ดูต้นฉบับสำหรับ บทนำกลศาสตร์ควอนตัม

{{บทนำ|กลศาสตร์ควอนตัม}}
{{กลศาสตร์ควอนตัม}}

'''กลศาสตร์ควอนตัม''' ({{langx|en|quantum mechanics}}) เป็นการศึกษาเกี่ยวกับ[[สสาร]]และปฏิสัมพันธ์ระหว่างสสารกับ[[พลังงาน]]ใน[[อันดับของขนาด (ความยาว)|ระดับ]]อนุภาค[[อะตอม]]และ[[อนุภาคมูลฐาน|อนุภาคย่อยของอะตอม]] ต่างจาก[[ฟิสิกส์ดั้งเดิม]]ที่จะอธิบายสสารและพลังงานในระดับที่ประสบการณ์ของมนุษย์คุ้นเคยเท่านั้น ซึ่งรวมถึงพฤติกรรมของวัตถุทางดาราศาสตร์เช่น ดวงจันทร์ ฟิสิกส์ดั้งเดิมยังคงมีการใช้งานในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีสมัยใหม่ อย่างไรก็ตาม ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 นักวิทยาศาสตร์ได้ค้นพบปรากฏการณ์ทั้งในโลกขนาดใหญ่ (มหทรรศน์) และโลกขนาดเล็ก (จุลทรรศน์) ที่ไม่สามารถใช้ฟิสิกส์ดั้งเดิมอธิบายได้<ref>{{cite web|title=Quantum Mechanics|url=https://www.pbs.org/transistor/science/info/quantum.html|publisher=[[National Public Radio]]|access-date=22 June 2016}}</ref> ความปรารถนาที่จะแก้ไขความไม่สอดคล้องกันระหว่างปรากฏการณ์ที่สังเกตได้กับทฤษฎีคลาสสิกได้นำไปสู่การปฏิวัติทางฟิสิกส์ที่ทำให้[[กระบวนทัศน์|กระบวนทัศน์ทางวิทยาศาสตร์]]ดั้งเดิมเปลี่ยนไปอย่างสิ้นเชิงนั่นคือการพัฒนาของ''กลศาสตร์ควอนตัม''<ref>Kuhn, Thomas S. ''The Structure of Scientific Revolutions''. Fourth ed. Chicago; London: The University of Chicago Press, 2012. Print.</ref>

กลศาสตร์ควอนตัมหลายแง่มุมนั้นขัดกับสัญชาตญาณ และอาจดู[[ปฏิทรรศน์|ขัดแย้งกัน]]เอง<ref>{{cite web |url=https://www.socratease.in/chapters/intro/intro-to-quantum-mechanics-1 |title=Introduction to Quantum Mechanics |archive-date=2017-09-15|website = Socratease |archive-url = https://web.archive.org/web/20170915203853/https://www.socratease.in/chapters/intro/intro-to-quantum-mechanics-1 }}</ref> เพราะแง่มุมเหล่านั้นอธิบายพฤติกรรมสิ่งที่ค่อนข้างแตกต่างจากที่เห็นเมื่อมองในระดับที่ใหญ่กว่า นักฟิสิกส์ควอนตัม [[ริชาร์ด ไฟน์แมน]] ได้กล่าวว่ากลศาสตร์ควอนตัมเกี่ยวข้องกับ "ธรรมชาติในทางที่ไร้เหตุผล"<ref>{{cite book|last=Feynman|first=Richard P.|title=QED : the strange theory of light and matter |year=1988|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|isbn=978-0691024172|pages=[https://archive.org/details/qedstrangetheory00feyn/page/10 10]|edition=1st Princeton pbk., seventh printing with corrections.|url= https://archive.org/details/qedstrangetheory00feyn/page/10}}</ref> คุณลักษณะของกลศาสตร์ควอนตัมมักท้าทายการอธิบายง่าย ๆ ในภาษาประจำวัน ตัวอย่างหนึ่งคือ [[หลักความไม่แน่นอน]] เมื่อเราไม่สามารถวัดตำแหน่งและความเร็วที่แม่นยำพร้อมกันได้ ยิ่งวัดค่าใดค่าหนึ่งให้แม่นยำมากขึ้น อีกค่าจะประพฤติตัวให้มีความแม่นยำน้อยลงเท่านั้น โดยไม่เกี่ยวกับความละเอียดของอุปกรณ์วัดแต่อย่างใด อีกตัวอย่างหนึ่งคือ [[การพัวพันเชิงควอนตัม]] ในบางสถานการณ์ อนุภาคสองตัวที่มีปฏิสัมพันธ์กันมาก่อนสามารถ "พัวพันกัน" ได้ การวัดค่าที่ทำต่ออนุภาคหนึ่ง (เช่น อิเล็กตรอนที่ถูกวัดว่ามีค่าสปินขึ้น) จะมีความสัมพันธ์ทางสถิติกับผลลัพธ์ของการวัดที่เท่ากันบนอนุภาคอีกตัว (ซึ่งมีแนวโน้มที่จะมีค่าสปินลง) ปรากฏการณ์นี้ยังคงเกิดขึ้นแม้ว่าอนุภาคทั้งสองอาจอยู่ห่างไกลกันมากจนเป็นไปไม่ได้ที่ผลการวัดครั้งแรกจะถูกส่งไปยังอนุภาคที่สองได้ทันเวลาก่อนที่การวัดครั้งที่สองจะเกิดขึ้น

กลศาสตร์ควอนตัมช่วยให้เราเข้าใจ[[เคมี]] เพราะมันอธิบายว่าอะตอมมีปฏิสัมพันธ์ต่อกันอย่างไรและก่อตัวเป็น[[โมเลกุล]]ได้อย่างไร ปรากฏการณ์ที่น่าทึ่งหลายอย่างสามารถอธิบายได้โดยใช้กลศาสตร์ควอนตัม เช่น ภาวะ[[ของไหลยวดยิ่ง]] [[ฮีเลียม]]เหลวในภาชนะซึ่งเย็นจัดจนมีอุณหภูมิใกล้[[ศูนย์สัมบูรณ์]]จะสามารถไหลต้าน[[แรงโน้มถ่วง]]ขึ้นเองจนพ้นเหนือขอบภาชนะ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่ฟิสิกส์ดั้งเดิมไม่สามารถอธิบายได้

== ทฤษฎีควอนตัมทฤษฎีแรก: มัคส์ พลังค์และการแผ่รังสีของวัตถุดำ ==
[[ไฟล์:Max Planck 1878.GIF|thumb|upright|พลังค์ในวัยผู้ใหญ่ตอนต้น (ค.ศ. 1878)]]

[[การแผ่รังสีความร้อน|รังสีความร้อน]]คือรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่ปล่อยออกมาจากพื้นผิวของวัตถุเนื่องจากพลังงานภายในของวัตถุ หากวัตถุนั้นได้รับความร้อนมากพอมันจะเริ่มเปล่งแสงสีแดงของ[[สเปกตรัม]]ออกมา

เมื่อวัตถุนั้นได้รับความร้อนต่อไปจะทำให้สีเปลี่ยนจากแดงเป็นเหลือง ขาว และน้ำเงินตามลำดับ เนื่องจากแสงที่วัตถุปล่อยออกมามีความยาวคลื่นสั้นลงเรื่อย ๆ (และความถี่สูงขึ้นเรื่อย ๆ) ตัวปล่อยแสงที่สมบูรณ์แบบคือตัวดูดซับที่สมบูรณ์แบบ เมื่อวัตถุดังกล่าวเย็นลงจะดูเป็นสีดำสนิท เพราะมันดูดซับแสงที่ตกกระทบไว้ทั้งหมดและไม่เปล่งแสงออกมาเลย ตัวปล่อยรังสีความร้อนในอุดมคติจึงถูกเรียกว่า[[วัตถุดำ]] และรังสีที่ถูกปล่อยออกมาเรียกว่า[[การแผ่รังสีของวัตถุดำ|รังสีของวัตถุดำ]]

ช่วงปลายศตวรรษที่ 19 นักวิทยาศาสตร์สามารถอธิบายการแผ่รังสีความร้อนค่อนข้างดีตามการทดลอง อย่างไรก็ตาม ฟิสิกส์ดั้งเดิมที่นำไปสู่[[Rayleigh–Jeans law|กฎของเรย์ลีห์-ยีนส์]]ดังที่แสดงในรูปกราฟด้านล่าง สามารถทำนายผลการทดลองได้อย่างถูกต้องเมื่อคลื่นของรังสีมีความถี่ต่ำ แต่ไม่ถูกต้องเลยกับคลื่นที่มีความถี่สูง นักฟิสิกส์จึงต้องค้นหาทฤษฎีเดียวที่จะอธิบายผลการทดลองได้ทั้งหมด

แบบจำลองแรกที่สามารถอธิบายสเปกตรัมของการแผ่รังสีความร้อนทั้งหมดได้รับการเสนอโดย[[มัคส์ พลังค์]] ในปี ค.ศ. 1900<ref>This result was published (in German) as {{Cite journal|first=Max |last=Planck |author-link=Max Planck |title=Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum |journal=[[Annalen der Physik|Ann. Phys.]] |year=1901 |volume=309 |issue=3 |pages=553–63 |doi=10.1002/andp.19013090310 |bibcode=1901AnP...309..553P |doi-access=free }}. English translation: {{cite web |url=http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Planck-1901/Planck-1901.html |title=On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum |archive-url=https://web.archive.org/web/20080418002757/http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Planck-1901/Planck-1901.html |archive-date=18 April 2008 }}</ref> เขาเสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ให้การแผ่รังสีความร้อนอยู่ในสภาวะสมดุลด้วยชุดของ[[ตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิก]] (harmonic oscillator) เพื่อให้ผลการทดลองทำซ้ำได้ เขาต้องตั้งสมมุติฐานว่าตัวแกว่งกวัดแต่ละตัวปล่อยพลังงานเป็นจำนวนเต็มหน่วยที่ความถี่เฉพาะความถี่เดียวแทนที่จะปล่อยพลังงานออกมาตามใจชอบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง พลังงานที่ปล่อยออกมาจากตัวแกว่งกวัดนั้นถูก''แจงออกเป็นหน่วย'' ค่า[[ควอนตัม]]ของพลังงานของตัวแกว่งกวัดแต่ละตัวตามข้อมูลของพลังค์นั้นเป็นสัดส่วนกับความถี่ของตัวแกว่งกวัด ค่าคงตัวของสัดส่วนถูกเรียกกันในปัจจุบันว่า [[ค่าคงตัวของพลังค์]] มักแทนด้วยสัญลักษณ์ <math>h</math> มีค่า {{val|6.63|e=-34|u=J s}} ดังนั้นพลังงาน <math>E</math> ของตัวแกว่งกวัดที่ความถี่ <math>f</math> จึงถูกกำหนดว่า
:<math>E = nhf\quad</math> โดยที่ <math>\quad n = 1,2,3,\ldots</math><ref>{{cite book
 | title = Mechanics, Wave Motion, and Heat
 | author = Francis Weston Sears
 | publisher = Addison-Wesley
 | year = 1958
 | page = 537
 | url = https://books.google.com/books?q=%22Mechanics%2C+Wave+Motion%2C+and+Heat%22+%22where+n+%3D+1%2C%22&btnG=Search+Books}}</ref>

หากเราต้องการเปลี่ยนสีของวัตถุที่แผ่รังสีเราจำเป็นต้องเปลี่ยนอุณหภูมิของมัน [[กฎของพลังค์]]ได้อธิบายว่าการเพิ่มอุณหภูมิให้กับวัตถุทำให้วัตถุนั้นปลดปล่อยพลังงานโดยรวมออกมามากขึ้น และสัดส่วนของพลังงานที่มากขึ้นจะเลื่อนไปยังปลายสีม่วงของสเปกตรัม

กฎของพลังค์เป็นทฤษฎีควอนตัมทฤษฎีแรกในฟิสิกส์ พลังค์ได้รับรางวัลโนเบลในปี ค.ศ. 1918 "ให้ไว้เพื่อความระลึกถึงผลงานที่เขาได้มอบให้เพื่อความก้าวหน้าของฟิสิกส์ด้วยการค้นพบพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง (energy quanta)"<ref>{{cite web | url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1918/ | title=The Nobel Prize in Physics 1918 | publisher=[[Nobel Foundation]] | access-date=2009-08-01}}</ref> อย่างไรก็ตาม ในเวลานั้นพลังค์มีมุมมองว่า''การแจงเป็นหน่วย'' (quantization) เป็นเพียงโครงสร้างของคณิตศาสตร์แบบ[[วิทยาการศึกษาสำนึก|ศึกษาสำนึก]]มากกว่าที่จะเป็นการเปลี่ยนแปลงในระดับรากฐานต่อความเข้าใจโลกของมนุษย์อย่างที่เชื่อกันในปัจจุบัน<ref name="Kragh">{{Cite web | first = Helge | last = Kragh | url = http://physicsworld.com/cws/article/print/373 | title = Max Planck: the reluctant revolutionary | publisher = PhysicsWorld.com | date = 1 December 2000 | access-date = 2024-03-11 | archive-date = 2012-04-01 | archive-url = https://web.archive.org/web/20120401221617/http://physicsworld.com/cws/article/print/373 | url-status = dead }}</ref>

{|style="margin: 0 auto;"
| [[ไฟล์:Hot metalwork.jpg|thumb|upright=1.5|ภาพจากงานโลหะร้อน แสงสีส้มเหลืองเป็นรังสีความร้อนเพียงบางส่วนที่มนุษย์มองเห็นที่ปล่อยออกมาเนื่องจากอุณหภูมิสูง สิ่งอื่น ๆ ในภาพเรืองแสงด้วยรังสีความร้อนเช่นกัน แต่สว่างน้อยกว่าและมีความยาวคลื่นมากกว่าที่ตามนุษย์จะมองเห็นได้ กล้องอินฟราเรดสามารถสังเกตการแผ่รังสีนี้ได้]]
| [[ไฟล์:RWP-comparison.svg|thumb|upright=1.5|การทำนายปริมาณรังสีความร้อนในค่าความถี่ต่าง ๆ ที่วัตถุหนึ่งปล่อยออกมา ค่าที่ถูกต้องซึ่งทำนายโดยกฎของพลังค์ (กราฟสีเขียว) ต่างกับค่าดั้งเดิมที่คำนวณโดย[[Rayleigh–Jeans law|กฎของเรย์ลี-ยีนส์]] (สีแดง) และ[[Wien approximation|การประมาณของวีน]] (สีน้ำเงิน)]]
|}

== โฟตอน: การทำแสงให้เป็นควอนตัม ==
[[ไฟล์:Einstein patentoffice.jpg|thumb|upright|[[อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์]] ประมาณปี 1905]]

ในปี 1905 [[อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์]] เสนอว่าวิธีคิดแบบการแจงหน่วยไม่ได้เป็นเพียงภาพสร้างทางคณิตศาสตร์ หากแต่เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริงในธรรมชาติ พลังงานได้เกิดขึ้นเป็นกลุ่มก้อนในลำแสงจริง ซึ่งกลุ่มก้อนของพลังงานแสงถูกเรียกกันในปัจจุบันว่า [[โฟตอน]] (photon)<ref>{{cite journal | last = Einstein | first = Albert | author-link = Albert Einstein | title = Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt | journal = Annalen der Physik | volume = 17 | pages = 132–48 | year = 1905 | bibcode = 1905AnP...322..132E | doi = 10.1002/andp.19053220607 | issue = 6 | doi-access = free }}, translated into English as [http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_lq.pdf On a Heuristic Viewpoint Concerning the Production and Transformation of Light] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090611234106/http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_lq.pdf |date=11 June 2009 }}.  The term "photon" was introduced in 1926.</ref> [[พลังงานโฟตอน|พลังงานของโฟตอนเดี่ยว]]ที่ความถี่ <math>f</math> มีค่าเท่ากับความถี่คูณกับค่าคงที่ของพลังค์ <math>h</math> (ซึ่งเป็นจำนวนบวกที่น้อยมาก) เขียนเป็นสมการว่า
:<math>E = hf</math>

เป็นเวลาหลายศตวรรษที่นักวิทยาศาสตร์ถกเถียงกันเรื่องธรรมชาติของแสงที่เป็นไปได้สองทฤษฎี ฝั่งหนึ่งกล่าวว่าแสงเป็น[[คลื่น]] อีกฝั่งกล่าวว่าแสงคือ[[ทฤษฎีคอพัสคิวลาร์ของแสง|กระแสของอนุภาคขนาดเล็ก]] เมื่อถึงคริสต์ศตวรรษที่ 19 การถกเถียงโดยส่วนใหญ่แสดงการยอมรับทฤษฎีคลื่น เพราะทฤษฎีดังกล่าวสามารถอธิบายปรากฏการณ์ของแสงที่สังเกตได้ เช่น [[การหักเห]] [[การเลี้ยวเบน]] [[การแทรกสอด]] และ[[โพลาไรเซชัน]]<ref>{{cite web|url=https://www.encyclopedia.com/science/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/revival-wave-theory-light-early-nineteenth-century|title=Revival of the Wave Theory of Light in the Early Nineteenth-Century |website=www.encyclopedia.com|access-date=16 October 2018}}</ref> นอกจากนี้ [[เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์]] ได้แสดงให้เห็นว่าไฟฟ้า แม่เหล็ก และแสงล้วนเป็นการแสดงของปรากฏการณ์เดียวกันนั่นคือ[[สนามแม่เหล็กไฟฟ้า]] [[สมการของแมกซ์เวลล์]] ซึ่งเป็นชุดของกฎที่สมบูรณ์ของ[[แม่เหล็กไฟฟ้าดั้งเดิม]] อธิบายว่าแสงเป็นคลื่นหรือเป็นผลมาจากการรวมกันของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่แกว่งไปมา จากหลักฐานที่ สนับสนุนทฤษฎีคลื่นของแสงมีมากกว่า ทำให้แนวคิดของไอน์สไตน์ในขณะนั้นจึงถูกตั้งข้อสงสัยเป็นอย่างมาก อย่างไรก็ตามภายหลังแบบจำลองโฟตอนจึงได้รับความนิยม หลักฐานสำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งที่สนับสนุนแบบจำลองนี้คือความสามารถในการอธิบายคุณสมบัติที่ทำให้ฉงนหลายประการของปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกซึ่งจะอธิบายในหัวข้อถัดไป อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีคลื่นยังคงถูกใช้อธิบายคุณสมบัติอื่น ๆ ของแสงซึ่งได้แก่ [[การเลี้ยวเบน]] [[การหักเห]] และ[[การแทรกสอด]] อย่างขาดไม่ได้

=== ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก ===
[[ไฟล์:Photoelectric effect in a solid - diagram.svg|thumb|เมื่อมีแสงส่องกระทบพื้นผิวโลหะ (ซ้าย) หากความถี่ของแสงนั้นสูงพอ กล่าวคือถ้าแสงให้พลังงานแก่อิเล็กตรอนเพียงพอ อิเล็กตรอนจะถูกปลดปล่อยออกจากโลหะ (เม็ดสีแดง)]]
{{Main|ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก}}

ปี ค.ศ. 1887 [[ไฮน์ริช แฮทซ์]]สังเกตว่าเมื่อแสงที่มีความถี่เพียงพอกระทบพื้นผิวโลหะ พื้นผิวจะปลดปล่อยอิเล็กตรอนออกมา<ref name="taylor_127-9">{{cite book|last1=Taylor|first1=J. R.|last2=Zafiratos|first2=C. D.|last3= Dubson|first3=M. A.|year=2004|title=Modern Physics for Scientists and Engineers|url=https://archive.org/details/modernphysicsfor0000tayl_g2z8|publisher=Prentice Hall|pages= [https://archive.org/details/modernphysicsfor0000tayl_g2z8/page/n146 127]–29|isbn=0135897890}}</ref> ต่อมาในปี ค.ศ. 1902 [[ฟิลิปป์ เลนาร์ด]]ค้นพบว่าพลังงานสูงสุดที่เป็นไปได้ของอิเล็กตรอนที่หลุดออกมานั้นสัมพันธ์กับ[[ความถี่]]ของแสง ไม่ใช่[[ความเข้ม]]ของแสง หากแสงมีความถี่ต่ำเกินไป จะไม่มีอิเล็กตรอนถูกปลดปล่อยออกมาไม่ว่าแสงจะมีความเข้มมากเพียงใด ลำแสงที่มีความเข้มสูงจากปลายสีแดงของแถบสเปกตรัมอาจไม่สร้างศักย์ไฟฟ้าเลย ในขณะที่ลำแสงความเข้มต่ำเมื่อยิ่งเข้าใกล้ปลายสีม่วงของแถบสเปกตรัมจะยิ่งสร้างแรงดันไฟฟ้าสูงขึ้น ความถี่แสงที่ต่ำสุดที่ทำให้อิเล็กตรอนถูกปลดปล่อยออกมาได้เรียกว่า ''ความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน'' (threshold frequency) ซึ่งมีค่าแตกต่างกันไปตามโลหะแต่ละชนิด การสังเกตนี้ขัดแย้งกับแม่เหล็กไฟฟ้าแบบดั้งเดิม ซึ่งทำนายว่าพลังงานของอิเล็กตรอนควรเป็นสัดส่วนกับความเข้มของรังสีที่ตกกระทบ<ref name="Hawking">{{cite book |last1=Hawking |first1=Stephen |author-link1=Stephen Hawking |date=November 6, 2001 |year=2001 |orig-date=November 5, 2001 |title=The Universe in a Nutshell |url=https://fb2bookfree.com/science/831-the-universe-in-a-nutshell.html |language=en |volume=55 |others=Impey, C.D.|publisher=Bantam Spectra|publication-date=April 2002 |page=80~ |doi=10.1063/1.1480788 |isbn=978-0553802023 |s2cid=120382028 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200921192954/https://fb2bookfree.com/science/831-the-universe-in-a-nutshell.html |archive-date=September 21, 2020 |access-date=December 14, 2020 |via=Random House Audiobooks}} [https://archive.org/details/StephenHawkingTheUniverseInANutshellBookFi Alt URL] </ref>{{rp|24}} ดังนั้น เมื่อนักฟิสิกส์ประดิษฐ์อุปกรณ์ที่แสดงปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกได้เป็นครั้งแรก พวกเขาคาดว่าความเข้มของแสงที่สูงขึ้นจะสร้างแรงดันไฟฟ้าที่สูงขึ้น

ไอน์สไตน์อธิบายปรากฏการณ์นี้โดยตั้งสมมติฐานว่าลำแสงเป็นกระแสของอนุภาค ([[โฟตอน]]) และถ้าลำแสงมีความถี่ <math>f</math> แล้วแต่ละโฟตอนจะมีพลังงานเท่ากับ <math>hf</math> <ref name="taylor_127-9" /> อิเล็กตรอนมีแนวโน้มที่จะถูกชนด้วยโฟตอนเพียงตัวเดียว ซึ่งส่งพลังงานให้กับอิเล็กตรอนมากที่สุดที่ค่า <math>hf</math> <ref name="taylor_127-9" /> ดังนั้นความเข้มของลำแสงจึงไม่มีผล และมีเพียงความถี่เท่านั้นที่กำหนดพลังงานสูงสุดที่สามารถส่งให้กับอิเล็กตรอนได้<ref name="taylor_127-9" />

ในการอธิบายความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน ไอน์สไตน์แย้งว่าต้องใช้พลังงานปริมาณหนึ่งที่เรียกว่า ''[[ฟังก์ชันงาน]]'' (work function) แทนด้วยสัญลักษณ์ <math>\varphi</math> ในการดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ<ref name="taylor_127-9" /> พลังงานปริมาณนี้แตกต่างกันไปตามโลหะแต่ละชนิด ถ้าพลังงานของโฟตอนมีค่าน้อยกว่าฟังก์ชันงาน พลังงานจะไม่เพียงพอที่จะดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ ความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน <math>f_0</math> คือความถี่ของโฟตอนที่สร้างพลังงานเท่ากับฟังก์ชันงาน:
:<math>\varphi = h f_0</math>

ถ้าหาก <math>f</math> มีค่ามากกว่า <math>f_0</math> พลังงาน <math>hf</math> ก็เพียงพอที่จะดึงอิเล็กตรอนออก อิเล็กตรอนที่ถูกปลดปล่อยออกมาจะมี[[พลังงานจลน์]] <math>E_K</math> ซึ่งมีค่ามากที่สุดเท่ากับพลังงานของโฟตอนลบด้วยพลังงานที่จำเป็นในการดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ:
:<math>E_K = hf - \varphi = h(f - f_0)</math>

คำอธิบายของไอน์สไตน์เกี่ยวกับแสงที่ประกอบด้วยอนุภาคได้ขยายแนวคิดของพลังค์เกี่ยวกับพลังงานเชิงการแจงหน่วย ซึ่งก็คือโฟตอนเดี่ยวที่มีความถี่ <math>f</math> จะให้ปริมาณของพลังงานที่ไม่แปรผันที่ค่า <math>hf</math> กล่าวอีกนัยหนึ่ง โฟตอนแต่ละตัวจะมีพลังงานมากหรือน้อย ขึ้นอยู่กับความถี่เท่านั้น โฟตอนเดี่ยวแทบไม่เคยถูกพบในธรรมชาติ ดวงอาทิตย์และแหล่งกำเนิดรังสีทั้งหลายจากศตวรรษที่ 19 ปล่อยโฟตอนจำนวนมหาศาลออกมาทุก ๆ วินาที ทำให้ความสำคัญของพลังงานที่โฟตอนเดี่ยวแต่ละตัวมีไม่ชัดเจน แนวคิดของไอน์สไตน์ที่ว่าพลังงานที่บรรจุอยู่ในหน่วยแสงแต่ละหน่วยขึ้นอยู่กับความถี่ของแสงทำให้เราอธิบายผลการทดลองที่ดูขัดกับสัญชาตญาณได้ อย่างไรก็ตาม แม้ว่าโฟตอนจะเป็นอนุภาค มันก็ยังคงได้รับการอธิบายว่ามีคุณสมบัติของความถี่คล้ายคลื่น สุดท้ายแล้ว การอธิบายว่าแสงเป็นอนุภาคจึงยังไม่เพียงพอ และยังจำเป็นต้องมีคำอธิบายต่อธรรมชาติที่เหมือนคลื่นของมัน<ref>{{cite book|last1= Dicke|first1=Robert Henry|last2 = Wittke |first2 =James P.|title = Introduction to Quantum Mechanics|page= 12|publisher = Addison-Wesley Publishing Company |date = 1960|isbn =978-0201015102}}</ref>

=== ผลของแนวคิดแสงเป็นควอนตัม ===
ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าและพลังงานของโฟตอนแต่ละตัวสามารถนำมาอธิบายได้ว่าเพราะเหตุใดแสง[[อัลตราไวโอเลต]]ทำให้เกิดอาการ[[ผิวไหม้จากแสงอาทิตย์]]ได้ แต่แสงที่ตามนุษย์มองเห็นหรือแสง[[อินฟราเรด]]ไม่สามารถทำให้เกิดอาการเดียวกันได้ โฟตอนของแสงอัลตราไวโอเลตบรรจุพลังงานปริมาณมากเพียงพอที่จะทำให้เซลล์เสียหาย อย่างเช่นการถูกแดดเผา โฟตอนของแสงอินฟราเรดให้[[พลังงาน]]น้อยกว่า เพียงพอที่จะทำให้ผิวหนังรู้สึกอุ่นเท่านั้น เพราะฉะนั้น หลอดอินฟราเรดจึงสามารถอุ่นพื้นผิวขนาดใหญ่ บางทีอาจมากพอที่จะทำให้มนุษย์รู้สึกสบายในห้องที่เย็น แต่ไม่สามารถทำให้ผิวหนังของใครไหม้ได้<ref>[https://www.livescience.com/50326-what-is-ultraviolet-light.html Jim Lucas: 'What Is Ultraviolet Light?', 15 September 2017, at livescience.com] Accessed 27 December 2017</ref>

โฟตอนทุกตัวที่มีความถี่เดียวกันจะมีพลังงานเท่ากัน และโฟตอนทุกตัวที่มีความถี่ต่างกันจะมีพลังงานต่างกันตามสัดส่วน (ลำดับชั้นที่ 1, {{math|''E''<sub>photon</sub> {{=}} ''hf''}} )<ref>[http://www.chemteam.info/Electrons/LightEquations2.html 'Two Equations Governing Light's Behavior: Part Two E = hν' at chemteam.info] Accessed 27 December 2017</ref> อย่างไรก็ตาม แม้ว่าพลังงานที่โฟตอนให้จะไม่แปรผัน ณ ความถี่ใดความถี่หนึ่ง สถานะพลังงานเริ่มต้นของอิเล็กตรอนในอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกก่อนการดูดกลืนแสงไม่จำเป็นต้องเหมือนกันเสมอไป ผลลัพธ์ที่ผิดปกติอาจเกิดขึ้นในกรณีของอิเล็กตรอนแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนที่อยู่ในสถานะกระตุ้นเหนือระดับสมดุลของอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกอาจถูกดึงออกทันทีที่มันดูดซับแสงที่มีความถี่ต่ำกว่าความถี่ปกติมาก อย่างไรก็ตาม ในทางสถิติแล้วพฤติกรรมลักษณะเฉพาะของอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกจะสะท้อนถึงพฤติกรรมของอิเล็กตรอนส่วนใหญ่ซึ่งอยู่ในระดับสมดุล ประเด็นนี้ช่วยอธิบายความแตกต่างระหว่างการศึกษาอนุภาคเดี่ยวขนาดเล็กในพลศาสตร์ควอนตัม (quantum dynamics) และการศึกษาอนุภาคเดี่ยวขนาดใหญ่ในฟิสิกส์ดั้งเดิม

== การทำสสารให้เป็นควอนตัม: แบบจำลองอะตอมของโปร์ ==
เมื่อถึงต้นศตวรรษที่ 20 มีการค้นพบว่าอะตอมประกอบด้วยหมอกของ[[อิเล็กตรอน]]ที่มีประจุลบล้อมรอบ[[นิวเคลียสของอะตอม|นิวเคลียส]]ที่มีประจุบวกซึ่งมีขนาดเล็กและหนาแน่น จึงจำเป็นต้องมีแบบจำลองอะตอมเพื่อมาอธิบาย ข้อเสนอแบบจำลองแรกอธิบายว่าอิเล็กตรอนหมุนรอบนิวเคลียสเหมือนที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดาวฤกษ์ตามทฤษฎีฟิสิกส์ดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันดีว่าอะตอมในแบบจำลองนี้จะไม่เสถียร อิเล็กตรอนที่โคจรอยู่รอบนิวเคลียสจะตกอยู่ภายใต้ความเร่งสู่ศูนย์กลางเนื่องจากการหมุนและปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าออกมาอยู่ตลอดเวลา ทำให้มันสูญเสียพลังงานและค่อย ๆ หมุนวนเข้าหานิวเคลียสและชนกันโดยใช้เวลาเพียงเสี้ยววินาที

ปริศนาข้อสองที่เกี่ยวข้องคือ[[สเปกตรัมเปล่งออก|สเปกตรัมที่อะตอมเปล่งออก]]มา เมื่อแก๊สได้รับความร้อน มันจะเปล่งแสงที่มีความถี่เฉพาะและไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ตัวอย่างเช่น แสงที่มองเห็นได้ซึ่งปล่อยออกมาจากอะตอม[[ไฮโดรเจน]] จะประกอบด้วยสีที่ต่างกัน 4 สี ดังที่แสดงในภาพด้านล่าง ความเข้มของแสงที่ความถี่ต่าง ๆ ก็ต่างกันด้วย ในทางตรงกันข้าม แสงสีขาวจะมีสเปกตรัมเปล่งออกที่ต่อเนื่องตลอดช่วงความถี่ที่มองเห็นทั้งหมด ช่วงปลายศตวรรษที่ 19 มีกฎง่าย ๆ ที่เรียกว่า[[ลำดับบัลเมอร์|สูตรของบัลเมอร์]] อธิบายว่าความถี่แต่ละเส้นสัมพันธ์กันอย่างไร หากแต่ไม่ได้อธิบายว่าเพราะเหตุใดจึงเป็นเช่นนี้ และไม่สามารถใช้ทำนายความเข้มได้ สูตรดังกล่าวยังได้ทำนายเส้นสเปกตรัมเพิ่มเติมในช่วงแสงอัลตราไวโอเลตและอินฟราเรดที่ยังไม่เคยมีการทดลองในขณะนั้น ต่อมาจึงมีการทดลองและสามารถสังเกตเห็นเส้นสเปกตรัมเหล่านี้ได้จริง สูตรนี้จึงได้รับการยอมรับมากขึ้น

{{wide image|Emission spectrum-H.svg |757px|[[สเปกตรัมเปล่งออก|สเปกตรัมที่ไฮโดรเจนเปล่งออก]]มา เมื่อแก๊ส[[ไฮโดรเจน]]ได้รับความร้อนจะเปล่งแสงออกมาด้วยสเปกตรัมที่มองเห็นได้ 4 สีที่ต่างกัน (เส้นสเปกตรัม) นอกจากนี้ยังมีเส้นอีกจำนวนมากในช่วงอินฟราเรดและอัลตราไวโอเลต}}


{{hidden begin|border=1px #aaa solid|titlestyle=text-align:center|title=สูตรทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายสเปกตรัมเปล่งออกของไฮโดรเจน}}
เมื่อปี 1885 [[โยฮัน บัลเมอร์]] นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสได้ค้นพบว่าสเปกตรัมที่มองเห็นได้ของไฮโดรเจนมีความยาวคลื่น {{math|''λ''}} (แลมบ์ดา) ที่สัมพันธ์กับจำนวนเต็ม {{math|''n''}} บางตัวด้วยสูตร
:<math>\lambda = B\left(\frac{n^2}{n^2-4}\right) \qquad\qquad n = 3,4,5,6</math>
โดย {{math|''B''}} คือค่าคงตัวหนึ่งที่เขากำหนดให้เท่ากับ 364.56 นาโนเมตร (nm)

ต่อมาในปี 1888 [[Johannes Rydberg]] ได้ปรับสูตรของบัลเมอร์ให้มีลักษณะทั่วไปและเพิ่มความสามารถในการอธิบายได้อย่างมาก เขาทำนายว่า {{math|''λ''}} สัมพันธ์กับจำนวนเต็มสองตัวคือ {{math|''n''}} และ {{math|''m''}} ตามสูตรที่รู้จักกันในปัจจุบันในชื่อ[[สูตรของ Rydberg]]:<ref name="taylor_147-8">{{cite book|last1=Taylor|first1=J. R.|last2=Zafiratos|first2=C. D.|last3=Dubson|first3=M. A.|year=2004|title=Modern Physics for Scientists and Engineers|url=https://archive.org/details/modernphysicsfor0000tayl_g2z8|publisher=Prentice Hall|pages=[https://archive.org/details/modernphysicsfor0000tayl_g2z8/page/n166 147]–48|isbn=0135897890}}</ref>
:<math> \frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}\right),</math>
โดย ''R'' คือ[[ค่าคงตัวของ Rydberg]] มีค่าเท่ากับ 0.0110&nbsp;nm<sup>−1</sup> และ ''n'' ต้องมีค่ามากกว่า ''m''

