ดูต้นฉบับสำหรับ ผลคูณคาร์ทีเซียน

[[ไฟล์:Cartesian Product qtl1.svg|thumb|ผลคูณคาร์ทีเซียน <math>\scriptstyle A \times B</math> ของเซต <math>\scriptstyle A=\{x,y,z\}</math> และ <math>\scriptstyle B=\{1,2,3\}</math>]]

ในวิชา[[คณิตศาสตร์]] '''ผลคูณคาร์ทีเซียน''' เป็น[[การดำเนินการทางคณิตศาสตร์]]ซึ่งดำเนินการกับ[[เซต]]หลายเซตได้ผลเป็นเซต (หรือ '''เซตผลคูณ''') นั่นคือสำหรับเซต ''A'' และ ''B'' ผลคูณคาร์ทีเซียน {{nowrap|''A'' × ''B''}} เป็นเซตของทุก[[คู่อันดับ]] {{nowrap|(a, b)}} ที่ {{nowrap|a ∈ ''A''}} และ {{nowrap|b ∈ ''B''}}

กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียน คือ '''จัตุรัสคาร์ทีเซียน''' ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้าง[[ตาราง]]ได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ ''เซตของแถว'' กับ ''เซตของหลัก''  ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน {{nowrap|''แถว'' × ''หลัก''}} เซลล์ของตารางจะประกอบด้วยคู่อันดับในรูปแบบ {{nowrap|(ค่าของ''แถว'', ค่าของ ''หลัก'')}}

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต ''n'' เซตสามารถแสดงในรูป[[ทูเพิล]] ''n'' [[มิติ]] โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามแนวคิดของ [[เรอเน เดการ์ต]]<ref>cartesian (2014) ในพจนานุกรมออน์ไลน์ Merriam-Webster Online Dictionary เปิดเมื่อวันที่ 17 กุมภาพันธ์ 2014 จาก http://www.merriam-webster.com/dictionary/cartesian</ref> ผู้ริเริ่มวิชา[[เรขาคณิตวิเคราะห์]]

== ตัวอย่าง ==
=== สำรับไพ่ ===
ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพคือ[[ไพ่ป๊อก]] เซตเลขไพ่ {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} มีสมาชิก 13 ตัว และเซตหน้าไพ่ {{nowrap|{♠, ♥, ♦, ♣} }} มีสมาชิก 4 ตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองคือเซตคู่อันดับ 52 คู่ ซึ่งสัมพันธ์กับไพ่ทั้ง 52 ใบ 

{{nowrap|''เลขไพ่'' × ''หน้าไพ่''}} ทำให้เกิดเซต {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)} หรือ

{{nowrap|''หน้าไพ่'' × ''เลขไพ่''}} ทำให้เกิดเซต {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

=== ระบบพิกัดสองมิติ ===
ตัวอย่างจากวิชา[[เรขาคณิตวิเคราะห์]]คือ[[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน]] ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลลัพธ์จากการหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต ''X'' และ ''Y'' ที่หมายถึงจุดบนแกน x และแกน y ตามลำดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ {{nowrap|''X'' × ''Y''}} ผลคูณนี้เป็นเซตของ[[คู่อันดับ]]ทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่ละคู่อันดับมีสมาชิกอันดับที่หนึ่งเป็นสมาชิกของ ''X'' และสมาชิกอันดับที่สองเป็นสมาชิกของ ''Y'' (แต่ละคู่อันดับประกอบเป็น[[ระนาบ]] x–y ทั้งระนาบ) ในทางกลับกัน ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ {{nowrap|''Y'' × ''X''}} โดยสมาชิกของผลคูณนี้มีสมาชิกอันดับที่หนึ่งจากเซต ''Y'' และสมาชิกอันดับที่สองจากเซต ''X'' ผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่มี[[สมบัติการสลับที่]]

:<math>X\times Y = \{\,(x,y)\mid x\in X \ \land \ y\in Y\,\}</math> <ref>Warner, S: ''Modern Algebra'', page 6. Dover Press, 1990.</ref>
:<math>Y\times X = \{\,(y,x)\mid y\in Y \ \land \ x\in X\,\}</math>
:<math>X\times Y \neq Y\times X</math>

== การประยุกต์ใช้ทั่วไปในทฤษฎีเซต ==

นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของ[[ทฤษฎีเซต]]เป็นผลของนิยามของ[[คู่อันดับ]] นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือ[[คู่อันดับ#นิยามของ Kuratowski|นิยามของ Kuratowski]] ดังนี้ <math>(x, y) = \{\{x\},\{x, y\}\}</math> ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ <math>X\times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))</math> โดย <math>\mathcal{P}</math> เป็น [[เพาเวอร์เซต]] เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน [[ZFC]] เป็นผลจากสัจพจน์แห่ง[[สัจพจน์แห่งการจับคู่|การจับคู่]] [[สัจพจน์แห่งการยูเนียน|ยูเนียน]] [[สัจพจน์แห่งเพาเวอร์เซต|เพาเวอร์เซต]] และ [[สัจพจน์แห่งแผนการเจาะจง|การเจาะจง]] เพราะว่า[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]] มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ [[ความสัมพันธ์ (คณิตศาสตร์)|ความสัมพันธ์]] และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่
===การคูณคาร์ทีเซียนไม่มีสมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่===

ให้ <math>A</math> <math>B</math> และ <math>C</math> เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน <math> A \times B</math> ไม่สามารถ[[สมบัติการสลับที่|สลับที่]]ได้ นั่นคือ <math> A \times B \neq B \times A</math> เพราะ[[คู่อันดับ]]ถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข <ref name="cnx"/>
* <math>A = B</math>
* <math>A</math>เป็น[[เซตว่าง]]
* <math>B</math>เป็นเซตว่าง
เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ

ตัวอย่าง 
:<math>A = \{1,2\}</math> และ <math>B = \{1,3\}</math>

::<math> A \times B = \{1,2\} \times \{1,3\}= \{ (1,1), (1,3), (2,1), (2,3) \}</math>

::<math>B \times A = \{1,3\} \times \{1,2\} = \{(1,1), (1,2), (3,1), (3,2) \} </math>

::<math> A \times B \neq B \times A</math> 

:<math>A = B = \{1,2\}</math>

::<math> A \times B = B \times A = \{1,2\} \times \{1,2\}= \{ (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) \}</math>

:<math> A = \{1,2\} </math> และ <math>B = \{ \}</math>

::<math> A \times B = \{1,2\} \times \{ \} = \{ \} </math> 

::<math> B \times A = \{ \} \times \{1,2\} = \{ \} </math>

::<math> A \times B = B \times A</math> 

ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มี[[สมบัติการเปลี่ยนหมู่]] เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ

: ตัวอย่าง

:: <math>A = \{a\}</math>  <math>B = \{b\}</math> และ <math>C= \{c\}</math>

:: <math>(A \times B) \times C = ( \{a\}  \times  \{b\} )  \times  \{c\} =  \{(a,b)\}\times  \{c\} = \{((a,b),c)\} </math>

:: <math> A \times (B \times C) = \{a\}  \times ( \{b\}  \times  \{c\} ) = \{a\} \times  \{(b,c)\} = \{(a,(b,c))\} </math>

:: <math> (A \times B) \times C \neq A\times ( B \times C) </math>

===สมบัติเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชันและยูเนียน===

ให้ <math>A</math> <math>B</math> <math>C</math> และ <math>D</math> เป็นเซต

การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหา[[อินเตอร์เซกชัน]] ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

:<math>(A \times C) \cap (B \times D) = (A \cap B) \times (C \cap D)</math><ref name="planetmath">{{planetmath reference|id=359|title=CartesianProduct}}</ref>

แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหา[[ยูเนียน]] ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

:<math>(A \times C) \cup (B \times D) \neq (A \cup B) \times (C \cup D)</math>

:<math>(A \times C) \cup (B \times D) \subseteq (A \cup B) \times (C \cup D)</math>

มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:<ref name="cnx">Singh, S. (2009, August 27). ''Cartesian product''. Retrieved from the Connexions Web site: http://cnx.org/content/m15207/1.5/</ref>
:<math>A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)</math>
:<math>A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)</math>
:<math>A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)</math>
:<math>(A \times B)^c = (A^c \times B^c) \cup (A^c \times B) \cup (A \times B^c)</math><ref name="planetmath"/>

สมบัติเกี่ยวกับ[[เซตย่อย]]ได้แก่:
:ถ้า <math> A \subseteq B </math> แล้ว <math> A \times C \subseteq B \times C</math>
:ถ้าทั้ง<math>A</math>และ<math>B</math> ไม่เป็นเซตว่าง แล้ว <math> ( A \times B \subseteq C \times D \iff A \subseteq C \land B \subseteq D )</math><ref>Cartesian Product of Subsets. (2011, February 15). ''ProofWiki''. Retrieved 05:06, August 1, 2011 from http://www.proofwiki.org/w/index.php?title=Cartesian_Product_of_Subsets&oldid=45868 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210817211620/https://proofwiki.org/w/index.php?title=Cartesian_Product_of_Subsets&oldid=45868 |date=2021-08-17 }}</ref>

=== ภาวะเชิงการนับ ===
[[ภาวะเชิงการนับ]]ของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต <math>A = \{m, n\}</math> และ <math>B = \{0, 1\}</math> ทั้งเซต <math>A</math> และเซต <math>B</math> ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย <math>A \times B</math> เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:
: <math>A \times B = \{(m,0), (m,1), (n,0), (n,1)\}</math>

สมาชิกแต่ละตัวของ <math>A</math> จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ <math>B</math> แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์
จำนวนของค่าในแต่ละ[[หลายสิ่งอันดับ]]เท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2
ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ
:<math>|A \times B| = |A||B|</math>
และสามารถแสดงโดย[[การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์]]ว่า
:<math>|A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_n| = |A_1||A_2||A_3|...|A_n|</math>

ภาวะเชิงการนับของ <math>A \times B</math> เป็น[[อนันต์]]ถ้าเซต <math>A</math> หรือเซต <math>B</math> เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง<ref>Peter S. (1998). A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets. ''St. John's Review, 44''(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm</ref>

== จัตุรัสคาร์ทีเซียนและกำลังคาร์ทีเซียน ==
'''จัตุรัสคาร์ทีเซียน''' (หรือ '''ผลคูณคาร์ทีเซียนเชิงคู่''') ของเซต ''X'' คือผลคูณคาร์ทีเซียน {{nowrap|1=''X''<sup>2</sup> = ''X'' × ''X''}}
ตัวอย่างคือ[[ระนาบ]] {{nowrap|1='''R'''<sup>2</sup> = '''R''' × '''R'''}} เมื่อ '''R''' เป็นเซตของ[[จำนวนจริง]] ซึ่งหมายถึงทุกจุด{{nowrap|(''x'',''y'')}} ที่ ''x'' และ ''y'' เป็นจำนวนจริง (ดูหน้า [[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน]])

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

[[หมวดหมู่:มโนทัศน์เบื้องต้นในทฤษฎีเซต]]
[[หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค]]