ดูต้นฉบับสำหรับ ผลพวงเชิงตรรกะ

{{redirect2|ดังนั้น|เพราะฉะนั้น|สัญลักษณ์ ∴|เครื่องหมายดังนั้น}}
{{redirect|⊧|สัญลักษณ์|เทิร์นสไตล์คู่}}

'''ผลพวงเชิงตรรกะ''' ({{langx|en|Logical consequence หรือ entailment}}) เป็น[[แนวคิด]] (concept) พื้นฐานในวิชา[[ตรรกศาสตร์]]ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ซึ่งเป็นจริงระหว่าง[[ข้อความ (ตรรกศาสตร์)|ข้อความ]]เมื่อข้อความหนึ่ง''เป็นผลมาจาก''ข้อความอื่นหนึ่งข้อขึ้นไป การอ้างเหตุผลซึ่งมีตรรกะที่[[ความสมเหตุสมผล (ตรรกศาสตร์)|สมเหตุสมผล]]เป็นการอ้างเหตุผลซึ่ง[[ข้อตาม|ข้อสรุป]] (consequent) เป็นผลมาจาก[[ข้อตั้ง]]เพราะข้อสรุปเป็นผลพวงมาจากข้อตั้ง [[การวิเคราะห์ทางปรัชญา|การวิเคราะห์]] (philosophical analysis) ผลพวงเชิงตรรกะในเชิงปรัชญาประกอบไปด้วยการตั้งคำถามเช่น: ข้อสรุปเป็นผลมาจากข้อนำในแง่อะไรไหน? และการที่ข้อสรุปเป็นผลพวงจากข้อนำหมายความว่าอะไร?<ref name="sep" >Beall, JC and Restall, Greg, ''[http://plato.stanford.edu/archives/fall2009/entries/logical-consequence/ Logical Consequence]'' The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.).</ref>  ทั้งหมดทั้งมวลของ[[ตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา]] (Philosophical logic) ตั้งใจที่จะอธิบายธรรมชาติของผลพวงและ[[ความจริงเชิงตรรกะ]] (logical truth)<ref>[[Willard Van Orman Quine|Quine, Willard Van Orman]], ''Philosophy of Logic''.</ref>

ผลพวงเชิงตรรกะ[[ความจริงเชิงตรรกะ|จำเป็น]]และ[[รูปนัยนิยม (ปรัชญาคณิตศาสตร์)|เป็นรูปนัย]] (formalism (philosophy of mathematics)) ตามตัวอย่างที่อธิบายโดย[[การพิสูจน์เชิงรูปนัย]] (formal proof) และ[[การตีความ (ตรรกศาสตร์)|ตัวแบบการตีความ]] (interpretation (logic))<ref name="sep" /> ประโยคหนึ่งเป็นผลพวงเชิงตรรกะของเซตของประโยคใน[[ภาษารูปนัย|ภาษา]] (formal language) ที่กำหนดภาษาหนึ่ง[[ก็ต่อเมื่อ]]ประโยคนั้นจะเป็นจริงเมื่อประโยคทุกประโยคในเซตนั้นเป็นจริงโดยวิธีการทางตรรกะเท่านั้น (ไม่สนใจการตีความ''ส่วนตัว'')<ref name="iep">[[Matthew W. McKeon|McKeon, Matthew]], ''[http://www.iep.utm.edu/logcon/ Logical Consequence]'' Internet Encyclopedia of Philosophy.</ref>

นักตรรกวิทยาให้คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะว่าด้วย[[ภาษารูปนัย|ภาษา]] <math>\mathcal{L}</math> ที่กำหนดอย่างละเอียด ไม่ว่าด้วยการสร้าง[[ระบบรูปนัย|ระบบนิรนัย]] (deductive system) สำหรับ <math>\mathcal{L}</math> หรือด้วย[[การตีความ (ตรรกศาสตร์)|การตีความที่ตั้งใจ]] (intended interpretation) เชิงรูปนัยสำหรับภาษา <math>\mathcal{L}</math> นักตรรกวิทยาชาวโปแลนด์ [[อัลเฟรด ทาร์สกี]] (Alfred Tarski) ได้ระบุลักษณะเฉพาะสามลักษณะของผลพวงเชิงตรรกะ: (1) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับ[[รูปตรรกะ]] (logical form) ของประโยค (2) ความสัมพันธ์เป็นแบบ[[ก่อนประสบการณ์และหลังประสบการณ์|ก่อนประสบการณ์]] (a priori and a posteriori) นั่นคือมันสามารถถูกระบุได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้[[หลักฐานเชิงประสบการณ์]] (หลักฐานจากประสาทสัมผัส) และ (3) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะมีส่วนประกอบ[[ตรรกศาสตร์อัญรูป|อัญรูป]] (modal logic)<ref name="iep" />