สูตรของ Rydberg สามารถอธิบายความยาวคลื่นของไฮโดรเจนที่มองเห็นได้ทั้ง 4 ความยาวคลื่นโดยกำหนดให้ {{math|''m'' {{=}} 2}} และ {{math|''n'' {{=}} 3, 4, 5, 6}} นอกจากนี้สูตรดังกล่าวยังทำนายความยาวคลื่นเพิ่มเติมในสเปกตรัมเปล่งออก โดยเมื่อ {{math|''m'' {{=}} 1}} และ {{math|''n'' &gt; 1}} สเปกตรัมเปล่งออกจะมีความยาวคลื่นในช่วงอัลตราไวโอเลต และเมื่อ {{math|''m'' {{=}} 3}} และ {{math|''n'' &gt; 3}} จะมีความยาวคลื่นในช่วงอินฟราเรด การทดลองเพื่อสังเกตความยาวคลื่นในช่วงดังกล่าวเกิดขึ้น 20 ปีหลังจากนี้ โดยเมื่อปี 1908 [[Louis Paschen]] ได้ค้นพบความยาวคลื่นที่มีการทำนายไว้ในช่วงอินฟราเรดบางตำแหน่ง และในปี 1914 [[Theodore Lyman IV|Theodore Lyman]] ได้ค้นพบความยาวคลื่นในช่วงอัลตราไวโอเลตบางตำแหน่ง<ref name="taylor_147-8" />

สูตรทั้งสองนี้มีตัวแปรที่เป็นจำนวนเต็ม หากใช้ศัพท้ปัจจุบันอาจกล่าวได้ว่าสูตรดังกล่าวได้บอกเป็นนัยถึงสมบัติบางประการของอะตอมว่าเป็นควอนตัม การศึกษาทำความเข้าใจคุณสมบัติเหล่านี้เป็นส่วนสำคัญต่อการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม
{{hidden end}}


[[ไฟล์:Bohr atom model (mul).svg|thumb|[[แบบจำลองของโปร์|แบบจำลองอะตอมของโปร์]] ในภาพแสดงการย้ายตำแหน่งวงโคจรของอิเล็กตรอนโดยการปล่อยโฟตอน]]

ในปี 1913 [[นิลส์ โปร์]]ได้เสนอ[[แบบจำลองของโปร์|แบบจำลองใหม่ของอะตอม]]ที่มีการเพิ่มวงโคจรของอิเล็กตรอนแบบแจงหน่วย นั่นคือ อิเล็กตรอนยังคงโคจรรอบนิวเคลียสเสมือนที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ แต่อิเล็กตรอนแต่ละตัวจะอยู่ในวงโคจรเฉพาะของมันเองเท่านั้น ไม่สามารถโคจรได้ที่ระยะต่าง ๆ ได้ตามอำเภอใจ<ref>{{cite book |last1=McEvoy |first1=J. P. |last2=Zarate |first2=O. |year=2004 |title=Introducing Quantum Theory |url=https://archive.org/details/introducingquant0000mcev |publisher=Totem Books |pages=70–89, [89] |isbn=1840465778}}</ref> เมื่ออะตอมปล่อยหรือดูดซับพลังงาน อิเล็กตรอนจะไม่เปลี่ยนวงโคจรจากวงโคจรหนึ่งไปยังอีกวงหนึ่งในแนวโค้งเป็นเกลียวที่ต่อเนื่องอย่างที่คาดกันไว้แต่เดิม หากแต่อิเล็กตรอนจะกระโดดทันทีจากวงโคจรหนึ่งไปยังอีกวงหนึ่ง ในขณะเดียวกันมันก็ปล่อยพลังงานออกมาในรูปของโฟตอน<ref name="WorldBook">{{cite book |author= World Book.Inc |date=2007 |chapter=22|title=World Book Encyclopedia |url=https://www.worldcat.org/title/world-book-encyclopedia/oclc/894799866 |type=Electronic reproduction |series=The World Book encyclopedia |language=en |volume=22 |edition=3 |location=Chicago, Illinois |publisher=World Book |publication-date=2007 |page=6 |isbn=978-0716601074 |oclc=894799866 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170130100748/http://www.worldcat.org/title/world-book-encyclopedia/oclc/894799866 |archive-date=30 January 2017 |access-date=December 14, 2020}} [https://archive.org/details/worldbookencycl703worl Alt URL]</ref> พลังงานที่เป็นไปได้ของโฟตอนที่ปล่อยออกมาจากธาตุแต่ละชนิดถูกกำหนดโดยความต่างของพลังงานของทั้งสองวงโคจร ดังนั้นสเปกตรัมของธาตุแต่ละชนิดที่เปล่งออกมาจึงประกอบด้วยเส้นสเปกตรัมจำนวนหนึ่ง<ref>{{cite book |last1=Wittke |first1=J.P |last2=Dicke |first2=R.H |date=June 1, 1961 |orig-year=1960 |chapter=11 |editor1-last=Holladay |editor1-first=W.G. |title=Introduction to Quantum Mechanics |url=https://www.scribd.com/doc/124926316/Dicke-Wittke-Introduction-to-Quantum-Mechanics |type=eBook |language=en |volume=16 |location=Nashville, Tennessee |publisher=ADDISON WESLEY LONGMAN INC |publication-date=January 1, 1978 |page=10 |doi= 10.1063/1.3057610 |isbn=978-0201015102 |oclc=53473 |access-date=December 14, 2020 |via=Vanderbilt University}}</ref>

[[ไฟล์:Niels Bohr - LOC - ggbain - 35303.jpg|thumb|left|upright|นิลส์ โปร์ในวัยหนุ่ม]]

การเริ่มจากสมมติฐานง่าย ๆ เพียงข้อเดียวที่กล่าวว่าวงโคจรต้องเป็นไปตามกฎ<!-- (ที่โมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอนที่กำลังโคจรอยู่ต้องมีค่าเป็นจำนวนเต็มของค่าคงตัวของพลังค์หารด้วย 2π) --> แบบจำลองของโปร์จึงสามารถเชื่อมโยงระหว่างเส้นสเปกตรัมที่มองเห็นได้ในสเปกตรัมเปล่งออกของไฮโดรเจนกับค่าคงตัวที่รู้จักก่อนหน้านี้ได้ แบบจำลองของโปร์อธิบายว่าอิเล็กตรอนไม่สามารถปล่อยพลังงานออกมาอย่างต่อเนื่องและทำให้มันชนนิวเคลียส แต่อิเล็กตรอนจะโคจรอยู่ในวงโคจรที่ใกล้ที่สุดที่มันอยู่ได้และจะอยู่อย่างเสถียรตลอดไป แบบจำลองของโปร์ไม่ได้อธิบายว่าทำไมวงโคจรจึงถูกแจงเป็นหน่วยด้วยวิธีนั้น และยังไม่สามารถทำนายอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวได้อย่างแม่นยำ หรือแม้กระทั่งอธิบายว่าทำไมเส้นสเปกตรัมบางเส้นจึงสว่างกว่าเส้นอื่น

สมมติฐานพื้นฐานบางประการในแบบจำลองของโปร์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าผิดไม่นานหลังจากนี้ แต่ผลลัพธ์หลักที่ว่าเส้นที่ไม่ต่อเนื่องในสเปกตรัมเปล่งออกนั้นเกิดจากคุณสมบัติบางอย่างของอิเล็กตรอนในอะตอมที่ถูกแจงเป็นหน่วยนั้นถูกต้อง ธรรมชาติที่แท้จริงของอิเล็กตรอนนั้นแตกต่างจากแบบจำลองของโปร์อย่างมากรวมถึงโลกที่เราสังเกตได้ในชีวิตประจำวัน แบบจำลองเชิงกลศาสตร์ควอนตัมของอะตอมในยุคใหม่จะกล่าวถึงอีกครั้งด้านล่าง


{{hidden begin|border=1px #aaa solid|titlestyle=text-align:center|title=บทอธิบายเพิ่มเติมเรื่องแบบจำลองอะตอมของโปร์}}
นิลส์ โปร์ได้ตั้งทฤษฎีว่า[[โมเมนตัมเชิงมุม]] {{math|''L''}} ของอิเล็กตรอนหนึ่งตัวถูกแจงเป็นหน่วยตามสมการ
:<math>L = n\frac{h}{2\pi}=n\hbar</math>
โดย {{math|''n''}} คือจำนวนเต็ม และ {{math|''h''}} กับ {{math|''ħ''}} คือ[[ค่าคงตัวของพลังค์]]กับค่าคงตัวลดรูปของพลังค์ตามลำดับ เมื่อเริ่มจากสมมติฐานดังกล่าวแล้ว [[กฎของคูลอมบ์]]และชุดสมการ[[การเคลื่อนที่แบบวงกลม]]จะแสดงให้เห็นว่าอิเล็กตรอนตัวหนึ่งที่มีโมเมนตัมเชิงมุม {{math|''n''}} หน่วยจะโคจรรอบโปรตอนตัวหนึ่งด้วยระยะห่าง {{math|''r''}} ตามสมการ
:<math>r = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 k_e m e^2},</math>
โดย {{math|''k''<sub>e</sub>}} คือ[[ค่าคงตัวคูลอมบ์]], {{math|''m''}} คือมวลของอิเล็กตรอน และ {{math|''e''}} คือ[[ประจุมูลฐาน|ประจุของอิเล็กตรอน]]หนึ่งตัว

ซึ่งสามารถเขียนลดรูปได้ว่า
:<math>r = n^2 a_0,\!</math>
โดย {{math|''a''<sub>0</sub>}} คือ[[รัศมีของโปร์]] เป็นรัศมีวงโคจรที่เล็กที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ มีค่าเท่ากับ 0.0529&nbsp;nm

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณพลังงานของอิเล็กตรอนได้จาก
:<math>E = -\frac{k_{\mathrm{e}}e^2}{2a_0} \frac{1}{n^2}.</math>

ดังนั้นสมมติฐานของโปร์ที่โมเมนตัมเชิงมุมถูกแจงเป็นหน่วยคือการที่อิเล็กตรอนตัวหนึ่งสามารถอยู่ในวงโคจรเฉพาะของมันเองรอบนิวเคลียสและมีพลังงานได้ค่าเฉพาะค่าหนึ่งเท่านั้น สิ่งที่ตามมาคืออิเล็กตรอนจะไม่ชนเข้ากับนิวเคลียส มันจะไม่ปลดปล่อยพลังงานต่อเนื่องออกมาและไม่อยู่ใกล้นิวเคลียสในระยะห่างที่น้อยกว่ารัศมีของโปร์ ''a''<sub>0</sub>

อิเล็กตรอนตัวหนึ่งจะปล่อยพลังงานออกมาโดยกระโดดอย่างทันทีจากวงโคจรเดิมไปสู่วงโคจรที่มีระดับต่ำกว่า (เข้าใกล้นิวเคลียส) พลังงานจะถูกปล่อยออกมาในรูปโฟตอน ส่วนอิเล็กตรอนที่ดูดซับโฟตอนจะได้รับพลังงานและกระโดดจากวงโคจรเดิมไปสู่วงโคจรที่ห่างออกไปจากนิวเคลียส

โฟตอนแต่ละหน่วยที่มาจากอะตอมไฮโดรเจนเปล่งแสงเกิดขึ้นเมื่ออิเล็กตรอนย้ายตำแหน่งจากวงโคจรที่ระดับสูงกว่า (รัศมี {{math|''r<sub>n</sub>''}}) ไปยังวงโคจรที่ระดับต่ำกว่า (รัศมี {{math|''r<sub>m</sub>''}}) พลังงานของโฟตอนหน่วยนี้ {{math|''E''<sub>γ</sub>}} คือผลต่างระหว่างพลังงานของอิเล็กตรอนที่วงโคจรระดับสูง {{math|''E<sub>n</sub>''}} กับวงโคจรระดับต่ำ {{math|''E<sub>m</sub>''}}:
:<math>E_{\gamma} = E_n - E_m = \frac{k_{\mathrm{e}}e^2}{2a_0}\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)</math>
สมการของพลังค์แสดงความสัมพันธ์ของพลังงานของโฟตอนกับความยาวคลื่นจากสมการ {{math|''E''<sub>γ</sub> {{=}} ''hc''/''λ''}} ความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจึงเป็น
:<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{k_{\mathrm{e}}e^2}{2 a_0 h c}\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right).</math>
สมการดังกล่าวมีรูปเหมือนกับ[[สูตรของ Rydberg]] และได้ทำนายว่าค่าคงตัว {{math|''R''}} ควรมีค่าเท่ากับ
:<math>R = \frac{k_{\mathrm{e}}e^2}{2 a_0 h c} .</math>
กล่าวโดยสรุปคือแบบจำลองอะตอมของโปร์สามารถทำนายสเปกตรัมเปล่งออกของอะตอมไฮโดรเจนได้โดยใช้ตัวแปรค่าคงตัวพื้นฐาน แต่แบบจำลองดังกล่าวยังคงไม่สามารถใช้กับอะตอมที่มีอิเล็กตรอนหลายตัวได้อย่างแม่นยำ รวมทั้งยังไม่สามารถอธิบายว่าเพราะเหตุใดเส้นสเปกตรัมบางเส้นจึงสว่างกว่าเส้นอื่น
{{hidden end}}

== ทวิภาคของคลื่น–อนุภาค ==
{{หลัก|ทวิภาคคลื่น–อนุภาค}}
[[ไฟล์:Broglie Big.jpg|thumb|upright|[[หลุยส์ เดอ เบรย]] (เมื่อปี 1929) ได้รับ[[รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์]]จากการทำนายว่าสสารประพฤติตัวเป็นคลื่นจากวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกในปี 1924]]

นอกจากแสงที่มีคุณสมบัติเหมือนเป็นทั้งคลื่นและอนุภาคแล้ว สสารก็[[คลื่นสสาร|มีคุณสมบัติเป็นเหมือนคลื่น]]เช่นเดียวกัน เราเรียกคุณสมบัตินี้ว่า "ทวิภาคคลื่น–อนุภาค" (wave-particle duality)<ref>{{cite book
 | title = Introducing Quantum Theory
 | url = https://archive.org/details/introducingquant0000mcev
 |first1=J. P. |last1=McEvoy |first2=O. |last2=Zarate
 | publisher = Totem Books
 | year = 2004
 | isbn = 1840465778
 | pages = 110ff
 }}</ref>

พฤติกรรมความเป็นคลื่นของสสารได้รับการสาธิตครั้งแรกโดยใช้อิเล็กตรอน ลำแสงของอิเล็กตรอนสามารถแสดง[[การเลี้ยวเบน]]ได้เช่นเดียวกับลำแสงหรือคลื่นน้ำ ต่อมาจึงมีการค้นพบปรากฏการณ์ของคลื่นที่คล้ายกันเกิดกับอะตอมหรือแม้แต่โมเลกุล

ความยาวคลื่น {{math|''λ''}} ของวัตถุใด ๆ มีความสัมพันธ์กับ[[โมเมนตัม]] {{math|''p''}} ผ่าน[[ค่าคงที่ของพลังค์]] {{math|''h''}}:
<ref>Aczel, Amir D., ''Entanglement'', pp. 51ff. (Penguin, 2003) {{ISBN|978-1551926476}}</ref><ref>{{cite book
 | title = Introducing Quantum Theory
 | url = https://archive.org/details/introducingquant0000mcev
 |first1=J. P. |last1=McEvoy |first2=O. |last2=Zarate
 | publisher = Totem Books
 | year = 2004
 | isbn = 1840465778
 | page = [https://archive.org/details/introducingquant0000mcev/page/n115 114]
 }}</ref>
:<math> p = \frac{h}{\lambda}.</math>

ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าสมมติฐานของเดอ เบรย ปรากฏอยู่ในสสารทุกประเภท สสารทั้งหมดแสดงคุณสมบัติของทั้งอนุภาคและคลื่น

แนวคิดทวิภาคของคลื่นและอนุภาคกล่าวว่าแนวคิดดั้งเดิมไม่ว่าจะเป็นของ "อนุภาค" หรือ "คลื่น" ไม่สามารถอธิบายพฤติกรรมของวัตถุระดับควอนตัมได้อย่างสมบูรณ์ ไม่ว่าจะเป็นโฟตอนหรือสสาร ทวิภาคของคลื่นและอนุภาคเป็นตัวอย่างหนึ่งของ[[หลักการเติมเต็ม]]ในฟิสิกส์ควอนตัม<ref name="Zettili">{{cite book
 | last1  = Zettili
 | first1 = Nouredine
 | title  = Quantum Mechanics: Concepts and Applications
 | publisher = John Wiley and Sons
 | date   = 2009
 | pages  = 26–27
 | url    = https://books.google.com/books?id=6jXlpJCSz98C&q=%22complementarity+principle%22+%22wave-particle+duality%22&pg=PA26
 | isbn   = 978-0470026786
 }}</ref><ref name="Selleri">{{cite book
 | last1  = Selleri
 | first1 = Franco
 | title  = Wave-Particle Duality
 | publisher = Springer Science and Business Media
 | date   = 2012
 | pages  = 41
 | url    = https://books.google.com/books?id=r8bkBwAAQBAJ&q=%22complementarity+principle%22+%22wave-particle+duality%22&pg=PA41
 | isbn   = 978-1461533320
 }}</ref><ref name="Podgorsak">{{cite book
 | last1  = Podgorsak
 | first1 = Ervin B.
 | title  = Compendium to Radiation Physics for Medical Physicists
 | publisher = Springer Science and Business Media
 | date   = 2013
 | pages  = 88
 | url    = https://books.google.com/books?id=7zfBBAAAQBAJ&q=%22complementarity+principle%22+%22wave-particle+duality%22&pg=PA88
 | isbn   = 978-3642201868
 }}</ref><ref name="Halliday&Resnick">{{cite book
 | last1  = Halliday
 | first1  = David
 | last2  = Resnick
 | first2  = Robert
 | title  = Fundamentals of Physics, 10th Ed.
 | publisher  = John Wiley and Sons
 | date  = 2013
 | pages  = 1272
 | url  = https://books.google.com/books?id=nQZyAgAAQBAJ&q=%22complementarity+principle%22+%22wave-particle+duality%22&pg=SL9-PA21
 | isbn  = 978-1118230619
 }}{{ลิงก์เสีย|date=มีนาคม 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref><ref name="Myers">{{cite book
 | last1  = Myers
 | first1 = Rusty L.
 | title  = The Basics of Physics
 | publisher = Greenwood Publishing Group
 | date   = 2006
 | pages  = [https://archive.org/details/basicsofphysics0000myer/page/172 172]
 | url    = https://archive.org/details/basicsofphysics0000myer
 | url-access = registration
 | quote  = complementarity principle wave-particle duality.
 | isbn   = 0313328579
 }}</ref> ตัวอย่างการทดลองหนึ่งที่แสดงถึงสภาพคู่กันของคลื่นและอนุภาคที่มีความงดงามคือ "การทดลองช่องแคบคู่" ซึ่งจะกล่าวในหัวข้อถัดไป

