ดูต้นฉบับสำหรับ ทอพอโลยี

[[ไฟล์:Mug and Torus morph.gif|thumb|การเปลี่ยนรูปถ้วยกาแฟเป็นโดนัท ในทางทอพอโลยี วัตถุทั้งสองเป็นวัตถุที่[[สมาณสัณฐาน]]กัน และสามารถบีบอัดรูปร่างของวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่งได้ โดยไม่ต้องตัดหรือฉีกรูปทรงให้ขาด]]

'''ทอพอโลยี''' ({{langx|en|Topology}}, มาจาก[[ภาษากรีก]]: ''topos'', สถานที่ และ ''logos'', การเรียน) เป็นสาขาหลักทาง[[คณิตศาสตร์]]ที่สนใจเกี่ยวกับคุณสมบัติทางรูปร่างของวัตถุต่าง ๆ ที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ (โดยไม่มีการฉีก การเจาะ หรือ การเชื่อมติดใหม่) โดยเรียกคุณสมบัติเหล่านี้ว่า[[ความไม่แปรผันทางทอพอโลยี]] บางครั้งจึงนิยมเรียกทอพอโลยีว่า "เรขาคณิตแผ่นยาง"

นอกจากนี้ ทอพอโลยี ยังหมายความถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่ง ซึ่งในความหมายนี้ ทอพอโลยี เป็นการกำหนดคุณสมบัติของเซตให้สามารถดำเนินการดึง ยืด หด จุดต่าง ๆ ภายในเซตนั้นได้ ซึ่งการกำหนดคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีให้กับเซต จะเปลี่ยนเซตดังกล่าวให้เป็น [[ปริภูมิเชิงทอพอโลยี]] 
ทำให้เราสามารถศึกษาฟังก์ชันที่คงสภาพความเป็นทอพอโลยีที่เรากำหนดไว้ได้

ทอพอโลยีในปัจจุบันเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ถูกศึกษากันอย่างกว้างขวาง โดยมีการประยุกต์สาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น [[พีชคณิตนามธรรม]] เข้ามาร่วมด้วย และทอพอโลยียังถูกนำไปประยุกต์กับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ เช่น [[ตรรกศาสตร์]]

== ประวัติ ==
[[ไฟล์:Möbius strip.jpg|thumb|240px|[[แถบโมบิอุส]]เป็นวัตถุที่มีผิวเดียวและขอบเดียว เป็นตัวอย่างหนึ่งของวัตถุที่ถูกศึกษาในทอพอโลยี]]

ตัวสาขาทอพอโลยีที่ศึกษากันในปัจจุบันมีจุดเริ่มต้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 แต่ทฤษฎีบทบางประการเป็นที่รู้กันมาก่อนหน้านี้แล้ว [[เรอเน เดการ์ต]] ค้นพบคุณสมบัติพื้นฐานทางทอพอโลยีของ[[ทรงหลายหน้า]]ในเรขาคณิต ประมาณปี ค.ศ. 1630 แต่บทความดังกล่าวได้หายสาบสูญไป<ref>{{harvnb|Stillwell|page=469}}</ref> คุณสมบัติพื้นฐานอย่างเดียวกันนั้นถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดย[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ ''สมการของออยเลอร์สำหรับทรงหลายหน้า'' ซึ่งกล่าวว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีจำนวนจุดยอดเท่ากับ ''V'' จำนวนขอบเท่ากับ ''E'' และจำนวนหน้าเท่ากับ ''F'' จะสอดคล้องกับสมการ 

:<math>V-E+F = 2 </math> 

มีผู้ให้ความเห็นว่าทฤษฎีบทข้างต้นเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทแรกเริ่มของวิชาทอพอโลยี<ref>{{harvnb|Richeson|2008|page=63}}; {{harvnb|Aleksandrov|1969|page=204}}</ref> อีกปัญหาที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นทฤษฎีบทแรก ๆ ของวิชาทอพอโลยี คือ [[สะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค|ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค]] ซึ่ง[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]]ได้ศึกษาและตีพิมพ์ผลลัพธ์ในปี ค.ศ. 1736 

นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาทอพอโลยีในสมัยต่อมา อาทิ [[โอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี]], [[ลุดวิก ชเลฟลี]], [[โยฮันน์ เบเนดิกต์ ลิสติง]], [[แบร์นฮาร์ท รีมัน]] และ [[เอนริโก เบตติ]]<ref name="Richeson2">Richeson (2008)</ref> ลิสติงเป็นผู้ริเริ่มใช้คำว่า "Topologie" โดยเป็นครั้งแรกในงานชื่อ ''Vorstudien zur Topologie'' (การศึกษาเบื้องต้นทางทอพอโลยี) ในปี 1847 โดยเขียนเป็นภาษาเยอรมัน ลิสติงใช้คำนี้ในจดหมายส่วนตัวเป็นเวลาสิบปีมาก่อนแล้ว<ref>Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p.&nbsp;67, 1848</ref> งานของนักคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่กล่าวไป ได้รับการตรวจสอบและเพิ่มเติมอย่างมากโดย [[อ็องรี ปวงกาเร]] ในปี ค.ศ. 1895 ปวงกาเรได้ตีพิมพ์บทความสำคัญที่ให้กำเนิดสาขาทอพอโลยีชื่อ ''Analysis Situs'' หรือ ''การวิเคราะห์เชิงตำแหน่ง'' ในวารสารนั้นปวงกาเรได้พัฒนาแนวคิดเรื่อง [[ฮอมอโทปี]], [[กรุปมูลฐาน]] และ [[ฟังก์ชันสมานสัณฐาน]] ซึ่งเป็นที่มาของวิชา [[ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต]]<ref name="Richeson2" />

[[มอริซ เฟรเชต์]] ให้นิยาม [[ปริภูมิเมตริก]] เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1906<ref>{{cite book|last=Fréchet|first=Maurice|title=Sur quelques points du calcul fonctionnel|year=1906|oclc=8897542}}</ref> และในปี ค.ศ. 1914 [[เฟลิซ เฮาส์ดอร์ฟ]] เป็นคนแรกที่ให้ชื่อ ''ปริภูมิเชิงทอพอโลยี'' และนิยามปริภูมิที่ในปัจจุบันเราเรียกว่า [[ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ]]<ref>Hausdorff, Felix, "Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig: Veit. In (Hausdorff Werke, II (2002), 91–576)</ref> นิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีในปัจจุบันขยายนัยทั่วไปกว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟและนิยามโดย [[กาซีมีแยช กูราตอฟสกี]] ในปี ค.ศ. 1922<ref>{{harvnb|Croom|1989|page=129}}</ref> ทอพอโลยีในปัจจุบันเกี่ยวข้องกับ[[ทฤษฎีเซต]]เป็นอย่างยิ่ง

[[รางวัลอาเบล]]ประจำปี 2022 มอบให้แด่ [[Dennis Sullivan]] สำหรับงานของเขาในทอพอโลยีในความหมายโดยกว้างที่สุด ซึ่งรวมไปถึงมุมมองทางพีชคณิต เรขาคณิต และระบบพลวัตของทอพอโลยี<ref name="Abel-2022">{{cite web|title=Prize winner 2022|url=https://abelprize.no/citation/citation-dennis-parnell-sullivan|access-date=23 March 2022|publisher=The Norwegian Academy of Science and Letters}}</ref>

== สาขาย่อยของทอพอโลยี ==
=== ทอพอโลยีทั่วไป ===
{{หลัก|ทอพอโลยีทั่วไป}}
'''ทอพอโลยีทั่วไป''' (general topology) เป็นสาขาหลักของทอพอโลยี ซึ่งให้นิยามวัตถุพื้นฐานในทอพอโลยีผ่าน[[ทฤษฎีเซต]] และเป็นที่ประยุกต์ใช้ในทอพอโลยีสาขาอื่น หัวข้อที่ศึกษาในทอพอโลยีทั่วไปเช่น [[ปริภูมิเชิงทอพอโลยี]] [[ฟังก์ชันสมานสัณฐาน]] เป็นต้น ส่วนทฤษฎีพื้นฐานเช่น [[บทตั้งของอูรีซอห์น]] และ [[ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ]]

