ของการทดลองนี้เสนอสิ่งที่คลาดเคลื่อนไปจากสมมติฐาน คือ สารสนเทศภาวะคู่หรือคี่ดูเหมือนถูกเรียกมาจากความทรงจำร่วมกับกลุ่มคุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง เช่น เป็น[[จำนวนเฉพาะ]]หรือกำลังของ 2 และลำดับของจำนวนคู่บวก 2, 4, 6, 8, ... เป็นหมวดหมู่ทางจิตที่แยกแยะได้ง่ายว่าสมาชิกเป็นต้นแบบเลขคู่ 0 ไม่อยู่ในรายการใด ฉะนั้นจึงมีการตอบสนองช้ากว่า<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|pp=374–376}}</ref>

การทดลองซ้ำ ๆ ต่างแสดงว่าผู้รับการทดลองช้าที่เลข 0 ไม่ว่ามีภูมิหลังอายุ สัญชาติ หรือภาษา หรือไม่ว่าเผชิญกับชื่อเลขในรูปตัวเลข สะกดเป็นอักษร และสะกดในภาพกระจก แต่กลุ่มของเดอแอนพบปัจจัยแยกกันปัจจัยหนึ่ง คือ ความชำนาญทางคณิตศาสตร์ ในการทดลองของพวกเขาครั้งหนึ่ง นักศึกษาในเอกอลนอร์มาลซูว์เปรีเยอร์ ({{lang|fr|École Normale Supérieure}}) ถูกแบ่งเป็นสองกลุ่ม กลุ่มหนึ่งศึกษาวรรณคดี และอีกกลุ่มหนึ่งศึกษาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ หรือชีววิทยา ความช้าที่เลข 0 "พบโดยสำคัญในกลุ่ม [วรรณคดี]" และที่จริง "ก่อนการทดลอง ผู้รับการทดลองบางคนไม่มั่นใจว่า 0 เป็นคี่หรือคู่ และต้องได้รับการย้ำนิยามทางคณิตศาสตร์"<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|pp=376–377}}</ref>

ด้วยต้องอาศัยความคุ้นเคยอย่างมาก เหตุนี้จึงทำลายสมมติฐานการคำนวณในใจอีก<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|p=376}} "In some intuitive sense, the notion of parity is familiar only for numbers larger than 2. Indeed, before the experiment, some L subjects were unsure whether 0 was odd or even and had to be reminded of the mathematical definition. The evidence, in brief, suggests that instead of being calculated on the fly by using a criterion of divisibility by 2, parity information is retrieved from memory together with a number of other semantic properties ... If a semantic memory is accessed in parity judgments, then interindividual differences should be found depending on the familiarity of the subjects with number concepts."</ref> ปรากฏการณ์ดังกล่าวยังแนะว่าการรวม 0 อยู่ในการทดลองเปรียบเทียบจำนวนคู่และคี่เป็นกลุ่มนั้นไมเหมาะสม การศึกษาหนึ่งระบุว่า "นักวิจัยส่วนใหญ่ดูจะเห็นตรงกันว่า 0 ไม่ใช่จำนวนคู่แบบฉบับและไม่ควรสืบสวนมันในฐานะส่วนหนึ่งของเส้นจำนวนในใจ"<ref>{{harvnb|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|pp=838, 860–861}}</ref>

== บริบทชีวิตประจำวัน ==
[[ไฟล์:13-02-27-spielbank-wiesbaden-by-RalfR-094.jpg|thumb|ในเกม[[รูเล็ตต์]] ถือว่า 0 ไม่เป็นทั้งคู่และคี่]]
บางบริบทที่มีภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เป็นวาทศิลป์ทั้งสิ้น ประเด็นนี้เป็นข้อคำถามสำหรับกระดานสนทนาอินเทอร์เน็ตและเว็บไซต์ถามผู้เชี่ยวชาญ<ref>{{harvnb|The Math Forum participants|2000}}; {{harvnb|Straight Dope Science Advisory Board|1999}}; {{harvnb|Doctor Rick|2001}}</ref> นักภาษาศาสตร์ โจเซฟ ไกรมส์ (Joseph Grimes) กล่าวตลกว่า การถามคู่สมรสว่า "0 เป็นจำนวนคู่หรือไม่" เป็นวิธีที่ดีในการสร้างความไม่ลงรอยกันระหว่างทั้งสอง<ref>{{harvnb|Grimes|1975|p=156}} "...one can pose the following questions to married couples of his acquaintance: (1) Is zero an even number? ... Many couples disagree..."</ref> บุคคลที่คิดว่า 0 ไม่เป็นทั้งคู่และคี่อาจใช้ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เป็นข้อพิสูจน์ว่ากฎประจำวันมีตัวอย่างตรงข้าม<ref>{{harvnb|Wilden|Hammer|1987|p=104}}</ref> หรือเป็นตัวอย่างของคำถามลวง<ref>{{harvnb|Snow|2001}}; {{harvnb|Morgan|2001}}</ref>