=== การทดลองช่องแคบคู่ ===
{{หลัก|การทดลองช่องแคบคู่}}
[[ไฟล์:Single slit and double slit2.jpg|left|upright=1.5|thumb|เมื่อฉายแสงผ่านช่องแคบเดี่ยวจะเกิดการเลี้ยวเบนขึ้น (ภาพบน) และเมื่อฉายแสงผ่านช่องแคบคู่จะเกิดการแทรกสอดขึ้น (ภาพล่าง) การแทรกสอดของแสงแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติที่เหมือนคลื่นของแสง]]
[[ไฟล์:Wave-particle duality.ogv|thumb|right|วิดีโอแสดงการทดลองช่องแคบคู่สำหรับอนุภาคตามกฎดั้งเดิม คลื่น และอนุภาคควอนตัม แสดงสมบัติทวิภาคของคลื่น–อนุภาค]]

การทดลองช่องแคบคู่ทำขึ้นครั้งแรกโดย[[โทมัส ยัง]] เมื่อ ค.ศ. 1803<ref name="ShamosGreatExperiments">{{cite book |last1=Shamos |first1=Morris H |title=Great Experiments in Physics: Firsthand Accounts from Galileo to Einstein |date=1 January 1987 |publisher=Courier Corporation |page=108 }}</ref> และ[[โอกุสแต็ง-ฌ็อง แฟรแนล]] ในหนึ่งทศวรรษหลังจากนั้น<ref name="ShamosGreatExperiments"/> นักวิทยาศาสตร์ทั้งสองคนได้ส่องลำแสงผ่านช่องแคบสองช่องที่อยู่ใกล้กัน เกิดรูปแบบ[[การแทรกสอด]]ของแถบสว่างและแถบมืดบนฉากตรวจจับที่แสงส่องกระทบ และคาดว่าหากปิดช่องแคบช่องใดช่องหนึ่งไว้ ความเข้มของการแทรกสอดนั้นก็ควรจะลดลงไปครึ่งหนึ่งในทุกบริเวณ แต่ในความเป็นจริงแล้วเกิดปรากฏการณ์[[การเลี้ยวเบน]]ซึ่งซับซ้อนน้อยกว่านั้นมาก โดยเกิดขึ้นบนฉากตรงข้ามกับช่องแคบเดี่ยวที่เปิดไว้ และแสงมีการกระจายออกเป็นรัศมีเหมือนกับพฤติกรรมของคลื่นน้ำ การทดลองช่องแคบคู่นี้จึงถือว่าเป็นการสาธิตธรรมชาติความเป็นคลื่นของแสง

นักวิทยาศาสตร์ยังได้ทำการทดลองช่องแคบคู่โดยใช้อนุภาคอื่น ๆ นอกจากแสง ได้แก่ อิเล็กตรอน อะตอม หรือแม้กระทั่งโมเลกุลขนาดใหญ่<ref>{{cite journal|last1=Merali|first1=Zeeya|title=Quantum physics: What is really real?|journal=Nature|date=21 May 2015|volume=521 |issue=7552 |pages=278–80|doi=10.1038/521278a|pmid=25993941 |bibcode=2015Natur.521..278M|s2cid=4452144 |doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Eibenberger|first1=Sandra|title=Matter–wave interference of particles selected from a molecular library with masses exceeding 10 000 amu|journal=Physical Chemistry Chemical Physics|date=2013|volume=15|issue=35|pages=14696–700|doi=10.1039/C3CP51500A|pmid=23900710|quote=[I]n a three-grating interferometer... We observe high-contrast quantum fringe patterns of molecules... having 810 atoms in a single particle.|arxiv=1310.8343|bibcode=2013PCCP...1514696E|s2cid=3944699}}</ref> และได้เห็นรูปแบบการแทรกสอดเหมือนกับแสงทั้งหมด จึงเป็นการสาธิตและพิสูจน์ว่า[[สสาร]]ทั้งหมดมีคุณสมบัติของทั้งอนุภาคและคลื่น

หากลดความเข้มของแหล่งกำเนิดลงจนแม้จะเหลืออนุภาค (โฟตอนหรืออิเล็กตรอน) ที่เคลื่อนผ่านช่องแคบเพียงอนุภาคเดียวในแต่ละครั้ง  เมื่อทำซ้ำไปเรื่อย ๆ ก็จะเกิดรูปแบบของการแทรกสอดขึ้นเหมือนเดิม อนุภาคควอนตัมจะประพฤติตัวเป็นคลื่นเมื่อเคลื่อนผ่านช่องแคบคู่ แต่จะประพฤติตัวเป็นอนุภาคเมื่อมีการตรวจจับ ซึ่งสิ่งนี้เองเป็นคุณสมบัติทั่วไปของ "การเติมเต็มกันทางควอนตัม" (quantum complementarity) โดยอนุภาคควอนตัมอนุภาคหนึ่งจะประพฤติตัวเป็นคลื่นในการทดลองที่ทำเพื่อวัดคุณสมบัติคลื่น และจะประพฤติตัวเป็นอนุภาคในการทดลองที่ทำเพื่อวัดคุณสมบัติอนุภาค จุดบนฉากตรวจจับแต่ละจุดที่เกิดขึ้นจากอนุภาคแต่ละตัวนั้นเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการสุ่ม และรูปแบบการกระจายตัวของอนุภาคแต่ละตัวนั้นก็เลียนแบบรูปแบบของการเลี้ยวเบนที่เกิดจากคลื่น

=== การประยุกต์ใช้กับแบบจำลองของโปร์ ===
การทดลองที่ทำให้เกิดการค้นพบทวิภาคของคลื่น–อนุภาค ทำให้เดอ เบรยปรับ[[แบบจำลองของโปร์|แบบจำลองอะตอมของโปร์]]โดยแสดงให้เห็นว่าอิเล็กตรอนในวงโคจรรอบนิวเคลียสอาจถูกมองว่ามีคุณสมบัติเหมือนคลื่นได้ และเราจะตรวจจับ[[อิเล็กตรอน]]หนึ่งตัวได้ก็ต่อเมื่อเกิดสถานการณ์ที่อนุญาตให้มี[[คลื่นนิ่ง]]รอบ[[นิวเคลียสของอะตอม|นิวเคลียส]] ตัวอย่างของคลื่นนิ่งคือสายไวโอลินที่ถูกตรึงไว้ที่ปลายทั้งสองด้านและทำให้สั่นได้ คลื่นที่ถูกสร้างขึ้นโดยเครื่องสายนี้ดูเหมือนจะสั่นอยู่กับที่และเคลื่อนที่จากยอดคลื่นไปยังท้องคลื่นในลักษณะขึ้นและลง ความยาวคลื่นของคลื่นนิ่งสัมพันธ์กับความยาวของวัตถุที่สั่นและลักษณะของปลาย ตัวอย่างเช่น สายไวโอลินที่ปลายทั้งสองด้านถูกตรึงไว้จะมีคลื่นนิ่งที่มีความยาวคลื่นเท่ากับ <math>\frac{2l}{n}</math> โดย <math>l</math> คือความยาวของสาย และ <math>n</math> คือจำนวนเต็มบวก เขายังเสนอว่าวงโคจรของอิเล็กตรอนที่เกิดขึ้นได้คือวงเดียวกันกับวงโคจรที่มีเส้นรอบวงเป็นจำนวนเต็มใดจำนวนเต็มหนึ่งของความยาวคลื่น ความยาวคลื่นของอิเล็กตรอนจึงเป็นตัวกำหนดว่าวงโคจรของโปร์ที่มีระยะห่างแน่นอนจากนิวเคลียสเท่านั้นที่จะเกิดขึ้นได้ ในทางกลับกันที่ระยะห่างใด ๆ จากนิวเคลียสที่มีค่าเล็กกว่าที่กำหนดไว้ก็จะไม่มีวงโคจรของอิเล็กตรอนเกิดขึ้น ระยะห่างจากนิวเคลียสที่ต่ำสุดที่เป็นไปได้เรียกว่า "รัศมีโปร์"<ref>{{cite book |last1=McEvoy |first1=J. P. |last2=Zarate |first2=O. |year=2004 |title=Introducing Quantum Theory |url=https://archive.org/details/introducingquant0000mcev |publisher = Totem Books |page=[https://archive.org/details/introducingquant0000mcev/page/n88 87] |isbn=1840465778}}</ref>

คำอธิบายปรากฏการณ์ควอนตัมของเดอ เบรยกลายเป็นจุดเริ่มต้นที่ชเรอดิงเงอร์เริ่มคิดค้นสมการคลื่นสมการหนึ่งขึ้นมาเพื่ออธิบายเหตุการณ์เชิงทฤษฎีควอนตัมต่าง ๆ

== สปิน ==
{{หลัก|สปิน (ฟิสิกส์)}}
{{ดูเพิ่มที่|การทดลองของสเติร์น-เกอร์แลค}}
[[ไฟล์:Quantum spin and the Stern-Gerlach experiment.ogv|thumb|การทดลองของสเติร์น-เกอร์แลคแสดงพฤติกรรมของสปินเชิงควอนตัมเมื่อเทียบกับแม่เหล็กธรรมดา]]
ในปี 1922 [[อ็อทโท ชแตร์น]]และ[[วัลเทอร์ แกร์ลัค]] ได้ทำการทดลองโดยยิงอะตอมของธาตุเงินผ่าน[[สนามแม่เหล็ก]]ที่[[ภาวะเอกพันธุ์และภาวะวิวิธพันธุ์|ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน]] เมื่อโยนแท่งแม่เหล็กผ่านสนามแม่เหล็กดังกล่าว มันจะถูกแรงแม่เหล็กเบี่ยงเบนให้ขึ้นไปข้างบนหรือลงข้างล่างด้วยระยะมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับทิศของแท่งแม่เหล็กนั้นว่าชี้ขึ้นลงหรืออยู่ระหว่างกลางเมื่อเทียบกับขั้วเหนือ กลุ่มของอะตอมที่ชแตร์นและแกร์ลัคได้ยิงผ่านสนามแม่เหล็กนั้นก็ได้เบี่ยงเบนไปเหมือนกับแท่งแม่เหล็ก แต่สิ่งที่ต่างกันคือ แท่งแม่เหล็กถูกเบี่ยงเบนได้หลายรูปแบบขึ้นอยู่กับทิศของมันตามที่ได้กล่าวไว้ แต่อะตอมจะถูกเบี่ยงเบนเป็นระยะทางคงที่ระยะทางหนึ่งไม่ว่าขึ้นหรือลง สิ่งนี้บอกเป็นนัยว่าคุณสมบัติของอะตอมที่สอดคล้องกับทิศทางของแม่เหล็กจะต้องถูกแจงออกเป็นหน่วย โดยใช้ค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่า เช่น ขึ้นหรือลง แทนที่จะเลือกได้อย่างอิสระจากมุมใด ๆ

[[Ralph Kronig]] ได้เริ่มเสนอทฤษฎีที่ว่าอนุภาคเช่นอะตอมหรืออิเล็กตรอนมีพฤติกรรมราวกับว่าพวกมัน "หมุน" (สปิน, spin) รอบแกน ทฤษฎีสปินนี้อาจสามารถอธิบายถึง[[โมเมนต์แม่เหล็ก]]ที่หายไปได้ และยังยอมให้อิเล็กตรอนสองตัวใน[[ออร์บิทัลเชิงอะตอม|ออร์บิทัล]]เดียวกันมี[[สถานะควอนตัม]]ที่แตกต่างกันได้หากมัน "หมุน" ในทิศทางตรงกันข้ามกัน ซึ่งเป็นไปตาม "[[หลักการกีดกันของเพาลี|หลักการกีดกัน]]" (exclusion principle) เลขควอนตัมแสดงลักษณะของสปิน (บวกหรือลบ)

ชแตร์นและแกร์ลัคได้เลือกทิศทางของสนามแม่เหล็กในการทดลองตามอำเภอใจ ในวิดีโอแสดงสนามแม่เหล็กในแนวตั้งซึ่งจะทำให้อะตอมถูกเบี่ยงขึ้นหรือลง หากหมุนสนามแม่เหล็กไป 90° หรือทำให้สนามแม่เหล็กอยู่ในแนวนอน อะตอมที่ยิงเข้าไปก็จะเบี่ยงไปทางซ้ายหรือขวา สิ่งที่ต่างกันคือ เมื่อใช้สนามแนวตั้ง สปินตามแนวแกนตั้งก็จะถูกแจงออกเป็นหน่วย เมื่อใช้สนามแนวนอน สปินตามแนวแกนนอนก็จะถูกแจงออกเป็นหน่วย

หากปรับการทดลองโดยแทนที่จะให้อะตอมทั้งหมดชนเข้ากับฉากตรวจจับหลังสนามแม่เหล็ก แต่ส่งอะตอมหนึ่งในสองกลุ่มที่ออกมาจากสนามแม่เหล็กชุดแรกให้ผ่านเข้าไปในสนามแม่เหล็กใหม่ชุดที่สอง (ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน) โดยสนามแม่เหล็กชุดที่สองนี้มีตำแหน่งหมุนไป 90° เมื่อเทียบกับสนามแม่เหล็กชุดแรก แล้วจึงสังเกตการเบี่ยงเบนของอะตอมในกลุ่มนั้นอีกครั้ง ผลปรากฏว่าอะตอมครึ่งหนึ่งถูกเบี่ยงเบนไปในทางหนึ่งและอีกครึ่งถูกเบี่ยงเบนไปอีกทาง ทำให้ทราบว่าสปินของอะตอมตามแนวแกนนอนและแกนตั้งนั้นเป็นอิสระต่อกัน และถ้าหากส่งกลุ่มอะตอมหนึ่งในสองกลุ่มที่ออกมาจากสนามแม่เหล็กชุดที่สองผ่านเข้าไปในสนามแม่เหล็กชุดที่สามอีกครั้ง โดยที่สนามแม่เหล็กชุดที่สามวางตัวเหมือนกับสนามแม่เหล็กชุดแรก จะพบว่าอะตอมครึ่งหนึ่งถูกเบี่ยงเบนไปทางหนึ่งและอีกครึ่งไปอีกทาง แม้ว่าอะตอมทั้งหมดนี้จะได้เบี่ยงเบนไปในทางเดียวกันมาก่อนในตอนที่ผ่านสนามแม่เหล็กชุดแรก ทำให้ทราบว่าการกระทำเพื่อวัดค่าสปินของอะตอมตามแกนนอนจะส่งผลให้ค่าสปินของอะตอมตามแกนตั้งเปลี่ยนแปลงด้วย

การทดลองของชแตร์นและแกร์ลัคแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการของกลศาสตร์ควอนตัม ได้แก่

* คุณลักษณะของโลกธรรมชาติได้รับการพิสูจน์ว่ามีการแจงเป็นหน่วย และยินยอมให้ใช้ค่าเฉพาะที่ไม่ต่อเนื่องบางค่าเท่านั้น
* อนุภาคต่าง ๆ มี[[โมเมนตัมเชิงมุม]]ในตัวเอง (intrinsic angular momentum) ที่ทำหน้าที่คล้ายกับโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุหมุนแบบคลาสสิก
* [[การวัดในกลศาสตร์ควอนตัม]]จะเข้าไปเปลี่ยนระบบที่วัดด้วย เราสามารถรู้ค่าสปินของวัตถุได้เพียงทิศทางเดียว และการวัดสปินในทิศทางอื่นจะทำลายข้อมูลสปินที่เราทราบอยู่เดิม
* กลศาสตร์ควอนตัมคือศาสตร์ของ[[ความน่าจะเป็น]] ค่าสปินของอะตอมแต่ละตัวที่แสดงให้เห็นในอุปกรณ์วัดว่าเป็นบวกหรือลบนั้น เกิดขึ้นโดยสุ่ม

== การพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ ==
ในปี 1925 [[แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์ค]]พยายามแก้ปัญหาหนึ่งที่แบบจำลองของโปร์ไม่ได้รับคำตอบ ซึ่งคือการอธิบายความเข้มของเส้นต่าง ๆ ในสเปกตรัมที่ไฮโดรเจนเปล่งออกมา เขาได้ใช้การอุปมาระหว่างควอนตัมและกลศาสตร์เพื่อคำนวณความเข้มตามแบบดั้งเดิมโดยใช้ชุดแนวเทียบเชิงคณิตศาสตร์<ref name=Heisenberg1925>{{cite book|last=Van der Waerden|first=B. L.|title=Sources of Quantum Mechanics|date=1967|publisher=Dover Publications|location=Mineola, NY|pages=261–76|language=en|quote=Received 29 July 1925}} See Werner Heisenberg's paper,  "Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations" pp. 261–76</ref> หลังจากนั้นไม่นาน [[มัคส์ บอร์น]]ซึ่งเป็นเพื่อนร่วมงานของเขาก็ตระหนักว่าวิธีที่ไฮเซินแบร์คใช้คำนวณความน่าจะเป็นสำหรับการเปลี่ยนระหว่างระดับชั้นพลังงานที่ต่างกันนั้น สามารถใช้แนวคิดคณิตศาสตร์เรื่อง[[เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)|เมทริกซ์]]เพื่อแสดงผลได้ดีที่สุด

ในปีเดียวกัน [[แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์]]ได้พัฒนาสมการที่อธิบายพฤติกรรมของคลื่นเชิงกล-ควอนตัมขึ้นโดยใช้สมมติฐานของเดอ เบรย เป็นพื้นฐาน<ref name=SchrBiog>{{cite web|last=Nobel Prize Organization|title=Erwin Schrödinger – Biographical|url=https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/schrodinger-bio.html|access-date=28 March 2014|quote=His great discovery, Schrödinger's wave equation, was made at the end of this epoch-during the first half of 1926.}}</ref> แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "[[สมการชเรอดิงเงอร์]]" ซึ่งตั้งตามชื่อของเขา ถือเป็นหัวใจของกลศาสตร์ควอนตัม สมการนี้ได้นิยามสถานะนิ่งของระบบควอนตัมที่ยินยอมให้เกิดได้ และได้อธิบายว่าสถานะควอนตัมของระบบกายภาพเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างไร<ref name="EB-SchrEquation">[https://www.britannica.com/EBchecked/topic/528298/Schrodinger-equation "Schrodinger Equation (Physics)", ''Encyclopædia Britannica '']</ref> ส่วนคลื่นนั้นมีการอธิบายโดยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "[[ฟังก์ชันคลื่น]]" ชเรอดิงเงอร์กล่าวว่าฟังก์ชันคลื่นเป็น "วิธีการทำนายความน่าจะเป็นของผลการวัดเชิงควอนตัม"<ref>Erwin Schrödinger, "The Present Situation in Quantum Mechanics", p. 9. "This translation was originally published in Proceedings of the American Philosophical Society, 124, 323–38, and then appeared as Section I.11 of Part I of Quantum Theory and Measurement (J. A. Wheeler and W. H. Zurek, eds., Princeton University Press, NJ 1983). This paper can be downloaded here: {{cite web |url=http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/it/QM/cat.html |title=A Translation of Schrödinger's "Cat Paradox Paper" |author=Erwin Schrödinger |translator=John D. Trimmer |archive-url=https://web.archive.org/web/20101113223658/http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/it/QM/cat.html |archive-date=2010-11-13}}</ref>

ชเรอดิงเงอร์สามารถคำนวณระดับพลังงานของไฮโดรเจนได้โดยถือว่า[[อิเล็กตรอน]]ของอะตอมไฮโดรเจนประพฤติเหมือนคลื่นแบบคลาสสิกที่เคลื่อนไปในหลุมศักย์ไฟฟ้าที่โปรตอนสร้างขึ้น การคำนวณนี้ให้ผลเหมือนกับระดับพลังงานตามแบบจำลองโปร์อย่างแม่นยำ

ในเดือนพฤษภาคม ค.ศ. 1926 ชเรอดิงเงอร์ได้พิสูจน์ว่า[[กลศาสตร์เมทริกซ์]]ของไฮเซินแบร์คและ[[สมการชเรอดิงเงอร์|กลศาสตร์คลื่น]]ของเขาเองทำนายคุณสมบัติและพฤติกรรมของอิเล็กตรอนได้เหมือนกัน ทฤษฎีทั้งสองมีรูปแบบพื้นฐานร่วมกันในทางคณิตศาสตร์ แต่ชายทั้งสองไม่ได้มีความคิดเห็นที่สอดคล้องกันในเรื่องการตีความทฤษฎีร่วมกันของพวกเขา เช่น ไฮเซินแบร์คยอมรับการทำนายทางทฤษฎีของการกระโดดของอิเล็กตรอนระหว่างออร์บิทัลในอะตอม<ref>[[Werner Heisenberg|Heisenberg, W.]] (1955). The development of the interpretation of the quantum theory, pp.&nbsp;12–29 in ''Niels Bohr and the Development of Physics: Essays dedicated to Niels Bohr on the occasion of his seventieth birthday'', edited by [[Wolfgang Pauli|Pauli, W.]] with the assistance of [[Léon Rosenfeld|Rosenfeld, L.]] and [[Victor Weisskopf|Weisskopf, V.]], Pergamon, London, p.&nbsp;13: "the single quantum jump ... is "factual" in nature".</ref> แต่ชเรอดิงเงอร์คิดว่าทฤษฎีที่มีพื้นฐานจากคุณสมบัติคล้ายคลื่นที่มีความต่อเนื่องจะสามารถหลีกเลี่ยงสิ่งที่เขาเรียกว่า "เรื่องไร้สาระเกี่ยวกับการกระโดดทางควอนตัม" (ซึ่งถอดความโดย[[วิลเฮ็ล์ม วีน]])<ref>W. Moore, ''Schrödinger: Life and Thought'', Cambridge University Press (1989), p. 222. See p. 227 for Schrödinger's own words.</ref> สุดท้ายแล้วไฮเซินแบร์คก็ชนะและการกระโดดควอนตัมก็ได้รับการยืนยัน<ref name="nytimesQuantumJump">{{cite news |title=Physicists finally get to see quantum jump with own eyes |url=https://www.nytimes.com/1986/10/21/science/physicists-finally-get-to-see-quantum-jump-with-own-eyes.html |website=The New York Times|date=21 October 1986 |access-date=30 November 2019|last1=Gleick |first1=James }}</ref>

== การตีความโคเปนเฮเกน ==
{{หลัก|การตีความโคเปนเฮเกน}}
[[ไฟล์:Niels Bohr Institute 1.jpg|thumb|right|สถาบันนิลส์ โปร์ในกรุง[[โคเปนเฮเกน]] จุดศูนย์รวมนักวิจัยด้านกลศาสตร์ควอนตัมและวิชาที่เกี่ยวข้องในช่วงทศวรรษที่ 1920 ถึง 1930 ที่ซึ่งนักฟิสิกส์ทฤษฎีที่มีชื่อเสียงที่สุดในโลกส่วนใหญ่ใช้เวลาอยู่ที่นี่]]

นิลส์ โปร์, ไฮเซินแบร์คและนักฟิสิกส์คนอื่น ๆ พยายามอธิบายว่าผลการทดลองและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เหล่านี้แท้จริงแล้วมีความหมายเป็นเช่นไร คำอธิบายของพวกเขาซึ่งรู้จักในชื่อ "การตีความโคเปนเฮเกนทางกลศาสตร์ควอนตัม" (Copenhagen interpretation) มีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบายธรรมชาติของความเป็นจริงที่ได้รับการพิสูจน์แล้วโดยการตรวจวัดและมีการอธิบายโดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม

หลักการสำคัญของการตีความโคเปนเฮเกนคือ
# ระบบหนึ่งถูกอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ได้โดยฟังก์ชันคลื่นหนึ่ง ปกติจะแสดงด้วยอักษรกรีก <math>\psi</math> ("[[พไซ]]") (ไฮเซินแบร์ค)
# สมการชเรอดิงเงอร์อธิบายว่า <math>\psi</math> เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป
# คำอธิบายของธรรมชาตินั้นคือความน่าจะเป็นเป็นหลัก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เช่น ตำแหน่งที่อนุภาคจะปรากฏขึ้นบนฉากในการทดลองช่องแคบคู่สัมพันธ์กับค่าสัมบูรณ์ยกกำลังสองของแอมพลิจูดของฟังก์ชันคลื่น ([[กฎของบอร์น]]โดย[[มัคส์ บอร์น]] ผู้ให้ความหมายเชิงกายภาพแก่ฟังก์ชันคลื่นในการตีความโคเปนเฮเกน: [[แอมพลิจูดของความน่าจะเป็น]])
# เราไม่สามารถทราบค่าคุณสมบัติทั้งหมดของระบบได้ในเวลาเดียวกัน คุณสมบัติที่ไม่ทราบด้วยความแม่นยำเหล่านั้นจะต้องอธิบายด้วยความน่าจะเป็น ([[หลักความไม่แน่นอน]]ของไฮเซินแบร์ค)
# สสารแสดงความเป็นทวิภาคของคลื่นและอนุภาคเหมือนกับพลังงาน การทดลองสามารถแสดงคุณสมบัติคล้ายอนุภาคของสสาร หรือคุณสมบัติคล้ายคลื่นของสสาร แต่ไม่สามารถแสดงคุณสมบัติทั้งสองอย่างได้ในเวลาเดียวกัน ([[หลักการเติมเต็ม]]ของโปร์)
# อุปกรณ์วัดโดยพื้นฐานแล้วเป็นอุปกรณ์แบบคลาสสิกและวัดคุณสมบัติแบบคลาสสิก เช่น ตำแหน่งและโมเมนตัม
# คำอธิบายทางกลศาสตร์ควอนตัมของระบบที่มีขนาดใหญ่ควรมีค่าประมาณใกล้เคียงกับคำอธิบายตามฟิสิกส์แบบดั้งเดิม ([[หลักการปฏิภาค]]ของโปร์และไฮเซินแบร์ค)

รายละเอียดเพิ่มเติมของหลักการเหล่านี้จะกล่าวถึงในหัวข้อย่อยถัดไป

=== หลักความไม่แน่นอน ===
{{หลัก|หลักความไม่แน่นอน}}
[[ไฟล์:Heisenberg 10.jpg|upright|thumb|right|[[แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์ค]]ในวัย 26 ปี เขาได้รับ[[รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์]]ในปี 1932 จากผลงานที่เขาทำในช่วงเวลาดังกล่าว<ref>{{cite web|url=https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1932/summary/|title=The Nobel Prize in Physics 1932|website=NobelPrize.org}}</ref>]]

สมมุติว่าเราต้องการวัดตำแหน่งและความเร็วของวัตถุ เช่น รถที่แล่นผ่านเครื่องตรวจจับความเร็ว เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ารถมีตำแหน่งและความเร็วที่แน่นอน ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง ค่าเหล่านี้จะวัดได้แม่นยำเพียงใดขึ้นอยู่กับคุณภาพของอุปกรณ์ที่วัด หากมีการปรับปรุงความแม่นยำของอุปกรณ์ที่วัดก็จะให้ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกับค่าความเป็นจริงมากขึ้น อาจสันนิษฐานได้ว่าเราสามารถกำหนดและวัดความเร็วของรถและตำแหน่งของรถได้พร้อม ๆ กันได้อย่างแม่นยำเท่าที่ต้องการ

ในปี 1927 แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์คได้พิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานข้อสุดท้ายไม่ถูกต้อง<ref>Heisenberg first published his work on the uncertainty principle in the leading German physics journal ''Zeitschrift für Physik'': {{Cite journal|first1=W.|last1=Heisenberg|title=Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik|journal=Z. Phys.|volume=43|year=1927|pages=172–98|doi=10.1007/BF01397280|issue=3–4|bibcode = 1927ZPhy...43..172H |s2cid=122763326|url=https://www.semanticscholar.org/paper/c68b8299e4caefff8f1f67fce475b4740d69b9e0}}</ref> กลศาสตร์ควอนตัมแสดงให้เห็นว่าคู่คุณสมบัติทางกายภาพที่แน่นอนบางคู่ เช่น ตำแหน่งและความเร็ว ไม่สามารถวัดหรือกำหนดได้พร้อมกันที่ความแม่นยำใด ๆ ก็ตามที่ต้องการ ยิ่งวัดหรือกำหนดคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่งให้แม่นยำมากขึ้น คุณสมบัติคู่อีกอย่างหนึ่งก็จะมีความแม่นยำน้อยลงไป ข้อความดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในชื่อ "[[หลักความไม่แน่นอน]]" (uncertainty principle) หลักความไม่แน่นอนนี้ไม่ได้เกี่ยวข้องกับความแม่นยำของอุปกรณ์การวัดของเราเท่านั้น หากแต่ลึกซึ้งกว่านั้น มันยังเกี่ยวกับธรรมชาติเชิงแนวคิดของปริมาณที่วัดได้ การสันนิษฐานที่ว่ารถมีตำแหน่งและความเร็วที่กำหนดไว้พร้อม ๆ กันนั้นใช้ไม่ได้ในกลศาสตร์ควอนตัม ในสเกลของรถยนต์และผู้คน ความไม่แน่นอนของสิ่งเหล่านี้ถือว่าเล็กน้อยจนละเว้นได้ แต่ในสเกลของอะตอมและอิเล็กตรอน ความไม่แน่นอนจะชัดเจนจนกลายเป็นค่าวิกฤต<ref>{{cite web|url=https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1932/ceremony-speech/|title=The Nobel Prize in Physics 1932|website=NobelPrize.org}}</ref>

หลักความไม่แน่นอนจะมีข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ในโดเมนของตำแหน่งและความเร็ว การที่จะทำให้เส้นโค้งในโดเมนของตำแหน่งมีความชันมากขึ้น (ซึ่งหมายถึงแม่นยำมากขึ้น) จะต้องทำให้เส้นโค้งในโดเมนของความเร็วราบลงไป (แม่นยำน้อยลง) และกลับกัน โดเมนของตำแหน่งที่มีความชันมากขึ้นต้องการส่วนประกอบจากความถี่ที่มากขึ้นในโดเมนของความเร็วเพื่อสร้างเส้นโค้งที่แคบลงและในทางกลับกันก็เช่นเดียวกัน ถือเป็นการประนีประนอมในระดับมูลฐานที่มีอยู่ในการวัดที่เกี่ยวข้องหรือ[[Complementarity (physics)|เติมเต็มกัน]] เราจะสังเกตเห็นปรากฏการณ์นี้ได้อย่างชัดเจนในสเกลที่เล็กที่สุดเท่านั้น (สเกลพลังค์) ในขนาดของ[[อนุภาคมูลฐาน]]

ในทางคณิตศาสตร์หลักความไม่แน่นอนแสดงให้เห็นว่าผลคูณของความไม่แน่นอนในตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคหนึ่ง (โมเมนตัมคือความเร็วคูณกับมวล) จะไม่มีทางน้อยกว่าค่าหนึ่ง และค่านี้สัมพันธ์กับ[[ค่าคงตัวของพลังค์]]

=== การยุบตัวของฟังก์ชันคลื่น ===
"[[การยุบของฟังก์ชันคลื่น]]" (wave function collapse) คือการวัดได้บังคับหรือแปลงสถานะควอนตัมหนึ่ง (ความน่าจะเป็นหรือศักย์) ให้เป็นค่าที่วัดได้แน่นอน ปรากฏการณ์นี้มีให้เห็นเฉพาะในกลศาสตร์ควอนตัมและไม่เห็นในกลศาสตร์คลาสสิก

ตัวอย่างคือ ก่อนที่โฟตอนจะ "ปรากฏ" บนฉากตรวจจับจริง ๆ เราจะอธิบายได้โดยใช้ชุดความน่าจะเป็นที่โฟตอนอาจปรากฏขึ้นเท่านั้น เมื่อมันปรากฏ เช่นใน[[อุปกรณ์ถ่ายเทประจุ]] (CCD) ของกล้องอิเล็กทรอนิกส์ เราจะทราบเวลาและพื้นที่ที่โฟตอนได้มีปฏิสัมพันธ์กับอุปกรณ์ในขอบเขตจำกัดมาก อย่างไรก็ตาม โฟตอนได้หายไปในกระบวนการตรวจจับ (นั่นคือการวัด) และ[[ฟังก์ชันคลื่น]]ควอนตัมของมันก็หายไปด้วย จากนั้นการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพในระดับมหภาคจึงปรากฏขึ้นบนฉากการตรวจจับ เช่น จุดที่เผยให้เห็นในแผ่นฟิล์มถ่ายภาพหรือการเปลี่ยนแปลงของศักย์ไฟฟ้าในเซลล์บางส่วนของ CCD

=== สถานะเฉพาะและค่าเฉพาะ ===
[[หลักความไม่แน่นอน]]ทำให้ตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคสามารถระบุได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่านั้น ซึ่งในการคำนวณเราต้องการค่าตำแหน่งหรือโมเมนตัมที่เป็นตัวเลข ดังนั้นจึงจำเป็นต้องกำหนดความแตกต่างอย่างชัดเจนระหว่างสถานะของบางสิ่งที่มีค่าไม่แน่นอน เช่น อิเล็กตรอนในหมอกของความน่าจะเป็น และสถานะของบางสิ่งที่มีค่าแน่นอน เช่น เมื่อเราสามารถ "ตรึง" วัตถุลงที่ค่าใดค่าหนึ่งได้อย่างแน่นอน เราเรียกวัตถุนั้นว่ามี "[[สถานะเฉพาะ]]" (eigenstate)

ในการทดลองของสเติร์น-เกอร์แลคที่[[บทนำกลศาสตร์ควอนตัม#สปิน|กล่าวมาแล้ว]] สปินของอะตอมรอบแกนตั้งจะมี "สถานะเฉพาะ" สองสถานะได้แก่ขึ้นและลง ก่อนทำการตรวจวัดเราสามารถบอกได้เพียงว่าอะตอมแต่ละตัวมีความน่าจะเป็นเท่า ๆ กันที่จะถูกพบว่ามีสปินขึ้นหรือสปินลง เมื่อทำการวัดจะทำให้ฟังก์ชันคลื่นยุบลงกลายเป็นเพียงหนึ่งในสองสถานะ