เนื่องจากบทนิยามพื้นฐานของวัตถุในทอพอโลยีนิยามผ่านจุดและเซต จึงนิยมเรียกทอพอโลยีทั่วไปว่า '''ทอพอโลยีจุด-เซต''' (point-set topology)

=== ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต ===
{{หลัก|ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต}}

'''ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต''' (algebraic topology) เป็นการประยุกต์ใช้เครื่องมือจาก [[พีชคณิตนามธรรม]] เพื่อศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยี แนวคิดสำคัญคือการพยายามหา[[ตัวยืนยง]] (invariant) สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อที่จะจำแนกปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวยืนยงที่สำคัญคือ [[กรุปหลักมูล]] และ [[กรุปโฮโมโลยี]]

=== ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต === 
{{หลัก|ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต}}

'''ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต''' (geometric topology) เป็นการศึกษา [[แมนิโฟลด์]] และการส่งระหว่างแมนิโฟลด์ สาขาหนึ่งของทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตที่เป็นที่สนใจคือ [[ทอพอโลยีในมิติต่ำ]] (low-dimensional topology) ซึ่งรวมหัวข้อย่อยเช่น [[ทฤษฎีเงื่อน]]
 
=== ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ ===
{{หลัก|ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์}}

'''ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์''' (differential topology) ศึกษาโครงสร้างเชิงทอพอโลยีของ[[แมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้]] 

== แนวคิดสำคัญในทอพอโลยี ==

=== ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ===
{{หลัก|ปริภูมิเชิงทอพอโลยี}}

คำว่า ทอพอโลยี ในความหมายว่า ''ทอพอโลยีบน'' <math>X</math> ยังหมายถึงแฟมิลีของสับเซตของเซต <math>X</math> ที่ถูกกำหนดให้เป็น[[เซตเปิด]] 

ให้ <math>X</math> เป็นเซต และ <math>\tau</math> เป็น[[แฟมิลี]]ของสับเซตของ <math>X</math> เราจะกล่าวว่า <math>\tau</math> เป็นทอพอโลยีบน <math>X</math> เมื่อ
# เซตว่าง และ เซต <math>X</math> เป็นสมาชิกของ <math>\tau</math>
# ยูเนียนใด ๆ ของเซตใน <math>\tau</math> จะเป็นสมาชิกของ <math>\tau</math> หรือกล่าวอีกอย่างว่า <math>\tau</math> มีคุณสมบัติปิดภายใต้ยูเนียน
# อินเตอร์เซกชันของสองเซตใน <math>\tau</math> เป็นสมาชิกของ <math>\tau</math>

ถ้า <math>\tau</math> เป็นทอพอโลยีบน <math>X</math> เราจะเรียก <math>(X, \tau)</math> ว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ในหลายครั้งเราจะละ <math>\tau</math> ไว้แล้วกล่าวว่า <math>X</math> เป็นปริภมิเชิงทอพอโลยี) สมาชิกใน <math>\tau</math> จะเรียกว่าเป็น เซตเปิด (open set) ใน <math>X</math> เซตที่เป็นคอมพลิเมนต์ของเซตเปิดใน <math>X</math> จะเรียกว่า เซตปิด (closed set) สังเกตว่าสับเซตของ <math>X</math> ตัวใดอาจเป็นเซตเปิด, เซตปิด, เซตเปิดและปิด หรือไม่เป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน สมบัติความเป็นเซตเปิดและความเป็นเซตปิดไม่ได้เป็นนิเสธของกันและกัน

=== ฟังก์ชันต่อเนื่องและฟังก์ชันสมานสัณฐาน ===
{{anchor|mug-and-doughnut}}<!-- used in [[Mathematical joke]] -->

{{multiple image
|width=200
|image1=Mug and Torus morph.gif
|image2=Spot the cow.gif
|footer=การแปลงรูปอย่างต่อเนื่องจากแก้วกาแฟไปเป็นโดนัท (ทอรัส) และการเปลี่ยนวัว (ที่ไม่มีรู) ให้เป็นทรงกลม ต่างก็เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันสมานสัณฐาน}}