== คำอธิบายเชิงรูปนัย ==
มุมมองเรื่องการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายที่สุดคือด้วยการอาศัยรูปแบบ นั่นหมายความว่าข้อความหนึ่งจะเป็นผลมาจากอีกข้อความหนึ่งหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับโครงสร้างหรือ[[รูปตรรกะ]]ของข้อความนั้นโดยไม่สนใจถึงเนื้อหาซึ่งอยู่ในรูปนั้น

คำอธิบายเชิงวากยสัมพันธ์ของผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับ[[รูปตรรกะ|เค้าร่าง]]ซึ่งใช้[[กฎการอนุมาน]] (inference rule) ตัวอย่างเช่นเราสามารถแสดงรูปตรรกะของการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลได้ว่า

: ทุก ''X'' เป็น ''Y''
: ทุก ''Y'' เป็น ''Z''
: เพราะฉะนั้น ทุก ''X'' เป็น ''Z''

การอ้างเหตุผลอันนี้สมเหตุสมผลแบบรูปนัยเนื่องจาก[[การแทนที่ (ตรรกศาสตร์)|กรณี]] (Substitution (logic)) ของการอ้างเหตุผลซึ่งใช้เค้าร่างเช่นนี้ทุกกรณีนั้นสมเหตุสมผล

ซึ่งนี่ตรงกันข้ามกับการอ้างเหตุผลเช่น "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์ เพราะฉะนั้นสมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เพราะการอ้างเหตุผลแบบนี้ขึ้นอยู่กับความหมายของคำว่า "พี่ชาย" "ลูก" และ "หลาน" ข้อความ "สมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เป็นสิ่งที่เรียกว่า[[เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์|ผลพวงเชิงเนื้อหา]] (material consequence) ของ "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์" และไม่ใช่ผลพวงรูปนัย (formal consequence) ผลพวงรูปนัยจำเป็นต้องเป็นจริง''ในทุกกรณี'' แต่ทว่านี่คือนิยามของผลพวงรูปนัยที่ไม่สมบูรณ์เพราะแม้การอ้างเหตุผลว่า "''P'' เป็นลูกของพี่ชายของ ''Q'' เพราะฉะนั้น ''P'' เป็นหลานของ ''Q''" จะเป็นจริงในทุกกรณีก็ตามที แต่ก็ยังไม่ใช่การอ้างเหตุผล''รูปนัย''<ref name="sep" />

== คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะ ==

เมื่อเรารู้ว่า <math>Q</math> เป็นผลโดยตรรกะมาจาก <math>P</math> แล้วความหมายของ <math>P</math> หรือ <math>Q</math> ที่เป็นไปได้อันใดก็ตามจะไม่ส่งผลใด ๆ ต่อความเป็นผลโดยตรรกะระหว่างทั้งสองที่เรารู้ ไม่มี[[ก่อนประสบการณ์และหลังประสบการณ์|ความรู้เชิงประจักษ์]] (A priori and a posteriori) ใดที่สามารถมีอิทธิพลต่อความรู้ของเราว่า <math>Q</math> เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ <math>P</math><ref name="sep" /> เราสามารถรู้ว่าการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลแบบนิรนัยได้โดยไม่พึ่งประสบการณ์และจึงต้องสามารถรู้ได้ก่อนประสบการณ์ (a priori)<ref name="sep" /> อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถรับประกันได้ว่าผลพวงเชิงตรรกะไม่ได้รับอิทธิพลจากความรู้เชิงประจักษ์ได้ด้วยเพียงรูปแบบหรือความเป็นรูปนัย (formality) คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะจึงได้ถือว่าเป็นอิสระจากรูปแบบ<ref name="sep" />