สถานะเฉพาะของสปินรอบแกนตั้งไม่ใช่สถานะเฉพาะของการหมุนรอบแกนนอนโดยพร้อมกัน ดังนั้นอะตอมหนึ่งจึงมีความเป็นไปได้เท่ากันที่จะมีค่าสปินรอบแกนนอนค่าใดค่าหนึ่ง ตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อสปิน[[บทนำกลศาสตร์ควอนตัม#สปิน|ด้านบน]] การวัดสปินรอบแกนนอนสามารถทำให้อะตอมที่เคยมีสปินขึ้นกลายเป็นมีสปินลงได้ การวัดสปินรอบแกนนอนจะทำให้ฟังก์ชันคลื่นของมันยุบตัวลงเป็นค่าสถานะเฉพาะค่าหนึ่งของการวัดนี้ ซึ่งหมายความว่าอะตอมนี้จะไม่ได้อยู่ในสถานะเฉพาะของสปินรอบแกนตั้งอีกต่อไป ทำให้เป็นค่าใดค่าหนึ่งในสองค่าก็ได้

=== หลักการกีดกันของเพาลี ===
[[ไฟล์:Wolfgang Pauli young.jpg|right|thumb|upright|[[ว็อล์ฟกัง เพาลี]]]]
{{หลัก|หลักการกีดกันของเพาลี}}

ในปี 1924 [[ว็อล์ฟกัง เพาลี]]ได้เสนอระดับขั้นความเสรี (degree of freedom) ทางควอนตัมใหม่ (หรือ[[เลขควอนตัม]]) ประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้สองค่า เพื่อแก้ไขความไม่สอดคล้องกันระหว่างสเปกตรัมของโมเลกุลที่สังเกตได้กับการทำนายของกลศาสตร์ควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง[[สเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจน]] มี[[ดับเลต]] (doublet) หรือคู่ของเส้นที่แตกต่างกันเล็กน้อย โดยก่อนหน้านี้ทำนายว่าจะมีเพียงเส้นเดียว เพาลีจึงกำหนดหลักการกีดกันขึ้นมาโดยระบุว่า "ไม่มีอะตอมใดในสถานะควอนตัมที่อิเล็กตรอนสองตัวภายในนั้นจะมีเลขควอนตัมชุดเดียวกัน"<ref name="Pauling">{{cite book|last1=Pauling|first1=Linus|title=The Nature of the Chemical Bond|date=1960|publisher=Cornell University Press|location=Itahca, NY|isbn=0801403332|page=[https://archive.org/details/natureofchemical0000paul_3ed/page/47 47]|edition=3rd|url=https://archive.org/details/natureofchemical0000paul_3ed|url-access=registration|access-date=1 March 2016}}</ref>

ปีต่อมา Uhlenbeck และ Goudsmit กำหนดระดับขั้นความเสรีที่เพาลีได้เสนอไปด้วยคุณสมบัติที่เรียกว่า [[สปิน (ฟิสิกส์)|สปิน]] ที่ได้มีการสังเกตผลลัพธ์ไปใน[[การทดลองของสเติร์น-เกอร์แลค]]

=== การประยุกต์ใช้กับอะตอมของไฮโดรเจน ===
{{หลัก|ออร์บิทัลเชิงอะตอม}}

แบบจำลองอะตอมของโปร์โดยพื้นฐานแล้วเคยถูกเปรียบว่าเป็นระบบดาวเคราะห์ที่มีอิเล็กตรอนโคจรรอบนิวเคลียสที่เป็นเสมือนดวงอาทิตย์ อย่างไรก็ตาม หลักความไม่แน่นอนระบุว่าอิเล็กตรอนไม่สามารถมีตำแหน่งและความเร็วที่แน่นอนได้ในเวลาเดียวกันเหมือนกับที่ดาวเคราะห์มี แทนที่อิเล็กตรอนจะมีวงโคจรแบบดั้งเดิม อิเล็กตรอนกลับถูกอธิบายว่าอาศัยอยู่ใน "[[ออร์บิทัลเชิงอะตอม|ออร์บิทัลอะตอม]]" ออร์บิทัลคือ "หมอก" ของตำแหน่งที่เป็นไปได้ที่อาจพบอิเล็กตรอน ซึ่งเป็นการกระจายของความน่าจะเป็นรูปแบบหนึ่งมากกว่าตำแหน่งที่แน่นอน<ref name=Pauling/> ออร์บิทัลแต่ละอันมีรูปร่างเป็นสามมิติมากกว่าที่จะเป็นวงโคจรแบบสองมิติ และเรามักอธิบายว่าออร์บิทัลเป็นพื้นที่สามมิติที่มีความเป็นไปได้ร้อยละ 95 ที่จะพบอิเล็กตรอน<ref name="EB-orbital">[https://www.britannica.com/EBchecked/topic/431159/orbital "Orbital (chemistry and physics)", ''Encyclopædia Britannica '']</ref>

ชเรอดิงเงอร์สามารถคำนวณระดับพลังงานของไฮโดรเจนโดยถือว่า[[อิเล็กตรอน]]ของอะตอมไฮโดรเจนเป็นคลื่น ซึ่งแทนด้วย "[[ฟังก์ชันคลื่น]]" {{math|''Ψ''}} ใน[[หลุมพลังงาน|หลุม]]ของ[[ศักย์ไฟฟ้า]] {{math|''V''}} ซึ่งสร้างขึ้นโดยโปรตอนในนิวเคลียสของไฮโดรเจน คำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์ คือการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับตำแหน่งของอิเล็กตรอน ออร์บิทัลมีรูปร่างในสามมิติที่แตกต่างกัน เราสามารถคำนวณพลังงานของออร์บิทัลต่าง ๆ ได้ และสอดคล้องกับระดับพลังงานตามแบบจำลองโปร์อย่างแม่นยำ

ภายในภาพของชเรอดิงเงอร์ อิเล็กตรอนแต่ละตัวมีคุณสมบัติสี่ประการดังนี้
# การกำหนด "ออร์บิทัล" ระบุว่าอนุภาค–คลื่นนั้นอยู่ใกล้นิวเคลียสซึ่งจะมีพลังงานน้อยกว่าหรืออยู่ไกลจากนิวเคลียสซึ่งจะมีพลังงานมากกว่า
# "รูปร่าง" ของออร์บิทัล เป็นทรงกลมหรือทรงอื่น ๆ
# "ความเอียง" ของออร์บิทัล ซึ่งกำหนด[[โมเมนต์แม่เหล็ก]]ของออร์บิทัลรอบแกน {{math|''z''}}
# "สปิน" ของอิเล็กตรอน

ชื่อเรียกรวมของคุณสมบัติทั้งหมดนี้คือ "[[สถานะควอนตัม]]" ของอิเล็กตรอน เราสามารถอธิบายสถานะควอนตัมได้โดยการระบุตัวเลขให้กับคุณสมบัติแต่ละอัน หรือที่เรียกว่า "[[เลขควอนตัม]]" ของอิเล็กตรอน สถานะควอนตัมของอิเล็กตรอนอธิบายได้จากฟังก์ชันคลื่นของมัน หลักการกีดกันของเพาลีกล่าวว่าไม่มีอิเล็กตรอนสองตัวภายในอะตอมเดียวกันที่ค่าทั้งสี่ค่าเท่ากัน
[[ไฟล์:Atomic orbitals spdf m-eigenstates.png|right|thumb|upright=1.5|รูปร่างของออร์บิทัลเชิงอะตอม จากบนลงล่าง: 1''s'', 2''p'', 3''d'' และ 4''f'' จากซ้ายไปขวา: <math>m=-l,\ldots, l</math> สีต่าง ๆ แสดงเฟสของฟังก์ชันคลื่น]]

คุณสมบัติแรกหรือเลขควอนตัมแรกที่อธิบายออร์บิทัลคือ "[[เลขควอนตัมหลัก]]" (principal quantum number) แทนด้วยอักษร {{math|''n''}} ซึ่งเหมือนกับในแบบจำลองของโปร์ที่ {{math|''n''}} คือระดับพลังงานของแต่ละออร์บิทัล ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ {{math|''n''}} คือ[[จำนวนเต็ม]]:
:<math>n = 1, 2, 3\ldots</math>

เลขควอนตัมถัดไปคือ "[[เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม]]" (azimuthal quantum number) แทนด้วยอักษร {{math|''l''}} อธิบายรูปร่างของออร์บิทัล รูปร่างเป็นผลมาจากโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล โมเมนตัมเชิงมุมแสดงถึงความต้านทานของวัตถุที่กำลังหมุนเพื่อเร่งความเร็วหรือลดความเร็วลงภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอก เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมนี้แสดงโมเมนตัมเชิงมุมออร์บิทัลของอิเล็กตรอนที่โคจรรอบนิวเคลียส ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ {{math|''l''}} คือจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง {{math|''n − 1''}} (โดยที่ {{math|''n''}} คือเลขควอนตัมหลักของอิเล็กตรอน):
:<math>l = 0, 1, \ldots, n-1.</math>
อย่างไรก็ตามรูปร่างของออร์บิทัลแต่ละออร์บิทัลมักถูกแทนด้วยตัวอักษรแทนที่จะใช้ค่าของเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม รูปร่างแรก ({{math|''l''}}=0) แทนด้วยอักษร {{math|''s''}} ([[นีโมนิค|ตัวช่วยจำ]]คือ "''s''phere" – ทรงกลม) รูปร่างถัดไปแสดงด้วยตัวอักษร {{math|''p''}} ซึ่งมีรูปร่างคล้าย[[ดัมเบล]] ออร์บิทัลอื่นมีรูปร่างที่ซับซ้อนกว่าและจะแสดงด้วยตัวอักษร {{math|''d''}}, {{math|''f''}}, {{math|''g''}} เป็นต้น (ดูเพิ่มที่[[ออร์บิทัลของอะตอม]])

เลขควอนตัมลำดับที่สามคือ "[[เลขควอนตัมแม่เหล็ก]]" (magnetic quantum number) อธิบาย[[โมเมนต์แม่เหล็ก]]ของอิเล็กตรอน แทนด้วยตัว {{math|''m''<sub>''l''</sub>}} (หรือแค่ ''m'') ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ {{math|''m''<sub>''l''</sub>}} จำนวนเต็มตั้งแต่ {{math|−''l''}} ถึง {{math|''l''}} (โดยที่ {{math|''l''}} คือเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอน):
:<math>m_l = -l, -(l-1), \ldots, 0, \ldots, (l-1), l.</math>
เลขควอนตัมแม่เหล็กวัดองค์ประกอบของโมเมนตัมเชิงมุมในทิศทางเฉพาะ การเลือกทิศทางเป็นไปตามใจชอบ แต่ตามธรรมเนียมแล้วจะเลือกทิศทาง z

เลขควอนตัมลำดับสี่คือ "[[เลขควอนตัมสปิน]]" (spin quantum number) เกี่ยวข้องกับ "การวางแนว" ของสปินของอิเล็กตรอน แทนด้วยตัว {{math|''m<sub>s</sub>''}} มีค่าเป็น +{{frac|1|2}} หรือ −{{frac|1|2}}

นักเคมี [[ไลนัส พอลิง]]ได้กล่าวถึงโดยยกตัวอย่างดังนี้
{{blockquote|"ในกรณีของอะตอม[[ฮีเลียม]]ที่มีอิเล็กตรอนสองตัวในออร์บิทัล 1''s'' หลักการกีดกันของเพาลีกำหนดให้อิเล็กตรอนสองตัวมีเลขควอนตัมต่างกันหนึ่งค่า ค่าของ {{math|''n''}}, {{math|''l''}} และ {{math|''m<sub>l</sub>''}} เท่ากันหมดแล้ว ดังนั้น ค่า {{math|''m<sub>s</sub>''}} จะต้องต่างกัน ซึ่งอาจมีค่า +{{frac|1|2}} สำหรับอิเล็กตรอนตัวหนึ่ง และ −{{frac|1|2}} สำหรับอีกตัวหนึ่ง"<ref name=Pauling/>}}
มันเป็นโครงสร้างพื้นฐานและความสมมาตรของออร์บิทัลของอะตอมและวิธีการจัดเรียงอิเล็กตรอนในแต่ละออร์บิทัล สิ่งนี้นำไปสู่การจัดระเบียบ[[ตารางธาตุ]] วิธีที่ออร์บิทัลอะตอมของอะตอมชนิดต่าง ๆ รวมกันเป็น[[ออร์บิทัลเชิงโมเลกุล|ออร์บิทัลของโมเลกุล]]จะเป็นตัวกำหนดโครงสร้างและความแข็งแรงของ[[พันธะเคมี]]ระหว่างอะตอม

== สมการคลื่นของดิแรก ==
{{หลัก|สมการดิแรก}}
[[ไฟล์:Paul Dirac, 1933, head and shoulders portrait, bw.jpg|upright|thumb|right|[[พอล ดิแรก]] (1902–1984)]]

ในปี ค.ศ. 1928 [[พอล ดิแรก]] ได้ขยาย[[สมการของเพาลี]]ที่อธิบายถึงอิเล็กตรอนที่หมุนรอบตัว เพื่อใช้อธิบาย[[ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ]] ผลลัพธ์คือทฤษฎีใหม่ที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ได้อย่างเหมาะสม เช่น ความเร็วที่อิเล็กตรอนโคจรรอบนิวเคลียส ซึ่งมีค่าเป็นสัดส่วนกับ[[ความเร็วแสง]] เขาใช้ทฤษฎี[[ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า|ปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า]]ที่ง่ายที่สุด จนสามารถทำนายค่าของโมเมนต์แม่เหล็กที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของอิเล็กตรอนและพบค่าที่ตรงกับค่าที่สังเกตได้จากการทดลอง ซึ่งมากเกินกว่าค่าของทรงกลมมีประจุที่หมุนอยู่หากอธิบายด้วย[[ฟิสิกส์คลาสสิก]] เขาสามารถแก้ปัญหา[[เส้นสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจน]]และทำซ้ำได้โดยใช้หลักทางกายภาพหลักที่หนึ่ง ซึ่งเป็นสูตรของ [[Arnold Sommerfeld|Sommerfeld]] สำหรับ[[fine structure|โครงสร้างละเอียด]]ของสเปกตรัมไฮโดรเจนที่ประสบความสำเร็จ

บางครั้งสมการของดิแรกให้ค่าพลังงานเป็นลบ เขาจึงได้เสนอวิธีแก้ปัญหาใหม่โดยเสนอการมีอยู่ของ[[โพซิตรอน|แอนติอิเล็กตรอน]]และสุญญากาศเชิงพลวัต สิ่งนี้นำไปสู่[[ทฤษฎีสนามควอนตัม]]ของหลายอนุภาค

== การพัวพันเชิงควอนตัม ==
{{หลัก|การพัวพันเชิงควอนตัม}}

[[ไฟล์:Superposition.svg|left|thumb|upright=1.5|การซ้อนทับกันของคุณลักษณะควอนตัมสองแบบ (ซ้าย) และความเป็นไปได้ของผลลัพธ์สองแบบ (ขวา)]]

หลักการกีดกันของเพาลีกล่าวว่าอิเล็กตรอนสองตัวในระบบเดียวไม่สามารถอยู่ในสถานะเดียวกันได้ ในขณะเดียวกันธรรมชาติเปิดโอกาสให้อิเล็กตรอนสองตัวสามารถมีสถานะทั้งสอง "ซ้อนทับ" (superimpose) อยู่เหนือแต่ละตัวได้ เรากล่าวไปแล้วว่าฟังก์ชันคลื่นที่เกิดขึ้นพร้อม ๆ กันจากช่องแคบคู่จะมาถึงฉากตรวจจับในสถานะซ้อนทับ (superposition) ไม่มีอะไรแน่นอนจนกว่ารูปคลื่นที่ซ้อนทับจะ "ยุบตัว" ลง (collapse) ถึงตอนนั้นอิเล็กตรอนจะปรากฏขึ้น ณ ที่ใดที่หนึ่งในสนามความน่าจะเป็นที่มีค่าเท่ากับยกกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของแอมพลิจูดที่มีค่าเชิงซ้อนของรูปคลื่นทั้งสองที่ซ้อนทับกัน นั่นถือเป็นสถานการณ์ที่เป็นนามธรรมมากแล้ว จากนี้จะแสดงวิธีคิดที่เป็นรูปธรรมของโฟตอนที่พัวพันกัน (entangled) โดยที่โฟตอนดังกล่าวมีสถานะตรงกันข้ามสองสถานะซ้อนทับกันในเหตุการณ์เดียวกัน