[[ไฟล์:Topology_joke.jpg|right|thumb|240x240px|การแปลงรูปอย่างต่อเนื่องสามารถเปลี่ยนแก้วกาแฟให้เป็นโดนัท โมเดลจำลองเซรามิกโดย Keenan Crane และ Henry Segerman]]

{{หลัก|ฟังก์ชันต่อเนื่อง|ฟังก์ชันสมานสัณฐาน}}
ฟังก์ชัน <math>f\colon X \to Y</math> ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี <math>(X,\tau)</math> และ <math>(Y, \omega)</math> จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ก็ต่อเมื่อ[[บุพภาพ]] <math>f^{-1}(U)</math> ของเซตเปิด <math>U \in \omega</math> ใด ๆ เป็นเซตเปิดด้วย (นั่นคือ <math>f^{-1}(U) \in \tau</math>) นิยามข้างต้นสมมูลกับนิยามฟังก์ชันต่อเนื่องทั่ว ๆ ไปบนเซตของจำนวนจริง เมื่อ <math>X = Y = \R</math> และทอพอโลยีที่กำหนดให้บน <math>\R</math> เป็นทอพอโลยีมาตรฐาน

ในกรณีที่ <math>f</math> เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และอินเวอร์สของมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย จะเรียก <math>f</math> ว่าเป็นฟังก์ชันสมานสัณฐาน (homeomorphism) ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองอันใด ๆ ที่มีฟังก์ชันสมาณสัณฐานระหว่างกัน จะมีคุณสมบัติทางทอพอโลยีเหมือนกัน ตัวอย่างเช่นลูกบาศก์และทรงกลมสมานสัณฐานต่อกัน โดนัทและแก้วกาแฟสมานสัณฐานต่อกัน แต่ทรงกลมไม่สมานสัณฐานกับโดนัท

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}
{{เริ่มอ้างอิง}}
* {{cite book |last1=Stillwell |first1=John |title=Mathematics and Its history |date=2012-10-13 |url=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000john |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-1-4614-2632-5|edition=3.}}
* {{citation|last=Aleksandrov|first=P.S.|chapter=Chapter XVIII Topology|editor1-first=A.D.|editor1-last=Aleksandrov|editor2-first=A.N.|editor2-last=Kolmogorov|editor3-first=M.A.|editor3-last=Lavrent'ev|title=Mathematics / Its Content, Methods and Meaning|edition=2nd|publisher=The M.I.T. Press|year=1969|origyear=1956}}
* {{citation|last=Richeson|first= D.|authorlink= David Richeson |title=Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology|publisher=Princeton University Press|year=2008|title-link= Euler's Gem}}
{{จบอ้างอิง}}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
{{คอมมอนส์|Topology}}
* Munkres, J.R., ''Topology: A First Course'', Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1975.
* [http://www.math.uu.se/~oleg/educ-texts.html Elementary Topology: A First Course] Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov (St. Petersburg University)
* [http://www.math.toronto.edu/~drorbn/People/Eldar/thesis/ An invitation to Topology] Planar Machines' web site
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Geometry_Topology.html Geometry and Topology Index] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061231193830/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/Indexes/Geometry_Topology.html |date=2006-12-31 }}, [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ MacTutor History of Mathematics archive] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090204091029/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ |date=2009-02-04 }}
* [http://dmoz.org/Science/Math/Topology/ ODP category]
* [http://www.geom.uiuc.edu/zoo/ The Topological Zoo] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120204180857/http://www.geom.uiuc.edu/zoo/ |date=2012-02-04 }} by the Geometry Center at the University of Minnesota
* [http://at.yorku.ca/topology/ Topology Atlas]
* [http://at.yorku.ca/i/a/a/b/23.htm Topology Course Lecture Notes] Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas
* [http://www.ornl.gov/sci/ortep/topology/defs.txt Topology Glossary] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090713073050/http://www.ornl.gov/sci/ortep/topology/defs.txt |date=2009-07-13 }}

{{กล่องท้ายเรื่องคณิตศาสตร์}}

[[หมวดหมู่:โครงสร้างทางคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:ทอพอโลยี| ]]
[[หมวดหมู่:สาขาของคณิตศาสตร์]]