== การพิสูจน์และตัวแบบ ==
เทคนิคการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายสองแบบคือการแสดงแนวคิดในแง่ของ''การพิสูจน์'' (proof) และผ่าน''ตัวแบบ'' (model) [[ทฤษฎีการพิสูจน์]] (proof theory) คือการศึกษาถึงผลพวงทางไวยากรณ์ (ของตรรกะอันหนึ่ง) ในขณะที่การศึกษาถึงผลพวงทางอรรถศาสตร์หรือทางความหมาย (ของตรรกะอันหนึ่ง) คือ[[ทฤษฎีตัวแบบ]] (model theory)<ref name="ChiaraDoets1996">{{cite book|editor1=Maria Luisa Dalla Chiara |editor1-link= Maria Luisa Dalla Chiara |editor2=Kees Doets |editor3=Daniele Mundici |editor4=Johan van Benthem |title=Logic and Scientific Methods: Volume One of the Tenth International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, Florence, August 1995|chapter-url=https://books.google.com/books?id=TCthvF8xLIAC&pg=PA292|year=1996|publisher=Springer|isbn=978-0-7923-4383-7|page=292|chapter=Logical consequence: a turn in style|author=Kosta Dosen}}</ref>

=== ผลพวงทางไวยากรณ์ ===
{{See also|เครื่องหมายดังนั้น|label 1= ∴ |เทิร์นสไตล์ |label 2= ⊢}}

สูตรหรือ formula <math>A</math> เป็น'''ผลพวงทางไวยากรณ์''' ({{langx|en|syntactic consequence}})<ref>[[Michael Dummett|Dummett, Michael]] (1993) [https://books.google.com/books?id=EYP7uCZIRQYC&pg=PA82&lpg=PA82&dq=syntactic+consequence&source=bl&ots=Ms58438B6w&sig=FE38FCaZpRpAr18gtG7INX4wieM&hl=en&ei=qOy7SoLlEI7KsQPgnYG7BA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6#v=onepage&q=syntactic%20consequence&f=false''Frege: philosophy of language''] Harvard University Press, p.82ff</ref><ref>[[Jonathan Lear|Lear, Jonathan]] (1986) [https://books.google.com/books?id=lXI7AAAAIAAJ&pg=PA1&lpg=PA1&dq=syntactic+consequence&source=bl&ots=8IYWyFYTN-&sig=wrOg75cFxQwn1Uq-8LShBNXf9w0&hl=en&ei=I-y7SpHtLZLotgOsnLHcBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10#v=onepage&q=syntactic%20consequence&f=false''Aristotle and Logical Theory''] Cambridge University Press, 136p.</ref><ref>Creath, Richard, and [[Michael Friedman (philosopher)|Friedman, Michael]] (2007) [https://books.google.com/books?id=87BcFLgJmxMC&pg=PA189&lpg=PA189&dq=syntactic+consequence&source=bl&ots=Fn2zomcMZP&sig=8hnJWsJFysNhmWLskICo4IQDYAc&hl=en&ei=I-y7SpHtLZLotgOsnLHcBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6#v=onepage&q=syntactic%20consequence&f=false''The Cambridge companion to Carnap''] Cambridge University Press, 371p.</ref><ref>[http://www.swif.uniba.it/lei/foldop/foldoc.cgi?syntactic+consequence FOLDOC: "syntactic consequence"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130403201417/http://www.swif.uniba.it/lei/foldop/foldoc.cgi?syntactic+consequence |date=2013-04-03 }}</ref> ของเซตของสูตร <math>\Gamma</math> ใน[[ระบบรูปนัย]] <math>\mathcal{FS}</math> (formal system) ระบบหนึ่ง เมื่อมี[[การพิสูจน์เชิงรูปนัย|การสืบสมุฏฐาน]] (formal proof) <math>A</math> จากเซตของ <math>\Gamma</math> ใน <math>\mathcal{FS}</math> 
:<math>\Gamma \vdash_{\mathcal {FS} } A</math>

ผลพวงทางไวยากรณ์ไม่ขึ้นอยู่กับ[[การตีความ (ตรรกศาสตร์)|การตีความ]]ระบบรูปนัยในแบบใด ๆ<ref>[[Geoffrey Hunter (logician)|Hunter, Geoffrey]], Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, University of California Pres, 1971, p. 75.</ref>

=== ผลพวงทางความหมาย ===
{{See also|เทิร์นสไตล์คู่|label 1= ⊨}}

สูตรหรือ formula <math>A</math> เป็น'''ผลพวงทางความหมาย''' ({{langx|en|semantic consequence}}) ของเซตของข้อความ <math>\Gamma</math> ในระบบรูปนัย <math>\mathcal{FS}</math> ระบบหนึ่ง