ประมาณปี 2543 สื่อต่าง ๆ ตั้งข้อสังเกตถึงหลักไมล์ที่ไม่ธรรมดาสองวัน คือ "1999/11/19" (19 พฤศจิกายน 2542) เป็นวันที่สุดท้ายในปฏิทินซึ่งเป็นเลขโดดคี่ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นในเวลานาน<ref>{{harvnb|Steinberg|1999}}; {{harvnb|Siegel|1999}}; {{harvnb|Stingl|2006}}</ref> และวันที่ "2000/02/02" (2 กุมภาพันธ์ 2543) เป็นวันที่เลขคู่ทั้งหมดวันแรกที่จะเกิดขึ้นในเวลานาน เนื่องจากผลลัพธ์เหล่านี้ใช้ข้อที่ว่า 0 เป็นคู่ ผู้อ่านบางคนจึงไม่เห็นด้วยกับความคิดนี้<ref>{{harvnb|Sones|Sones|2002}} "It follows that zero is even, and that 2/20/2000 nicely cracks the puzzle. Yet it's always surprising how much people are bothered by calling zero even..."; {{harvnb|Column 8 readers|2006a}} "'...according to mathematicians, the number zero, along with negative numbers and fractions, is neither even nor odd,' writes Etan..."; {{harvnb|Column 8 readers|2006b}} "'I agree that zero is even, but is Professor Bunder wise to 'prove' it by stating that 0 = 2 x 0? By that logic (from a PhD in mathematical logic, no less), as 0 = 1 x 0, it's also odd!' The prof will dispute this and, logically, he has a sound basis for doing so, but we may be wearing this topic a little thin ..."</ref>

ในการทดสอบมาตรฐาน หากคำถามถามเกี่ยวกับพฤติกรรมของจำนวนคู่ อาจจำเป็นต้องระลึกไว้ว่า 0 เป็นคู่<ref>{{harvnb|Kaplan Staff|2004|p=227}}</ref> สิ่งพิมพ์เผยแพร่อย่างเป็นทางการซึ่งเกี่ยวข้องกับการสอบจีแมต (GMAT) และจีอาร์อี (GRE) ล้วนกล่าวว่า 0 เป็นคู่<ref>{{harvnb|Graduate Management Admission Council|2005|pp=108, 295–297}}; {{harvnb|Educational Testing Service|2009|p=1}}</ref>

ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 สัมพันธ์กับการปันส่วนคี่–คู่ ซึ่งอนุญาตให้จับรถยนต์หรือซื้อแกโซลีนได้สลับวันกันตามภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดสุดท้ายใน[[ป้ายทะเบียนรถ]] จำนวนครึ่งหนึ่งอยู่ในพิสัยหนึ่ง ๆ ลงท้ายด้วย 0, 2, 4, 6, 8 และอีกครึ่งหนึ่งด้วย 1, 3, 5, 7, 9 ฉะนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะรวม 0 กับจำนวนคู่อื่น ทว่า ในปี 2520 ระบบปันส่วนคี่–คู่ในกรุงปารีสนำไปสู่ความสับสน คือ ในวันเฉพาะเลขคี่ ตำรวจเลี่ยงปรับผู้ขับขี่ที่ป้ายทะเบียนลงท้ายด้วย 0 เพราะพวกเขาไม่ทราบว่า 0 เป็นเลขคู่หรือไม่<ref>{{harvnb|Arsham|2002}}; The quote is attributed to the ''[[heute]]'' broadcast of October 1, 1977. Arsham's account is repeated by {{harvtxt|Crumpacker|2007|p=165}}.</ref> ในการเลี่ยงความสับสนเช่นว่า บางครั้งกฎหมายที่เกี่ยวข้องจึงกำหนดว่า 0 เป็นคู่ โดยมีการผ่านกฎหมายดังกล่าวในรัฐนิวเซาท์เวลส์<ref>{{harvnb|Sones|Sones|2002}} "Penn State mathematician George Andrews, who recalls a time of gas rationing in Australia ... Then someone in the New South Wales parliament asserted this meant plates ending in zero could never get gas, because 'zero is neither odd nor even. So the New South Wales parliament ruled that for purposes of gas rationing, zero is an even number!'"</ref> และรัฐแมรีแลนด์<ref>A 1980 Maryland law specifies, "(a) On even numbered calendar dates gasoline shall only be purchased by operators of vehicles bearing personalized registration plates containing no numbers and registration plates with the last digit ending in an even number. This shall not include ham radio operator plates. Zero is an even number; (b) On odd numbered calendar dates ..." Partial quotation taken from {{Citation |author=Department of Legislative Reference |year=1974 |title=Laws of the State of Maryland, Volume 2 |page=3236 |url=https://books.google.com/books?q=%22ham+radio+operator+plates.+Zero+is+an+even+number%22 |accessdate=2 June 2013}}</ref>