ลองนึกภาพว่าเรามีโฟตอนที่มีรหัสสีสองสถานะ สถานะหนึ่งมีป้ายกำกับว่า ''สีน้ำเงิน'' และอีกสถานะหนึ่งมีป้ายกำกับว่า ''สีแดง'' และเราให้สถานะที่ทับซ้อนกันของสถานะสีแดงและสีน้ำเงินปรากฏ (อยู่ในจินตนาการ) ว่าเป็นสถานะ ''สีม่วง'' เราพิจารณาให้มีโฟตอนสองตัวถูกสร้างขึ้นมาจากเหตุการณ์อะตอม (atomic event) เหตุการณ์เดียวกัน ซึ่งอาจเกิดจากการกระตุ้นคริสตัลที่มีความสามารถในการดูดซับโฟตอนที่ความถี่หนึ่งและจากนั้นก็ปล่อยโฟตอนสองตัวที่มีความถี่เป็นครึ่งหนึ่งของความถี่ดั้งเดิม ในกรณีนี้โฟตอนจะเชื่อมโยงถึงกันผ่านต้นกำเนิดร่วมกันในเหตุการณ์อะตอมเดียวกัน กระบวนการนี้ส่งผลให้เกิดสถานะซ้อนทับกันของโฟตอน โฟตอนทั้งสองจึงออกมาเป็น ''สีม่วง'' ตอนนี้หากผู้ทดลองได้ลงมือทำการทดลองเพื่อระบุว่าโฟตอนตัวใดเป็น ''สีน้ำเงิน'' หรือ ''สีแดง'' การทดลองนี้จะเปลี่ยนคุณสมบัติของโฟตอนที่แต่เดิมมีสถานะซ้อนทับกันระหว่าง ''สีน้ำเงิน'' และ ''สีแดง'' ให้กลายเป็นสถานะสีใดสีหนึ่งเท่านั้น วิธีคิดแบบนี้ได้กลายเป็นปัญหาเมื่อไอน์สไตน์จินตนาการต่อไปว่า ถ้าหากเราเก็บโฟตอนตัวหนึ่งไว้ในห้องทดลองบนพื้นโลกและปล่อยให้มันเต้นไปมาระหว่างแผ่นกระจกที่นั่น และนำโฟตอนอีกตัวหนึ่งเดินทางไปยังดาวฤกษ์ที่อยู่ใกล้โลกที่สุด พอนำไปได้ครึ่งทางจึงทำการระบุสถานะของโฟตอนที่อยู่บนโลกว่าเป็นสีน้ำเงินหรือสีแดง นั่นจะทำโฟตอนอีกตัวที่อยู่ไกลออกไปจากโลกมาก ๆ จะต้องสูญเสียสถานะ ''สีม่วง'' ไปและต้องแสดงสถานะตรงกันข้ามกับสถานะของโฟตอนฝาแฝดที่ปรากฏออกมาเมื่อใดก็ตามที่มีการวัดค่าสถานะ

ไอน์สไตน์ไม่เชื่อและพยายามแสดงให้เห็นว่ากลศาสตร์ควอนตัมไม่ใช่ทฤษฎีที่สมบูรณ์ เขาตั้งต้นจากแนวคิดที่ว่าอนุภาคตั้งแต่สองตัวขึ้นไปที่มีปฏิสัมพันธ์กันมาก่อน แม้แยกทางกันไปแล้ว เมื่อวัดคุณสมบัติต่าง ๆ ของมันภายหลังอาจมีความสัมพันธ์กันอย่างมาก เขาพยายามอธิบายปฏิสัมพันธ์นี้ด้วยหลักการฟิสิกส์แบบดั้งเดิม มากกว่าที่จะเป็น "การส่งผลถึงกันในระยะไกลแบบเหนือธรรมชาติ" (spooky action at a distance) แนวคิดและการโต้แย้งนี้ปรากฎในบทความชื่อดังของไอน์สไตน์, โพดอลสกี้ และโรเซน (1935) ที่เรียกกันว่า[[ปฏิทรรศน์ EPR]] ซึ่งย่อมาจากชื่อของผู้เขียนทั้งสามคน บทความนี้ใช้หลักการที่ในปัจจุบันมักเรียกกันว่า [[สัจนิยมเฉพาะที่]] (local realism) ซึ่งแสดงให้เห็นจากทฤษฎีควอนตัมว่าอนุภาคมีทั้งตำแหน่งและโมเมนตัมพร้อมกัน ในขณะที่[[การตีความโคเปนเฮเกน]] มีเพียงหนึ่งในสองคุณสมบัติเท่านั้นที่มีอยู่จริงและมีอยู่เฉพาะในขณะที่มันกำลังถูกวัดเท่านั้น พวกเขาสรุปว่าทฤษฎีควอนตัมไม่สมบูรณ์ เพราะปฏิเสธที่จะยอมรับคุณสมบัติทางกายภาพที่จริง ๆ แล้วมีอยู่จริงในธรรมชาติ (ในปัจจุบันบทความนี้เป็นสิ่งตีพิมพ์ที่มีการอ้างอิงถึงมากที่สุดของไอน์สไตน์ในวารสารฟิสิกส์) ในปีเดียวกันนั้น [[แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์]] เสนอคำว่า "entanglement" (การพัวพัน) และประกาศว่า "ฉันจะไม่เรียกแบบนั้น (เหมือนที่ไอน์สไตน์เรียก) แต่จะเรียกว่าเป็นคุณลักษณะเฉพาะของกลศาสตร์ควอนตัม"<ref>E. Schrödinger, ''Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', 31 (1935), หน้า 555, กล่าวว่า "When two systems, of which we know the states by their respective representation, enter into a temporary physical interaction due to known forces between them and when after a time of mutual influence the systems separate again, then they can no longer be described as before, viz., by endowing each of them with a representative of its own. I would not call that ''one'' but rather ''the'' characteristic trait of quantum mechanics."</ref> ต่อมา[[จอห์น สจวร์ต เบลล์]] นักฟิสิกส์ชาวไอริช นำแนวคิดการพัวพันเชิงควอนตัมไปวิเคราะห์ต่อ และได้อนุมานว่าถ้าเราแยกอนุภาคที่เคยพัวพันออกจากกัน แล้ววัดคุณสมบัติของมันแบบแยกเดี่ยว หากผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ซ่อนอยู่ภายในแต่ละอนุภาค มันจะต้องมีข้อจำกัดทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับความสัมพันธ์ของผลการวัดทั้งสองจุด ข้อจำกัดนี้ต่อมาถูกเรียกว่า [[ความไม่เท่ากันของเบลล์]] (Bell inequality) แสดงให้เห็นว่ากลศาสตร์ควอนตัมทำนายความสัมพันธ์ที่ละเมิดความไม่เท่ากันนี้ ดังนั้น วิธีเดียวที่ตัวแปรที่ซ่อนอยู่สามารถอธิบายการทำนายของกลศาสตร์ควอนตัมได้ก็คือ เมื่อตัวแปรเหล่านั้นเป็นแบบ "ไม่ใช่เฉพาะที่" (nonlocal) ซึ่งก็คืออนุภาคทั้งสองสามารถมีปฏิสัมพันธ์กันได้ทันทีไม่ว่าจะอยู่ห่างกันไกลแค่ไหนก็ตาม<ref name="C.B. Parker 1994 542">{{cite book | first = Sybil B. | last = Parker | title = McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics | edition = 2nd | page = [https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park/page/542 542] | date = 1994 | publisher = McGraw-Hill | isbn = 978-0-07-051400-3 | url = https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park| url-access = registration }}</ref><ref name = "ND Mermin 1993-07">{{cite journal | last = Mermin |first = N. David |author-link=N. David Mermin |title = Hidden Variables and the Two Theorems of John Bell | journal = [[Reviews of Modern Physics]] | volume = 65 |pages = 803–15 | number = 3| date = July 1993  | url = http://cqi.inf.usi.ch/qic/Mermin1993.pdf |arxiv=1802.10119|doi = 10.1103/RevModPhys.65.803 |bibcode = 1993RvMP...65..803M |s2cid = 119546199 }}</ref> การทดลองตามแนวคิดของเบลล์ นักฟิสิกส์พบว่าธรรมชาติทำตามกลศาสตร์ควอนตัม และขัดแย้งกับความไม่เท่ากันของเบลล์ กล่าวอีกทางหนึ่งคือ ผลการทดลองขัดแย้งกับทฤษฎีตัวแปรซ้อนเร้นแบบเฉพาะที่ (local hidden variable theory)<ref name="NAT-20180509">{{cite journal |author=The BIG Bell Test Collaboration |title=Challenging local realism with human choices |date=9 May 2018 |journal=[[Nature (journal)|Nature]] |volume=557 |issue=7704 |pages=212–216 |doi=10.1038/s41586-018-0085-3 |pmid=29743691 |bibcode=2018Natur.557..212B |arxiv=1805.04431 |s2cid=13665914 }}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.quantamagazine.org/20170207-bell-test-quantum-loophole/|title=Experiment Reaffirms Quantum Weirdness|last=Wolchover|first=Natalie|author-link=Natalie Wolchover|date=2017-02-07|work=[[Quanta Magazine]]|language=en-US|access-date=2020-02-08}}</ref>

== ทฤษฎีสนามควอนตัม ==
{{หลัก|ทฤษฎีสนามควอนตัม}}

แนวคิดเรื่องทฤษฎีสนามควอนตัมเริ่มขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1920 จากพอล ดิแรก นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ โดยการทำพลังงานของ[[สนามแม่เหล็กไฟฟ้า]]ให้เป็นควอนตัม เช่นเดียวกับการทำพลังงานของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจนให้เป็นควอนตัมในทฤษฎีควอนตัม [[การทำให้เป็นควอนตัม]] (quantization) เป็นกระบวนการสร้างทฤษฎีควอนตัมขึ้นจากทฤษฎีคลาสสิกที่มีอยู่แล้ว

''[[เมอร์เรียม-เว็บสเตอร์]]'' นิยามคำว่า ''สนาม '' (field) ในฟิสิกส์ว่าเป็น "บริเวณหรือพื้นที่ซึ่งมีผลกระทบของสิ่งที่กำหนด (เช่น [[ความเป็นแม่เหล็ก]])"<ref>[http://www.merriam-webster.com/dictionary/field "Mechanics", ''Merriam-Webster Online Dictionary'']</ref> ปรากฏการณ์อื่นที่มีสนามได้แก่ [[ความโน้มถ่วง]]และ[[ไฟฟ้าสถิต]]<ref name="EB-field">[https://www.britannica.com/EBchecked/topic/206162/field "Field"], ''Encyclopædia Britannica''</ref> ในปี 2008 นักฟิสิกส์ริชาร์ด แฮ็มมอนด์ กล่าวว่า

<blockquote>บางครั้งเราแยกความแตกต่างระหว่างกลศาสตร์ควอนตัม (QM) และทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) โดย QM หมายถึงระบบที่มีจำนวนอนุภาคคงที่ และสนามพลังงานต่าง ๆ (เช่น สนามแม่เหล็กไฟฟ้า) จะเป็นแบบต่อเนื่อง คล้ายกับฟิสิกส์ดั้งเดิม ส่วน QFT&nbsp;... ไปอีกขั้นหนึ่ง โดยยอมให้มีการสร้างและการหายไปของอนุภาค&nbsp;...</blockquote>

อย่างไรก็ตามเขาเสริมว่า ''กลศาสตร์ควอนตัม'' มักใช้เพื่ออ้างถึง "แนวคิดทั้งหมดของมุมมองเชิงควอนตัม"<ref name="Hammond">Richard Hammond, ''The Unknown Universe'', New Page Books, 2008. {{ISBN|978-1601630032}}</ref>{{rp|108}}

ในปี ค.ศ. 1931 พอล ดิแรกเสนอการมีอยู่ของอนุภาคซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อ[[ปฏิสสาร]] (antimatter)<ref>{{cite web|url=http://www.physicalworld.org/restless_universe/html/ru_dira.html|title=Featured Physicists – Paul Dirac 1902–1984|website=www.physicalworld.org|access-date=1 December 2011|archive-date=4 March 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304001555/http://www.physicalworld.org/restless_universe/html/ru_dira.html|url-status=dead}}</ref> เขาได้รับ[[รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์]]ประจำปี 1933 ร่วมกับชเรอดิงเงอร์สำหรับ "การค้นพบทฤษฎีอะตอมรูปแบบใหม่ที่มีประสิทธิผล"<ref name=nobel>{{cite web | url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/ | title=The Nobel Prize in Physics 1933 | publisher=[[Nobel Foundation]] | access-date=2007-11-24}}</ref>

=== พลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัม ===
{{หลัก|พลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัม}}

พลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัม (quantum electrodynamics, QED) เป็นชื่อทฤษฎีควอนตัมของ[[แรงแม่เหล็กไฟฟ้า]] การทำความเข้าใจ QED เริ่มต้นด้วยการทำความเข้าใจเกี่ยวกับ[[ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า]] แม่เหล็กไฟฟ้าเรียกได้อีกชื่อว่า "พลศาสตร์ไฟฟ้า" (electrodynamics) เพราะเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์พลวัตระหว่างแรงไฟฟ้าและ[[แรงโลเรินตส์|แรงแม่เหล็ก]] ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าเริ่มต้นด้วย[[ประจุไฟฟ้า]]

ประจุไฟฟ้าเป็นแหล่งกำเนิด[[สนามไฟฟ้า]] สนามไฟฟ้าคือสนามที่ออกแรงกระทำต่ออนุภาคที่มีประจุไฟฟ้า ณ จุดใด ๆ ในปริภูมิ ประจุไฟฟ้าก็คืออิเล็กตรอน โปรตอน หรือแม้กระทั่ง[[ควาร์ก]] ฯลฯ เมื่อมีแรงกระทำ ประจุไฟฟ้าจะเคลื่อนที่ กระแสไฟฟ้าจะไหล และเกิดสนามแม่เหล็กขึ้น ในทางกลับกันเมื่อสนามแม่เหล็กเปลี่ยนแปลงจะทำให้เกิด[[กระแสไฟฟ้า]]เช่นเดียวกัน (มักเป็นอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่) คำอธิบายทางฟิสิกส์ของปฏิสัมพันธ์ของ[[อนุภาคมีประจุ]] กระแสไฟฟ้า สนามไฟฟ้า และสนามแม่เหล็กเราเรียกรวมกันว่าแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism)

ในปี 1928 พอล ดิแรก ได้สร้างทฤษฎีควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพของแม่เหล็กไฟฟ้าขึ้น ซึ่งเป็นต้นกำเนิดของพลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัมสมัยใหม่ เนื่องจากมีส่วนประกอบสำคัญของทฤษฎีสมัยใหม่ แต่ใน[[ทฤษฎีสนามควอนตัม|ทฤษฎีควอนตัมเชิงสัมพัทธ์]]นี้ก็ยังมีปัญหาเรื่องความอนันต์ที่คำนวณไม่ได้อยู่ ต่อมาแนวคิดเรื่อง [[renormalization]] ช่วยแก้ปัญหานี้ได้ แม้ในตอนแรกจะถูกมองว่าเป็นวิธีชั่วคราวหรือเป็นวิธีที่น่าสงสัยโดยเหล่าผู้สร้างเอง แต่สุดท้ายก็ได้รับการยอมรับเป็นเครื่องมือสำคัญใน QED และสาขาฟิสิกส์อื่น ๆ ช่วงปลายทศวรรษ 1940 มีการใช้[[แผนภาพไฟน์แมน]] (Feynman diagram) เพื่อทำนายผลลัพธ์ของ QED ด้วยการหาแอมพลิจูดของความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละวิธีที่เป็นไปได้ที่ปฏิสัมพันธ์ใด ๆ อาจเกิดขึ้น แผนภาพไฟน์แมนแสดงให้เห็นโดยเฉพาะว่าแรงแม่เหล็กไฟฟ้าเกิดจากการแลกเปลี่ยนโฟตอนระหว่างอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์กัน<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Particles/expar.html|title=Exchange Particles|website=hyperphysics.phy-astr.gsu.edu|access-date=16 October 2018}}</ref>

[[การเลื่อนของแลมบ์]] (Lamb shift) เป็นตัวอย่างหนึ่งของการทำนายพลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัมที่ได้รับการตรวจสอบจากการทดลองแล้ว อธิบายว่าผลกระทบจากธรรมชาติเชิงควอนตัมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าส่งผลให้ระดับพลังงานในอะตอมหรือไอออนเบี่ยงเบนไปเล็กน้อยจากสิ่งที่จะเป็น เป็นผลให้เส้นสเปกตรัมอาจเลื่อนหรือแยกออก

ในทำนองเดียวกัน ภายในคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แพร่กระจายอย่างอิสระ กระแสไฟฟ้ายังสามารถเป็นเพียง[[กระแสการกระจัด]]ที่เป็นนามธรรม แทนที่จะเป็นส่วนหนึ่งของตัวนำประจุ คำอธิบายแบบเต็มในทฤษฎี QED จำเป็นต้องใช้[[อนุภาคเสมือน]]ที่มีอายุสั้น ทำให้แนวคิดก่อนหน้าที่ค่อนข้างลึกลับมีความสมบูรณ์ขึ้นมาอีกครั้ง

=== แบบจำลองมาตรฐาน ===
{{หลัก|แบบจำลองมาตรฐาน}}

[[แบบจำลองมาตรฐาน]]ของฟิสิกส์อนุภาคก็คือทฤษฎีสนามควอนตัมที่อธิบาย[[แรงพื้นฐาน]] 3 ใน 4 แรงที่เรารู้จักใน[[เอกภพ]] ได้แก่ [[แรงแม่เหล็กไฟฟ้า]] [[อันตรกิริยาอย่างอ่อน|แรงอย่างอ่อน]] และ[[อันตรกิริยาอย่างเข้ม|แรงอย่างเข้ม]] ไม่นับรวม[[แรงโน้มถ่วง]] และจำแนก[[อนุภาคมูลฐาน]]ที่เรารู้จักทั้งหมด แบบจำลองถูกพัฒนามาเป็นระยะตลอดครึ่งหลังศตวรรษที่ 20 จากผลงานของนักวิทยาศาสตร์จำนวนมากทั่วโลก หน้าตาของแบบจำลองในปัจจุบันได้รับการสรุปมาตั้งแต่กลางทศวรรษที่ 1970 จาก[[ระเบียบวิธีทางวิทยาศาสตร์|การยืนยันการทดลอง]]ที่พิสูจน์การดำรงอยู่ของ[[ควาร์ก]] ต่อมามีการค้นพบ[[ท็อปควาร์ก]] (1995), [[เทานิวตริโน]] (2000) และ[[ฮิกส์โบซอน]] (2012) สิ่งเหล่านี้เพิ่มความน่าเชื่อถือให้กับแบบจำลองมาตรฐานมากขึ้น นอกจากนี้แบบจำลองมาตรฐานยังได้ทำนายคุณสมบัติต่าง ๆ ของ[[กระแสเป็นกลาง|กระแสเป็นกลางอย่างอ่อน]] และ[[โบซอน W และ Z]] ด้วยความแม่นยำสูง