:<math>\Gamma \models_{\mathcal {FS} } A,</math>

ก็ต่อเมื่อไม่มีตัวแบบ <math>\mathcal{I}</math> ใด ๆ ที่ในนั้นสมาชิกของ <math>\Gamma</math> เป็นจริงแต่ <math>A</math> จะเป็นเท็จ<ref>[[John Etchemendy|Etchemendy, John]], ''Logical consequence'',  The Cambridge Dictionary of Philosophy</ref> หรือพูดอีกแบบหนึ่งคือ เซตของการตีความสมาชิกใน <math>\Gamma</math> ที่ทำให้ทั้งหมดเป็นจริงนั้นเป็นเซตย่อยของเซตของการตีความที่ทำให้ <math>A</math> เป็นจริง

== คำอธิบายเชิงอัญรูป ==

คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะทาง[[ตรรกศาสตร์อัญรูป|อัญรูป]] (modal logic) เป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:

:<math>\Gamma</math> <math>\vdash</math> <math>A</math> เป็นจริงก็ต่อเมื่อมัน''จำเป็น'' ที่หากสมาชิกของ <math>\Gamma</math> ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว <math>A</math> เป็นจริง

ในทางกลับกัน (หรือคนส่วนใหญ่จะบอกว่าในทางเดียวกัน):

:<math>\Gamma</math> <math>\vdash</math> <math>A</math> เป็นจริงก็ต่อเมื่อมัน''เป็นไปไม่ได้'' ที่สมาชิกของ <math>\Gamma</math> ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว <math>A</math> เป็นเท็จ

คำอธิบายแบบนี้เป็น "เชิงอัญรูป" เพราะมันอาศัย[[ความจริงเชิงตรรกะ|ความจำเป็นเชิงตรรกะ]] (logical truth) และ[[ความเป็นไปได้เชิงตรรกะ]] (logical possibility) ซึ่งเป็นแนวคิดเชิงอัญรูป 'มันจำเป็นที่' เป็นวลีที่มักถูกแสดงเป็น[[ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)|ตัวบ่งปริมาณทั้งหมด]]บน[[โลกที่เป็นไปได้]] (possible world) คำอธิบายด้านบนจึงสามารถแปลได้เป็น:

:<math>\Gamma</math> <math>\vdash</math> <math>A</math> เป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่มีโลกที่เป็นไปได้ที่สมาชิกของ <math>\Gamma</math> ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว <math>A</math> เป็นเท็จ (ไม่จริง)

พิจารณาคำอธิบายเชิงอัญรูปในรูปของการให้เหตุผลซึ่งได้ให้ตัวอย่างไว้ด้านบน:

:กบทุกตัวสีเขียว 
:เคอร์มิตเป็นกบ 
:เพราะฉะนั้น เคอร์มิตตัวสีเขียว

ข้อสรุปเป็นผลพวงเชิงตรรกะของข้อตั้งเพราะเราไม่สามารถจินตนาการถึงโลกที่เป็นไปได้ใด ๆ เลยที่ (ก) กบทุกตัวสีเขียว (ข) เคอร์มิตเป็นกบ แล้ว (ค) เคอร์มิตตัวสีไม่เขียว

=== คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัย ===

คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัยรวมเอาคำอธิบายแบบรูปนัยและอัญรูปเข้าด้วยกันและให้ผลออกมาเป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:

:<math>\Gamma</math> <math>\vdash</math> <math>A</math> ก็ต่อเมื่อหากมันเป็นไปไม่ได้ที่การอ้างเหตุผลซึ่งมีรูปตรรกะเดียวกันกับ <math>\Gamma</math>/<math>A</math> จะมีข้อตั้งที่เป็นจริงและข้อสรุปที่เป็นเท็จ