ในเรือของกองทัพเรือสหรัฐ ส่วนกั้นเลขคู่จะอยู่กาบซ้าย (port side) แต่สงวนเลข 0 ไว้สำหรับส่วนกั้นที่อยู่ตัดกับแนวกลาง นั่นคือ จำนวนจะเรียงจาก 6-4-2-0-1-3-5 ตั้งแต่กาบซ้ายถึงกาบขวา (starboard)<ref>{{harvnb|Cutler|2008|pp=237–238}}</ref> ในเกม[[รูเล็ตต์]] เลข 0 ไม่นับว่าเป็นคู่หรือคี่ ทำให้[[กาสิโน]]ได้เปรียบในการลงพนันดังกล่าว<ref>{{harvnb|Brisman|2004|p=153}}</ref> ในทำนองเดียวกัน ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 จะมีผลต่อเงินในพร็อปเบต (prop bet) เมื่อผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับว่าจำนวนี่สุ่มเป็นคู่หรือคี่ แล้วปรากฏว่าได้ 0<ref>{{harvnb|Smock|2006}}; {{harvnb|Hohmann|2007}}; {{harvnb|Turner|1996}}</ref>

เกม "คี่และคู่" ก็ได้รับผลกระทบเช่นกัน หากผู้เล่นทั้งสองไม่ออกนิ้ว จำนวนนิ้วจะเป็น 0 ฉะนั้นผู้เล่นคู่จะชนะ<ref>{{harvnb|Diagram Group|1983|p=213}}</ref> คู่มือครูเล่มหนึ่งเสนอให้เล่นเกมนี้เพื่อเป็นการสอนมโนทัศน์ว่า 0 หารด้วย 2 ลงตัวแก่เด็ก<ref>{{harvnb|Baroody|Coslick|1998|p=1.33}}</ref>

== อ้างอิง ==

=== เชิงอรรถ ===
{{Reflist|colwidth=25em}}

=== บรรณานุกรม ===
{{Refbegin|30em}}
*{{Citation |last1=Anderson |first1=Ian |year=2001 |title=A First Course in Discrete Mathematics |location=London |publisher=Springer |isbn=1-85233-236-0}}
*{{Citation |last1=Anderson |first1=Marlow |first2=Todd |last2=Feil |year=2005 |title=A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields |location=London |publisher=CRC Press |isbn=1-58488-515-7}}
*{{Citation |last1=Andrews |first1=Edna |year=1990 |title=Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language |location=Durham |publisher=Duke University Press |isbn=0-8223-0959-9}}
*{{Citation |last1=Arnold |first1=C. L. |date=January 1919 |title=The Number Zero |journal=The Ohio Educational Monthly |volume=68 |issue=1 |url=https://books.google.com/books?id=v3QbAQAAIAAJ&pg=PA21 |pages=21–22 |accessdate=11 April 2010 }}
*{{Citation |last1=Arsham |first1=Hossein |url=http://www.pantaneto.co.uk/issue5/arsham.htm |title=Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives |work=The Pantaneto Forum |date=January 2002 |accessdate=24 September 2007 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20070925163556/http://www.pantaneto.co.uk/issue5/arsham.htm |archivedate=25 September 2007 |df= }}
*{{Citation |last1=Ball |first1=Deborah Loewenberg |first2=Heather C. |last2=Hill |first3=Hyman |last3=Bass |year=2005 |title=Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? |journal=American Educator |url=http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/65072 |accessdate=16 September 2007 |format=PDF }}
*{{Citation |last1=Ball |first1=Deborah Loewenberg |first2=Jennifer |last2=Lewis |first3=Mark Hoover |last3=Thames |title=Making mathematics work in school |year=2008 |journal=Journal for Research in Mathematics Education |volume=M14 |pages=13–44 and 195–200 |url=http://www-personal.umich.edu/~dball/articles/BallLewisThames08.pdf |accessdate=4 March 2010 }}