แม้จะเชื่อกันว่าแบบจำลองมาตรฐานมีความคงรูปในตัวมันเองทางทฤษฎี และยังแสดงความสำเร็จจาก[[การทำนาย]]การทดลอง แต่ก็ยังคงมี[[Physics beyond the Standard Model|ปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์บางอย่างที่ไม่สามารถอธิบายได้]] ทำให้ยังไม่สามารถใช้แบบจำลองนี้เป็น[[ทฤษฎีสรรพสิ่ง|ทฤษฎีที่สมบูรณ์ของแรงพื้นฐาน]]ได้ แบบจำลองไม่สามารถอธิบาย[[อสมมาตรของแบริออน|ความไม่สมมาตรของแบริออน]]ได้ครบถ้วน ไม่สามารถรวม[[ความโน้มถ่วง|ทฤษฎีความโน้มถ่วง]]ที่สมบูรณ์ตาม[[ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป]]เข้าด้วยได้ หรืออธิบาย[[การขยายตัวด้วยความเร่งของเอกภพ]] ที่อาจอธิบายได้ด้วยแนวคิดของ[[พลังงานมืด]] แบบจำลองนี้ยังไม่แสดงอนุภาคของ[[สสารมืด]]ใด ๆ ที่น่าจะเป็นตัวเก็บคุณสมบัติจำเป็นทั้งหมดที่ได้อนุมานไว้ใน[[จักรวาลวิทยาเชิงกายภาพ|จักรวาลวิทยาเชิงสังเกต]] และยังไม่ได้รวมปรากฏการณ์[[การแกว่งของนิวตริโน]]และมวลที่ไม่เป็นศูนย์ของมันเข้าด้วย ดังนั้นแบบนำลองนี้จึงถูกใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างแบบจำลองที่แปลกใหม่ขึ้นไปที่รวมเอา[[อนุภาคสมมุติ]] [[มิติพิเศษ]] และสมมาตรซับซ้อน (เช่น [[สมมาตรยิ่งยวด]]) เพื่ออธิบายผลการทดลองที่ขัดแย้งกับแบบจำลองมาตรฐาน เช่น การมีอยู่ของสสารมืดและการแกว่งของนิวตริโน

== การตีความ ==
{{หลัก|การตีความกลศาสตร์ควอนตัม}}

การวัด ผลการคำนวณ และการทำนายทางกลศาสตร์ควอนตัมล้วนมีความสอดคล้องกันและมีการพิสูจน์ว่าถูกต้องในระดับสูงมาก แต่คำถามที่ว่าโมเดลเชิงนามธรรมเหล่านี้สื่อถึงธรรมชาติของโลกที่แท้จริงอย่างไรยังคงเป็นที่ถกเถียง การตีความเหล่านี้มีความแตกต่างกันอย่างมากและบางครั้งก็ค่อนข้างจะเป็นนามธรรม ตัวอย่างเช่น [[การตีความแบบโคเปนเฮเกน]] บอกว่าก่อนการวัด เราไม่สามารถฟันธงคุณสมบัติของอนุภาคได้เลย ในขณะที่[[การตีความหลายโลก]] (many-worlds interpretation) เสนอว่ามี[[พหุภพ|จักรวาลคู่ขนาน]]จำนวนมากเกิดขึ้นจากทุกความเป็นไปได้ที่เกิดขึ้น<ref>{{cite web|url=http://abyss.uoregon.edu/~js/21st_century_science/lectures/lec15.html|title=Copenhagen Interpretation|website=abyss.uoregon.edu|access-date=16 October 2018|archive-date=27 February 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200227150532/http://abyss.uoregon.edu/~js/21st_century_science/lectures/lec15.html|url-status=dead}}</ref>

บางครั้งแสงแสดงพฤติกรรมเหมือนอนุภาค และบางครั้งเหมือนคลื่น สสารซึ่งเป็น "วัสดุ" ของจักรวาลที่ประกอบด้วยอนุภาค เช่น[[อิเล็กตรอน]]และ[[อะตอม]] ก็สามารถแสดง[[ทวิภาคคลื่น–อนุภาค|พฤติกรรมคล้ายคลื่น]]ได้เช่นกัน แหล่งกำเนิดแสงบางชนิด เช่น[[ไฟนีออน]] ปล่อยแสงออกมาเฉพาะความถี่บางความถี่เท่านั้น ซึ่งเป็นชุดสีบริสุทธิ์ต่างกันชุดเล็ก ๆ ที่กำหนดโดยโครงสร้างอะตอมนีออน กลศาสตร์ควอนตัมแสดงให้เห็นว่าแสงและรูปแบบของ[[รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า]]รูปแบบอื่นทั้งหมดประกอบด้วยหน่วยพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องกันเรียกว่า [[โฟตอน]] กลศาสตร์ควอนตัมยังทำนายพลังงาน[[สเปกตรัม]]ของมัน (ซึ่งสอดคล้องกับสีบริสุทธิ์) และ[[ความเข้ม]]ของลำแสงของมัน โฟตอนเดี่ยวคือ ''[[ควอนตัม]]''หนึ่งหน่วย หรือเป็นอนุภาคที่เล็กที่สุดที่สังเกตได้ภายในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ไม่เคยมีผู้ใดเห็นโฟตอน "กึ่งตัว" หรือโฟตอนเฉพาะส่วนจากการทดลองเลย กลศาสตร์ควอนตัมยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติหลายประการของวัตถุ เช่น ตำแหน่ง ความเร็ว และ[[โมเมนตัมเชิงมุม]] ซึ่งดูเหมือนมีความต่อเนื่องในมุมมองฟิสิกส์ดั้งเดิม กลายเป็นสมบัติแบบ "ควอนตัม" (หรือ "แจกแจงเป็นหน่วย" หรือ "ขั้นบันได") ในโลกที่เล็กมาก ๆ ในมุมมองกลศาสตร์ควอนตัม คุณสมบัติดังกล่าวของ[[อนุภาคมูลฐาน]]จึงมีค่าที่เป็นไปได้เฉพาะบางค่าเท่านั้น และเนื่องจากช่องว่างระหว่างค่าเหล่านี้มีขนาดเล็กเช่นกัน ความไม่ต่อเนื่องจึงปรากฏให้เห็นในระดับที่เล็กมาก (อะตอม) เท่านั้น

== การประยุกต์ ==
=== ในชีวิตประจำวัน ===
ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าและพลังงานของโฟตอนแต่ละตัวสามารถใช้อธิบายสาเหตุที่ว่าทำไม[[แสงอัลตราไวโอเลต]]ทำให้เกิดอาการ[[ผิวไหม้แดด]]ได้ ในขณะที่[[แสงที่ตามองเห็น]]หรือ[[แสงอินฟราเรด]]ไม่สามารถทำได้ โฟตอนของแสงอัลตราไวโอเลตให้[[พลังงาน]]ในปริมาณมาก มากพอที่จะทำความเสียหายต่อเซลล์ เช่น จากแดดเผา ส่วนโฟตอนของแสงอินฟราเรดให้พลังงานน้อยกว่า พอที่จะทำให้ผิวหนังรู้สึกอุ่นเท่านั้น ฉะนั้นเราสามารถใช้หลอดอินฟราเรดเพื่ออุ่นพื้นผิวขนาดใหญ่ได้ ซึ่งอาจพอที่จะทำให้มนุษย์ในห้องที่เย็นรู้สึกสบาย แต่ในขณะเดียวกันก็จะไม่มีผิวใครไหม้<ref>[https://www.livescience.com/50326-what-is-ultraviolet-light.html Jim Lucas: 'What Is Ultraviolet Light?', 15 September 2017, at livescience.com] Accessed 27 December 2017</ref>

=== ในเชิงเทคโนโลยี ===
การประยุกต์ใช้กลศาสตร์ควอนตัม ได้แก่ [[เลเซอร์]] [[ทรานซิสเตอร์]] [[กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน]] และ[[การสร้างภาพด้วยเรโซแนนซ์แม่เหล็ก|การถ่ายภาพด้วยคลื่นสนามแม่เหล็ก]] การใช้งานทางกลควอนตัมประเภทพิเศษเกี่ยวข้องกับ[[ปรากฏการณ์ควอนตัมระดับมหภาค]] เช่น ฮีเลียมเหลวยิ่งยวดและตัวนำยิ่งยวด การศึกษา[[สารกึ่งตัวนำ]]พามนุษย์ไปสู่การประดิษฐ์[[ไดโอด]]และ[[ทรานซิสเตอร์]] ซึ่งเป็นส่วนประกอบสำคัญที่ขาดไม่ได้ในอุปกรณ์[[อิเล็กทรอนิกส์]]สมัยใหม่

แม้แต่ใน[[สวิตช์ไฟ]]ธรรมดา หากไม่มี[[ปรากฎการณ์อุโมงค์ควอนตัม]] (quantum tunneling) อิเล็กตรอนใน[[กระแสไฟฟ้า]]จะไม่สามารถกระโดดข้ามขั้นออกไซด์ที่อาจเกิดขึ้นบนตัวสวิตช์ได้ ชิป[[หน่วยความจำแฟลช]]ที่พบใน [[ยูเอสบีแฟลชไดรฟ์|USB ไดรฟ์]] ยังใช้ปรากฏการณ์อุโมงค์ควอนตัมเพื่อลบเซลล์หน่วยความจำ<ref>{{cite book | last1 = Durrani | first1 = Z. A. K. | last2 = Ahmed | first2 = H. | editor = Vijay Kumar | title = Nanosilicon | publisher = Elsevier | year = 2008 | page = 345 | isbn = 978-0080445281}}</ref>

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

== บรรณานุกรม ==
* {{cite journal |last=Bernstein |first=Jeremy |year=2005 |title=Max Born and the quantum theory |journal=[[American Journal of Physics]] |volume=73 |issue=11 |doi=10.1119/1.2060717 |pages=999–1008|bibcode = 2005AmJPh..73..999B |doi-access=free }}
* {{cite book |last=Beller |first=Mara |year=2001 |title=Quantum Dialogue: The Making of a Revolution |publisher=University of Chicago Press }}
* {{cite book |author=Bohr, Niels |author-link=นิลส์ โปร์ |year=1958 |title=Atomic Physics and Human Knowledge |url=https://archive.org/details/atomicphysicshum0000niel_g6d7 |publisher=John Wiley & Sons] |oclc=530611 |isbn=0486479285}}
* {{cite book |last=de Broglie |first=Louis |author-link=หลุยส์ เดอ บรอย |year=1953 |title=The Revolution in Physics |url=https://archive.org/details/revolutioninphys0000loui |publisher=Noonday Press |lccn=53010401}}
* {{cite journal |doi=10.1088/0143-0807/30/5/026 |title=Demonstrating quantum random with single photons |year=2009 |last1=Bronner |first1=Patrick |last2=Strunz |first2=Andreas |last3=Silberhorn |first3=Christine |last4=Meyn |first4=Jan-Peter |journal=European Journal of Physics |volume=30 |issue=5 |pages=1189–1200|bibcode = 2009EJPh...30.1189B |s2cid=7903179 }}
* {{cite book |last=Einstein |first=Albert |author-link=อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ |year=1934 |title=Essays in Science |url=https://archive.org/details/essaysinscience0000albe_h0s2 |publisher=[[Philosophical Library]] |lccn=55003947 |isbn=0486470113}}
* {{cite book |last1=Feigl |first1=Herbert |author-link=Herbert Feigl |last2=Brodbeck |first2=May |author-link2=May Brodbeck |year=1953 |title=Readings in the Philosophy of Science |url=https://archive.org/details/readingsinphilos00feig |url-access=registration |publisher=Appleton-Century-Crofts |lccn=53006438 |isbn=0390304883}}
* {{cite journal |last=Feynman |first=Richard P. |author-link=ริชาร์ด ไฟน์แมน |year=1949 |title=Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics |journal=[[Physical Review]] |volume=76 |issue=6 |pages=769–89 |doi=10.1103/PhysRev.76.769 |bibcode=1949PhRv...76..769F |doi-access=free }}
* {{cite book |last=Feynman|first=Richard P.| author-link=ริชาร์ด ไฟน์แมน |year=1990 |title=QED, The Strange Theory of Light and Matter|url=https://archive.org/details/qedstrangetheory0000feyn_x8n8| publisher=Penguin Books |isbn=978-0140125054}}
* {{cite book |last=Fowler |first=Michael |year=1999 |title=The Bohr Atom |publisher=University of Virginia |url=https://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/Bohr_Atom/Bohr_Atom.html}}{{ISBN?}}
* {{cite book |last=Heisenberg |first=Werner |author-link=แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์ค |year=1958 |title=Physics and Philosophy |publisher=Harper and Brothers |lccn=99010404 |isbn=0061305499 |url=https://archive.org/details/physicsphilosoph00heis }}
* {{cite journal |last=Lakshmibala |first=S. |year=2004 |title=Heisenberg, Matrix Mechanics and the Uncertainty Principle |journal=[[Resonance: Journal of Science Education]] |volume=9 |issue=8 |pages=46–56 |doi=10.1007/bf02837577|s2cid=29893512 }}
* {{cite book |last=Liboff |first=Richard L. |author-link=Richard Liboff |year=1992 |title=Introductory Quantum Mechanics |publisher=Addison-Wesley Pub. Co. |isbn=9780201547153 |url=https://archive.org/details/introductoryquan00libo |url-access=registration |edition=2nd }}{{ISBN?}}
* {{cite book |last1=Lindsay |first1=Robert Bruce |last2=Margenau |first2=Henry |year=1957 |title=Foundations of Physics |url=https://archive.org/details/foundationsofphy00lind |url-access=registration |publisher=Dover |lccn=57014416 |isbn=0918024188}}
* {{cite book |last1=McEvoy |first1=J. P. |last2=Zarate |first2=Oscar |year=2004 |title=Introducing Quantum Theory |publisher=Icon Books |isbn=1874166374 |url=https://archive.org/details/introducingquant00mcev }}
* {{cite web |last=Nave |first=Carl Rod |year=2005 |title=Quantum Physics |work=[[HyperPhysics]] |publisher=Georgia State University |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quacon.html#quacon}}
* {{cite book |last=Peat |first=F. David |year=2002 |title=From Certainty to Uncertainty: The Story of Science and Ideas in the Twenty-First Century |url=https://archive.org/details/fromcertaintytou00fdav |publisher=[[Joseph Henry Press]] }}
* {{cite book |last=Reichenbach |first=Hans |author-link=Hans Reichenbach |year=1944 |title=Philosophic Foundations of Quantum Mechanics |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212027 |publisher=University of California Press |lccn=a44004471 |isbn=0486404595}}
* {{cite book |last=Schilpp |first=Paul Arthur |author-link=Paul Arthur Schilpp |year=1949 |title=Albert Einstein: Philosopher-Scientist |publisher=Tudor Publishing Company |lccn=50005340}}
* ''Scientific American Reader'', 1953.
* {{cite book |last=Sears |first=Francis Weston |author-link=F. W. Sears |year=1949 |title=Optics |edition=3rd |publisher=Addison-Wesley |lccn=51001018 |isbn=0195046013 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/neutronopticsint0000sear }}
* {{cite conference |last=Shimony |first=A. |author-link=Abner Shimony |title=(title not given in citation) |book-title=Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology (S. Kamefuchi et al., eds.) |pages=225 |publisher=Japan Physical Society |year=1983 |location=Tokyo}}; cited in: {{cite arXiv|last=Popescu|first=Sandu|author2=Daniel Rohrlich|title=Action and Passion at a Distance: An Essay in Honor of Professor Abner Shimony |eprint=quant-ph/9605004 |year=1996}}
* {{cite book |last1=Tavel |first1=Morton |last2=Tavel |first2=Judith (illustrations) | title=Contemporary physics and the limits of knowledge | publisher=Rutgers University Press |year=2002 | isbn = 978-0813530772   | url = https://books.google.com/books?id=SELS0HbIhjYC&q=Wave+function+collapse&pg=PA200}}
* Van Vleck, J. H.,1928, "The Correspondence Principle in the Statistical Interpretation of Quantum Mechanics", ''Proc. Natl. Acad. Sci.'' 14: 179.
* {{cite arXiv |eprint=quant-ph/9801014 |author1=Westmoreland |author2=Benjamin Schumacher |title=Quantum Entanglement and the Nonexistence of Superluminal Signals |year=1998}}
* {{cite journal | last1=Wheeler | first1=John Archibald | author-link=John Archibald Wheeler |last2=Feynman |first2=Richard P. |author2-link=ริชาร์ด ไฟน์แมน |title=Classical Electrodynamics in Terms of Direct Interparticle Action |journal=[[Reviews of Modern Physics]] |volume=21 |issue=3 |pages=425–33 |year=1949 |doi=10.1103/RevModPhys.21.425|bibcode = 1949RvMP...21..425W |url=https://cds.cern.ch/record/1062647/files/RevModPhys.21.425.pdf |doi-access=free }}
* {{cite journal |last1=Wieman |first1=Carl |last2=Perkins |first2=Katherine |year=2005 |title=Transforming Physics Education |journal=[[Physics Today]] |doi=10.1063/1.2155756 |volume=58 |issue=11 |pages=36|bibcode = 2005PhT....58k..36W }}

[[หมวดหมู่:กลศาสตร์ควอนตัม| ]]