=== คำอธิบายบนเหตุผลสนับสนุน ===

คำอธิบายซึ่งได้พิจารณาไว้ด้านบนทั้งหมดเป็นแบบ "ถนอมความจริง" (truth-preservational) ซึ่งหมายความว่าเป็นคำอธิบายที่ถือว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปเท็จที่มาจากข้อตั้งที่เป็นจริง แต่ในอีกทางหนึ่งคำอธิบายแบบ "ถนอม[[การให้เหตุผลสนับสนุน (ญาณวิทยา)|เหตุผลสนับสนุน]]" (warrant-preservational) ก็ถูกนำเสนอมาโดยบอกว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปที่ไม่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ซึ่งมาจากข้อตั้งที่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ และคำอธิบายนี้เป็นแบบที่นิยมโดยนัก[[สหัชญาณนิยม]] (intuitionism) เช่น [[ไมเคิล ดัมเม็ตต์]] (Michael Dummett)

=== ผลพวงเชิงตรรกะไม่เป็นทางเดียว ===
{{See also|ตรรกศาสตร์ไม่เป็นทางเดียว}}

คำอธิบายซึ่งถูกพิจารณาด้านบนทั้งหมดให้ผลเป็นความสัมพันธ์แบบผลพวง[[ความเป็นทางเดียวของการตกทอด|ทางเดียว]] (Monotonicity of entailment) หรือก็คือแบบที่ถ้า <math>A</math> เป็นผลพวงของ <math>\Gamma</math> แล้ว <math>A</math> จะเป็นผลพวงของซูเปอร์เซตใด ๆ ของ <math>\Gamma</math> ด้วย เราสามารถระบุความสัมพันธ์แบบผลพวง[[ตรรกศาสตร์ไม่เป็นทางเดียว|ไม่เป็นทางเดียว]] (Non-monotonic logic) เพื่อแสดงให้ดูว่าข้อความเช่น 'เจ้าขุนทองบินได้' เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ

:{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก}

แต่ไม่เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ

:{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก, เจ้าขุนทองเป็น[[นกเพนกวิน]]}

==ดูเพิ่ม==
{{div col}}
* [[NOR (ตรรกศาสตร์)|Ampheck]]
* [[การให้เหตุผลแบบนิรนัย]]
* [[กฎของเพิร์ซ]] (Peirce's law)
* [[กราฟเชิงตรรกะ]] (Logical graph)
* [[เครื่องหมายดังนั้น]] (Therefore sign)
* [[แคลคูลัสเชิงประพจน์]]
* [[ความสมเหตุสมผล (ตรรกศาสตร์)|ความสมเหตุสมผล]] (Validity (logic))
* [[เงื่อนไขเข้มงวด]] (Strict conditional)
* [[โดเมนแบบบูล]]
* [[ตรรกศาสตร์เชิงน่าจะเป็น]] (Probabilistic logic)
* [[ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิตนามธรรม]] (Abstract algebraic logic)
* [[เทิร์นสไตล์]] (Turnstile (symbol))
* [[เทิร์นสไตล์คู่]] (Double turnstile)
* [[ประตูสัญญาณตรรกะ]]
* [[ผลพวงเชิงสัจนิรันดร์]] (Tautological consequence)
* [[พีชคณิตแบบบูล]]
* [[ฟังก์ชันแบบบูล]] (Boolean function)
* [[สัจนิรันดร์]] (Tautology (logic))
* [[เหตุภาพ]]
{{div col end}}