*{{Citation |last1=Barbeau |first1=Edward Joseph |year=2003 |title=Polynomials |publisher=Springer |isbn=0-387-40627-1}}
*{{Citation |last1=Baroody |first1=Arthur |first2=Ronald |last2=Coslick |title=Fostering Children's Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8 |year=1998 |publisher=Lawrence Erlbaum Associates |isbn=0-8058-3105-3}}
*{{Citation |last1=Berlinghoff |first1=William P. |first2=Kerry E. |last2=Grant |first3=Dale |last3=Skrien |year=2001 |title=A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts |edition=5th rev. |publisher=Rowman & Littlefield |isbn=0-7425-0202-3}}
*{{Citation |last1=Border |first1=Kim C. |year=1985 |title=Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-38808-2}}
*{{Citation |last1=Brisman |first1=Andrew |title=Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways |publisher=Sterling |year=2004 |isbn=1-4027-1300-2}}
*{{Citation |last1=Bunch |first1=Bryan H. |year=1982 |title=Mathematical Fallacies and Paradoxes |publisher=Van Nostrand Reinhold |isbn=0-442-24905-5}}
*{{Citation |last1=Caldwell |first1=Chris K. |last2=Xiong |first2=Yeng |date=27 December 2012 |title=What is the Smallest Prime? |journal=Journal of Integer Sequences |volume=15 |issue=9 |arxiv=1209.2007 |url=http://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.html }}
*{{Citation |author=Column 8 readers |title=Column 8 |work=The Sydney Morning Herald |date=10 March 2006a|edition=First |page=18 |id={{Factiva|SMHH000020060309e23a00049}}}}
*{{Citation |author=Column 8 readers |title=Column 8 |work=The Sydney Morning Herald |date=16 March 2006b|edition=First |page=20 |id={{Factiva|SMHH000020060315e23g0004z}}}}
*{{Citation |last1=Crumpacker |first1=Bunny |year=2007 |title=Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count |publisher=Macmillan |isbn=0-312-36005-3}}
*{{Citation |last1=Cutler |first1=Thomas J. |title=The Bluejacket's Manual: United States Navy |year=2008 |edition=Centennial |publisher=Naval Institute Press |isbn=1-55750-221-8}}
*{{Citation |last1=Dehaene |first1=Stanislas |author1-link=Stanislas Dehaene |first2=Serge |last2=Bossini |first3=Pascal |last3=Giraux |title=The mental representation of parity and numerical magnitude |journal=Journal of Experimental Psychology: General |volume=122 |issue=3 |pages=371–396 |year=1993 |url=http://www.unicog.org/publications/Dehaene_ParitySNARCeffect_JEPGeneral1993.pdf |accessdate=13 September 2007 |doi=10.1037/0096-3445.122.3.371 |format=PDF }}
*{{Citation |last1=Devlin |first1=Keith |title=The golden age of mathematics |journal=New Scientist |date=April 1985|volume=106 |issue=1452}}
*{{Citation |author=Diagram Group |title=The Official World Encyclopedia of Sports and Games |publisher=Paddington Press |year=1983 |isbn=0-448-22202-7}}
*{{Citation |last=Dickerson |first=David S |last2=Pitman |first2=Damien J |date=July 2012 |title=Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions |editor=Tai-Yih Tso |journal=Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education |volume=2 |pages=187–195 |url=http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:542328/FULLTEXT01.pdf#page=193 }}
