ดูต้นฉบับสำหรับ ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกา

[[ไฟล์:clockAngles.jpg|thumb|แผนภาพแสดงมุมต่าง ๆ ที่เกิดจากเข็มของนาฬิกาแอนะล็อกที่กำลังแสดงเวลา 2:20]]
'''ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกา''' เป็น[[ประเทศไทย|ปัญหาทางคณิตศาสตร์]]ชนิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการหามุมระหว่างเข็มบนหน้าปัด[[นาฬิกาข้อมือ|นาฬิกาแอนะล็อก]] ซึ่งมีสองเข็มได้แก่ เข็มสั้นแทน[[ชั่วโมง]] และเข็มยาวแทน[[นาที]]

== ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ==
ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกาเกี่ยวกับการวัดสองชนิดได้แก่ [[มุม]] และ[[เวลา]] มุมโดยทั่วไปวัดจากขีดเลข 12 เวียนตามเข็มนาฬิกา ส่วนเวลาตามปกติก็ใช้พื้นฐานบน[[นาฬิกาข้อมือ|นาฬิกาสิบสองชั่วโมง]]

วิธีการที่จะแก้ปัญหาทำนองนี้คือการพิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมในหน่วยองศาต่อนาที เข็มสั้นบนหน้าปัดสิบสองชั่วโมงตามปกติจะหมุนครบรอบ 360 องศาเมื่อครบ 12 ชั่วโมง (720 นาที) นั่นคืออัตรา 0.5 องศาต่อนาที ส่วนเข็มยาวจะหมุนครบรอบ 360 องศาใน 60 นาที นั่นคืออัตรา 6 องศาต่อนาที

=== สูตรคำนวณมุมของเข็มสั้น ===
: <math>\theta_{\text{hr}} = \frac{1}{2}M_\Sigma = \frac{1}{2}(60H + M)</math>
เมื่อ
* ''θ'' คือมุมในหน่วยองศาของเข็มสั้น วัดตามเข็มนาฬิกาจากตำแหน่ง 12 นาฬิกา (หรือ 0 นาฬิกา)
* ''H'' คือจำนวนชั่วโมงที่ผ่านไปตั้งแต่ 12 นาฬิกา
* ''M'' คือจำนวนนาทีที่ผ่านไปจากชั่วโมงเต็ม
* ''M<sub>Σ</sub>'' คือจำนวนนาทีที่ผ่านไปตั้งแต่ 12 นาฬิกา

=== สูตรคำนวณมุมของเข็มยาว ===
: <math>\theta_{\text{min.}} = 6M</math>
เมื่อ
* ''θ'' คือมุมในหน่วยองศาของเข็มยาว วัดตามเข็มนาฬิกาจากตำแหน่ง 12 นาฬิกา
* ''M'' คือจำนวนนาที

==== ตัวอย่าง ====
กำหนดเวลาให้ 5:24 มุมของเข็มสั้นในหน่วยองศาเท่ากับ
: <math>\theta_{\text{hr}} = \frac{1}{2}(60 \times 5 + 24) = 162</math>
และมุมของเข็มยาวในหน่วยองศาเท่ากับ
: <math>\theta_{\text{min.}} = 6 \times 24 = 144</math>

=== สูตรคำนวณมุมระหว่างเข็มทั้งสอง ===
: <math>\begin{align}
\Delta\theta
 &= \left|\theta_{\text{hr}} - \theta_{\text{min.}}\right| \\
 &= \left|\frac{1}{2}(60H + M) - 6M\right|\\
 &= \left|\frac{1}{2}(60H - 11M)\right|
\end{align}</math>
เมื่อ
* ''H'' คือจำนวนชั่วโมง
* ''M'' คือจำนวนนาที

==== ตัวอย่าง ====
กำหนดเวลาให้ 11:8 มุมระหว่างเข็มทั้งสองในหน่วยองศาเท่ากับ
: <math>\begin{align}
\Delta\theta 
 &= \left|\frac{1}{2}(60 \times 2 - 11 \times 20)\right|\\
 &= \left|\frac{1}{2}(120 - 220)\right|\\
 &= 50
\end{align}</math>

=== เวลาใดบ้างที่เข็มทั้งสองทับกันพอดี ===
เวลาที่เข็มสั้นและเข็มยาวทับกันพอดี หมายถึง เวลาที่มุมของเข็มสั้นและเข็มยาวเท่ากันพอดี คำนวณได้จาก
: <math>\begin{align}
\theta_{\text{hr}} &= \theta_{\text{min.}}\\
\Rightarrow \frac{1}{2}(60H + M) &= 6M\\
\Rightarrow 11M &= 60H\\
\Rightarrow M &= \frac{60}{11}H\\
\Rightarrow M &= 5.\overline{45}H
\end{align}</math>

''H'' คือจำนวนชั่วโมงเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 11 ดังนั้นเราจะได้คำตอบว่าเวลาที่เข็มทั้งสองทับกันพอดีได้แก่ 0:00, 1:05.{{overline|45}}, 2:10.{{overline|90}}, 3:16.{{overline|36}}, ฯลฯ (เวลา 0.{{overline|45}} นาทีมีค่าอย่างแม่นยำเท่ากับ 27.{{overline|27}} วินาที)

== ดูเพิ่ม ==
* [[ตำแหน่งพิกัด|ตำแหน่งนาฬิกา]]

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
* http://www.delphiforfun.org/Programs/clock_angle.htm {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100615083701/http://delphiforfun.org/Programs/clock_angle.htm |date=2010-06-15 }}
* http://www.ldlewis.com/hospital_clock/ - extensive clock angle analysis
* http://www.jimloy.com/puzz/clock1.htm {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100608044951/http://www.jimloy.com/puzz/clock1.htm |date=2010-06-08 }}

[[หมวดหมู่:การศึกษาคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:คณิตศาสตร์มูลฐาน]]
[[หมวดหมู่:เรขาคณิตมูลฐาน]]
[[หมวดหมู่:ปัญหาทางคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:นาฬิกา]]