== อ้างอิง ==
{{reflist}}

== บรรณานุกรม ==
* {{citation|last1=Anderson|first1=A.R.|last2=Belnap|first2=N.D., Jr.|title=Entailment|year=1975|publisher=Princeton|location=Princeton, NJ|volume=1}}.
* {{citation|last=Augusto|first=Luis M.|year=2017|title=Logical consequences. Theory and applications: An introduction.}} London: College Publications. Series: [http://www.collegepublications.co.uk/logic/mlf/?00029 Mathematical logic and foundations].
* {{citation|last1=Barwise|first1=Jon|author1-link=Jon Barwise|last2=Etchemendy|first2=John|author2-link=John Etchemendy|year=2008|title=Language, Proof and Logic|publisher=CSLI Publications|location=Stanford}}.
* {{citation|last=Brown | first=Frank Markham | year=2003 |title=Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations}} 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
* {{citation|author-link=Martin Davis (mathematician)|last=Davis|first= Martin, (editor)|title=The Undecidable, Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions|publisher=Raven Press|location=New York|year=1965|url=https://books.google.com/books?id=qW8x7sQ4JXgC&q=consequence|isbn=9780486432281}}. Papers include those by [[Gödel]], [[Alonzo Church|Church]], [[J. Barkley Rosser|Rosser]], [[Kleene]], and [[Emil Leon Post|Post]].
* {{citation |first=Michael |last=Dummett |year=1991 |title=The Logical Basis of Metaphysics |publisher=Harvard University Press|url=https://books.google.com/books?id=lvsVFxK3BPcC&q=consequence|isbn=9780674537866 }}.
* {{citation|last=Edgington| first=Dorothy|year=2001|title=Conditionals|publisher=Blackwell}} in Lou Goble (ed.), ''The Blackwell Guide to Philosophical Logic''.
* {{citation|last=Edgington| first=Dorothy|year=2006|title=Conditionals|chapter-url=http://plato.stanford.edu/entries/conditionals| chapter=Indicative Conditionals| publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University}} in Edward N. Zalta (ed.), ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy''.
* {{citation |first=John |last= Etchemendy |year= 1990 |title=The Concept of Logical Consequence |publisher= Harvard University Press}}.
* {{citation |last=Goble |first=Lou, ed.|year=2001 |title=The Blackwell Guide to Philosophical Logic |publisher= Blackwell}}.
* {{citation |last=Hanson |first= William H|year= 1997 |title=The concept of logical consequence| journal=The Philosophical Review| volume=106|issue= 3|pages= 365–409|jstor= 2998398|doi= 10.2307/2998398}} 365–409.
* {{citation |author-link=Vincent F. Hendricks|last=Hendricks |first=Vincent F. |year=2005 |title=Thought 2 Talk: A Crash Course in Reflection and Expression |location=New York |publisher=Automatic Press / VIP |isbn= 978-87-991013-7-5}}
* {{citation |last=Planchette |first=P. A. |year=2001 |title=Logical Consequence}} in Goble, Lou, ed., ''The Blackwell Guide to Philosophical Logic''. Blackwell.
* {{citation|author-link=W.V. Quine|last=Quine|first=W.V.| year=1982| title=Methods of Logic|location=Cambridge, MA|publisher=Harvard University Press}} (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), (4th edition, 1982).
*{{citation |author-link=Stewart Shapiro |last=Shapiro |first=Stewart |year=2002 |title=Necessity, meaning, and rationality: the notion of logical consequence}} in D. Jacquette, ed., ''A Companion to Philosophical Logic''. Blackwell.
*{{citation |author-link=Alfred Tarski |last=Tarski  |first=Alfred |year= 1936 |title=On the concept of logical consequence}} Reprinted in Tarski, A., 1983. ''Logic, Semantics, Metamathematics'', 2nd ed. [[Oxford University Press]]. Originally published in [[Polish language|Polish]] and [[German language|German]].
* {{cite book|author=Ryszard Wójcicki|title=Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence Operations|year=1988|publisher=Springer|isbn=978-90-277-2785-5|url-access=registration|url=https://archive.org/details/theoryoflogicalc0000wojc}}
* A paper on 'implication' from math.niu.edu, [http://www.math.niu.edu/~richard/Math101/implies.pdf Implication] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141021082239/http://www.math.niu.edu/~richard/Math101/implies.pdf |date=2014-10-21 }}
* A definition of 'implicant' [http://www.allwords.com/word-implicant.html AllWords]

==แหล่งข้อมูลอื่น==
{{Commons category|Logical consequence|ผลพวงเชิงตรรกะ}}
*{{cite SEP |url-id=logical-consequence |title=Logical Consequence|date=2013-11-19|edition=Winter 2016|last=Beall|first=Jc|last2=Restall|first2=Greg|author-link=Jc Beall|author2-link=Greg Restall}}
*{{cite IEP |url-id=logcon/ |title=Logical consequence}}
*{{InPho|taxonomy|2409|Logical consequence}}
*{{PhilPapers|category|logical-consequence-and-entailment|Logical consequence and entailment}}
*{{springer|title=Implication|id=p/i050280}}

{{ตรรกศาสตร์}}
{{คณิตตรรกศาสตร์}}

[[หมวดหมู่:ผลพวงเชิงตรรกะ| ]]
[[หมวดหมู่:ปรัชญาตรรกศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:อภิตรรกศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงประพจน์]]
[[หมวดหมู่:การให้เหตุผลแบบนิรนัย]]
[[หมวดหมู่:มโนทัศน์ทางตรรกศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:ไวยากรณ์ (ตรรกศาสตร์)]]
[[หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค]]