*{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |first2=Richard M. |last2=Foote |year=1999 |title=Abstract Algebra |edition=2e |location=New York |publisher=Wiley |isbn=0-471-36857-1}}
*{{Citation |author=Educational Testing Service |year=2009 |title=Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test |publisher=Educational Testing Service |url=http://www.ets.org/s/gre/pdf/gre_math_conventions.pdf |accessdate=6 September 2011 }}
*{{Citation |last1=Freudenthal |first1=H. |year=1983 |title=Didactical phenomenology of mathematical structures |location=Dordrecht, The Netherlands |publisher=Reidel}}
*{{Citation |last1=Frobisher |first1=Len |year=1999 |title=Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers |editor=Anthony Orton |book-title=Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics |location=London |publisher=Cassell |pages=31–48}}
*{{Citation |last1=Gouvêa |first1=Fernando Quadros|author1-link= Fernando Q. Gouvêa |year=1997 |title=''p''-adic numbers: an introduction |edition=2nd |isbn=3-540-62911-4 |publisher=Springer-Verlag}}
*{{Citation |last1=Gowers |first1=Timothy |authorlink=William Timothy Gowers |title=Mathematics: A Very Short Introduction |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-285361-5 |year=2002}}
*{{Citation |author=Graduate Management Admission Council |date=September 2005|title=The Official Guide for GMAT Review |edition=11th |isbn=0-9765709-0-4 |publisher=Graduate Management Admission Council |location=McLean, VA}}
*{{Citation |last1=Grimes |first1=Joseph E. |year=1975 |title=The Thread of Discourse |publisher=Walter de Gruyter |isbn=90-279-3164-X}}
*{{Citation | last1 = Hartsfield | first1 = Nora | author1-link = Nora Hartsfield | last2 = Ringel | first2 = Gerhard | author2-link = Gerhard Ringel |year=2003 |title=Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction |location=Mineola |publisher=Courier Dover |isbn=0-486-43232-7}}
*{{Citation |last=Hill |first=Heather C. |first2=Merrie L. |last2=Blunk |first3=Charalambos Y. |last3=Charalambous |first4=Jennifer M. |last4=Lewis |first5=Geoffrey C. |last5=Phelps |first6=Laurie |last6=Sleep |first7=Deborah Loewenberg |last7=Ball |year=2008 |title=Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study |journal=Cognition and Instruction |volume=26 |issue=4 |doi=10.1080/07370000802177235 |pages=430–511}}
*{{Citation |last1=Hohmann |first1=George |date=25 October 2007|title=Companies let market determine new name |work=Charleston Daily Mail|page=P1C |id={{Factiva|CGAZ000020071027e3ap0001l}}}}
*{{Citation |author=Kaplan Staff |year=2004 |title=Kaplan SAT 2400, 2005 Edition |publisher=Simon and Schuster |isbn=0-7432-6035-X}}
*{{Citation |last1=Keith |first1=Annie |book-title=Teachers Engaged in Research: Inquiry in Mathematics Classrooms, Grades Pre-K-2 |title=Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers |year=2006 |publisher=IAP |isbn=1-59311-495-8}}
*{{Citation |last1=Krantz |first1=Steven George |year=2001 |title=Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry |publisher=CRC Press |isbn=1-58488-052-X}}
