ดูต้นฉบับสำหรับ นิรพล

{{ขาดอ้างอิง}}
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] สมาชิก ''x'' ใน[[ริง (คณิตศาสตร์)|ริง]] ''R'' จะเรียกว่าเป็น '''นิรพล''' ({{langx|en|nilpotent}}) ก็ต่อเมื่อมี[[จำนวนธรรมชาติ|จำนวนเต็มบวก]] ''n'' อย่างน้อยหนึ่งจำนวน ที่ทำให้ <math>x^n = 0</math>

== ตัวอย่าง ==
* นิยามดังกล่าวสามารถใช้ได้ใน[[เมทริกซ์จัตุรัส]]บางเมทริกซ์ เช่นเมทริกซ์นี้
::<math>A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>
เป็นนิรพล เพราะว่า <math>A^3 = 0</math> ดูเพิ่มที่ [[เมทริกซ์นิรพล]] (nilpotent matrix)
* ใน[[ริงตัวประกอบ]] '''Z'''/9'''Z''' สมาชิก 3 เป็นนิรพล เพราะว่า 3<sup>2</sup> สมภาคกับ 0 [[มอดุโล]] 9
* สมมติให้ ''a'' และ ''b'' เป็นสมาชิกของริงไม่สลับที่ ''R'' และ <math>ab = 0</math><br />ดังนั้นสมาชิก ''c'' ใดๆ ที่เท่ากับ ''ab'' จะเป็นนิรพลเนื่องจาก <math>c^2 = (ba) ^2 = b (ab) a = 0</math> ตัวอย่างสมาชิก ''a'' และ ''b'' เช่น
::<math>A_1 = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}, \;\;
A_2 =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}</math> ซึ่งทำให้ <math> A_1A_2=0,\; A_2A_1=A_2 </math>
* ริงของ [[โคควอเทอร์เนียน]] มีสมาชิกนิรพลเป็น[[ทรงกรวย]]

== สมบัติ ==

* สมาชิกนิรพลใด ๆ ไม่สามารถเป็น[[หน่วย (ทฤษฎีริง)|หน่วย]]ได้ (ยกเว้นในริงศูนย์ ซึ่งมีสมาชิกตัวเดียวคือ 0 = 1)
* สมาชิกนิรพลที่ไม่เป็นศูนย์ เป็นตัวประกอบของศูนย์ (zero divisor)
* เมทริกซ์ขนาด ''n'' คูณ ''n'' ที่มีสมาชิกมาจาก[[ฟีลด์]]ใด ๆ เป็นนิรพลก็ต่อเมื่อมี[[พหุนามเอกลักษณ์]] (characteristic polynomial) เป็น ''t<sup>n</sup>''
* หาก ''x'' เป็นสมาชิกนิรพลแล้ว 1 - ''x'' เป็นหน่วย เพราะเมื่อ ''x<sup>n</sup>'' = 0 แล้วจะได้ว่า

<math>(1-x)(1+x+x^2+...+x^{n-1}) = 1-x^n = 1</math>

โดยทั่วไปจะได้ว่า ผลบวกของสมาชิกหน่วยกับสมาชิกนิรพลเป็นหน่วยเสมอเมื่อทั้งสองสลับที่ได้

== ดูเพิ่ม ==
* [[นิจพล]] (idempotent)

[[หมวดหมู่:ทฤษฎีริง]]
[[หมวดหมู่:ศูนย์]]
{{โครงคณิตศาสตร์}}