ดูต้นฉบับสำหรับ ทอรัส (เรขาคณิต)

{{เปลี่ยนทาง|torus||ทอรัส}}
{{ต้องการอ้างอิง}}
[[ไฟล์:Torus.png|right|thumb|250px|ทอรัส]]
'''ทอรัส''' หรือ '''โทรัส''' ({{langx|en|torus, พหูพจน์: tori}}) หรือ '''ทรงห่วงยาง''' คือ[[ผิวของการหมุนรอบ]]ชนิดหนึ่ง สร้างขึ้นจากการหมุน[[รูปวงกลม]]ในปริภูมิสามมิติ รอบแกน[[เส้นตรง]]ที่อยู่ในระนาบเดียวกันกับรูปวงกลม แต่ไม่ได้สัมผัสหรือตัดกับรูปวงกลม ตัวอย่างของวัตถุที่มีพื้นผิวอย่างทอรัสเช่น [[โดนัท]] และ[[ยางใน]]ของรถยนต์ (ห่วงยาง) ทรงตันหรือที่ว่างซึ่งบรรจุอยู่ภายในพื้นผิวจะเรียกว่า [[ทอรอยด์]] (toroid)

รูปวงกลมที่หมุนรอบ[[คอร์ด (เรขาคณิต)|คอร์ด]] (เส้นตรงที่ตัดรูปวงกลม) อาจถูกเรียกว่าทอรัสในบางบริบท ซึ่งไม่ใช่การใช้งานโดยปกติในทางคณิตศาสตร์ รูปร่างที่เกิดขึ้นจากรูปวงกลมที่หมุนรอบคอร์ดจะมีลักษณะคล้ายหมอนกลมที่บุ๋มตรงกลาง ซึ่งคำว่า torus ใน[[ภาษาละติน]]แปลว่า[[หมอน]]นั่นเอง

== ในทางเรขาคณิต ==
พื้นผิวทอรัสสามารถนิยามได้ด้วยสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้
:<math>x (u, v) =  (R + r \cos{v}) \cos{u} \, </math>
:<math>y (u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \, </math>
:<math>z (u, v) =  r \sin{v} \, </math>

เมื่อ
* ''u'', ''v'' มีค่าอยู่ในช่วง [0, 2π]
* ''R'' คือระยะจากจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ ไปยังจุดศูนย์กลางของทอรัส
* ''r'' คือระยะจากจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ ไปตั้งฉากกับพื้นผิว (รัศมีของทอรอยด์)

ส่วนสมการใน[[พิกัดคาร์ทีเซียน]]ของทอรัสที่มีแกน z เป็นแกนหมุนคือ
:<math>\left (R - \sqrt{x^2 + y^2}\right) ^2 + z^2 = r^2 \,\!</math>
ซึ่งเมื่อลดรูปรากที่สอง จะทำให้เกิดเป็น[[สมการกำลังสี่]]ดังนี้
:<math> (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2) ^2 = 4R^2 (x^2+y^2) \,\!</math>

[[พื้นที่ผิว]]และ[[ปริมาตร]]ภายในของทอรัส สามารถคำนวณได้จาก
:<math>A = 4 \pi^2 R r = \left ( 2\pi r \right) \left ( 2 \pi R \right) \,</math>
:<math>V = 2 \pi^2 R r^2 = \left ( \pi r^2 \right) \left ( 2\pi R \right) \,</math>

สูตรเหล่านี้เหมือนกับสูตรพื้นที่ผิวข้างและปริมาตรของ[[ทรงกระบอก]]ที่มีความยาว 2π''R'' และมีรัศมี ''r'' ซึ่งสามารถสร้างได้จากการตัดทอรอยด์ออกข้างหนึ่งตามแนวขวาง แล้วดึงออกให้เป็นทรงกระบอกแนวตรง โดยให้มีความยาวเท่ากับเส้นรอบวงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ พื้นที่ผิวและปริมาตรที่หายไปของผิวโค้งด้านใน จะเท่ากับพื้นที่ผิวและปริมาตรส่วนเกินของผิวโค้งด้านนอกอย่างพอดี

== ในทางทอพอโลยี ==
[[ไฟล์:torus_cycles.png|thumb|right|ทอรัสคือผลคูณของรูปวงกลมสองวง]]
ทอรัสในทาง[[ทอพอโลยี]] คือ[[ผิว]]ปิดที่นิยามโดย[[ผลคูณ]]ของ[[รูปวงกลม]]สองวง ''S''<sup>1</sup> × ''S''<sup>1</sup> หรืออาจมองได้ว่าทอรัสวางตัวอยู่ใน '''C'''<sup>2</sup> และเป็นเซตย่อยของ[[ทรงกลมสี่มิติ]] (3-sphere) ''S''<sup>3</sup> ที่มีรัศมี √2 ทอรัสในลักษณะนี้มักจะเรียกว่า [[คลิฟฟอร์ดทอรัส]] (Clifford torus) ในความเป็นจริงแล้ว ''S''<sup>3</sup> ถูกบรรจุเติมเต็มด้วยกลุ่มของทอรัสเป็นโครงข่าย ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่สำคัญในการศึกษา ''S''<sup>3</sup> ที่เป็น[[มัดเส้นใย]] (fiber bundle) บน ''S''<sup>2</sup> (นั่นคือ [[มัดเส้นใยฮอปฟ์]] Hopf bundle)
{{โครงเรขาคณิต}}

[[หมวดหมู่:พื้นผิว]]