*{{Citation |last1=Levenson |first1=Esther |first2=Pessia |last2=Tsamir |first3=Dina |last3=Tirosh |title=Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero |volume=26 |issue=2 |year=2007 |pages=83–95 |doi=10.1016/j.jmathb.2007.05.004 |journal=The Journal of Mathematical Behavior}}
*{{Citation |last1=Lichtenberg |first1=Betty Plunkett |title=Zero is an even number |journal=The Arithmetic Teacher |volume=19 |issue=7 |date=November 1972|pages=535–538}}
*{{Citation |last1=Lorentz |first1=Richard J. |year=1994 |title=Recursive Algorithms |publisher=Intellect Books |isbn=1-56750-037-4}}
*{{Citation |last=Lovas |first=William |last2=Pfenning |first2=Frank |date=22 January 2008 |title=A Bidirectional Refinement Type System for LF |journal=Electronic Notes in Theoretical Computer Science |volume=196 |pages=113–128 |doi=10.1016/j.entcs.2007.09.021 |url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1571066108000418 |accessdate=16 June 2012 }}
*{{Citation |last1=Lovász |first1=László|first2=József |last2=Pelikán |first3=Katalin L. |last3=Vesztergombi |year=2003 |title=Discrete Mathematics: Elementary and Beyond |publisher=Springer |isbn=0-387-95585-2}}
*{{Citation |last1=Morgan |first1=Frank |title=Old Coins |work=Frank Morgan's Math Chat |publisher=The Mathematical Association of America |date=5 April 2001 |url=http://www.maa.org/features/mathchat/mathchat_4_5_01.html |accessdate=22 August 2009 |archive-date=2009-01-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090108053212/http://www.maa.org/features/mathchat/mathchat_4_5_01.html |url-status=dead }}
*{{Citation |last1=Nipkow |first1=Tobias |author1-link=Tobias Nipkow|first2=Lawrence C. |last2=Paulson |author2-link=Lawrence C. Paulson|first3=Markus |last3=Wenzel |year=2002 |title=Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic|publisher=Springer |isbn=3-540-43376-7}}
*{{Citation |last1=Nuerk |first1=Hans-Christoph |first2=Wiebke |last2=Iversen |first3=Klaus |last3=Willmes |title=Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect |journal=The Quarterly Journal of Experimental Psychology A |volume=57 |issue=5 |date=July 2004|pages=835–863 |doi=10.1080/02724980343000512}}
*{{Citation |last1=Partee |first1=Barbara Hall |title=Fundamentals of Mathematics for Linguistics |year=1978 |location=Dordrecht |publisher=D. Reidel |isbn=90-277-0809-6}}
*{{Citation |last1=Penner |first1=Robert C. |year=1999 |title=Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures |location=River Edje |publisher=World Scientific |isbn=981-02-4088-0}}
*{{Citation |last1=Salzmann |first1=H. |first2=T. |last2=Grundhöfer |first3=H. |last3=Hähl |first4=R. |last4=Löwen |year=2007 |title=The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-86516-6}}
*{{Citation |last1=Siegel |first1=Robert |title=Analysis: Today's date is signified in abbreviations using only odd numbers. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. The next time that happens will be more than a thousand years from now. |url=http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=1066881 |date=19 November 1999 |work=[[All Things Considered]] |publisher=[[National Public Radio]] }}
*{{Citation |last1=Smock |first1=Doug |title=The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods |date=6 February 2006|work=[[Charleston Gazette]] |page=P1B |id={{Factiva|CGAZ000020060207e226000bh}}}}
*{{Citation |last1=Snow |first1=Tony |date=23 February 2001 |url=http://www.jewishworldreview.com/tony/snow022301.asp |title=Bubba's fools |work=[[Jewish World Review]] |accessdate=22 August 2009 |archive-date=2011-01-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110102010937/http://jewishworldreview.com/tony/snow022301.asp |url-status=dead }}
*{{Citation |last1=Sones |first1=Bill |first2=Rich |last2=Sones |title=To hide your age, button your lips |date=8 May 2002 |work=[[Deseret News]] |page=C07 |url=http://www.deseretnews.com/article/912430/To-hide-your-age-button-your-lips.html?pg=all |accessdate=21 June 2014 |archive-date=2018-02-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180204124122/https://www.deseretnews.com/article/912430/To-hide-your-age-button-your-lips.html?pg=all |url-status=dead }}
*{{Citation |last1=Starr |first1=Ross M. |authorlink=Ross Starr|year=1997 |title=General Equilibrium Theory: An Introduction |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-56473-5}}
*{{Citation |last1=Steinberg |first1=Neil |title=Even year, odd facts |date=30 November 1999 |work=Chicago Sun-Times |edition=5XS |page=50 |id={{Factiva|chi0000020010826dvbu0119h}}}}
*{{Citation |last1=Stewart |first1=Mark Alan |title=30 Days to the GMAT CAT |year=2001 |location=Stamford |publisher=Thomson |isbn=0-7689-0635-0}}
*{{Citation |last1=Stingl |first1=Jim |title=01:02:03 04/05/06; We can count on some things in life |date=5 April 2006 |work=[[Milwaukee Journal Sentinel]] |edition=Final |page=B1 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060427002610/http://www.jsonline.com/story/index.aspx?id=413306 |archivedate=27 April 2006 |accessdate=21 June 2014 |url=http://www.jsonline.com/story/index.aspx?id=413306 }}
*{{Citation |last1=Tabachnikova |first1=Olga M. |first2= Geoff C. |last2=Smith |author2-link=Geoff Smith (mathematician) |year=2000 |title=Topics in Group Theory |location=London |publisher=Springer |isbn=1-85233-235-2}}
*{{Citation |author=The Math Forum participants |year=2000 |url=http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1178542 |title=A question around zero |work=Math Forum » Discussions » History » Historia-Matematica |publisher=Drexel University |accessdate=25 September 2007 }}
*{{Citation |last1=Turner |first1=Julian |title=Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific |date=13 July 1996|work=[[The Guardian]] |page=23 |id={{Factiva|grdn000020011017ds7d00bzg}}}}
*{{Citation |last1=Wilden |first1=Anthony |first2=Rhonda |last2=Hammer |year=1987 |title=The rules are no game: the strategy of communication |publisher=Routledge Kegan & Paul |isbn=0-7100-9868-5}}
*{{Citation |last1=Wise |first1=Stephen |year=2002 |title=GIS Basics |publisher=CRC Press |isbn=0-415-24651-2}}
*{{Citation |last1=Wong |first1=Samuel Shaw Ming |year=1997 |title=Computational Methods in Physics and Engineering |publisher=World Scientific |isbn=981-02-3043-5}}
{{Refend}}

[[หมวดหมู่:เลขคณิต]]
[[หมวดหมู่:ภาวะคู่หรือคี่]]
[[หมวดหมู่:ศูนย์]]