ดูต้นฉบับสำหรับ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา

'''ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา''' ({{langx|en|Fermat's last theorem}}) เป็นหนึ่งใน[[ทฤษฎีบท]]ที่โด่งดังใน[[ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์]] ซึ่งกล่าวว่า:

{{คำพูด|ไม่มี[[จำนวนเต็ม]]บวก ''x'', ''y'', และ ''z'' ที่ทำให้ <math>x^n + y^n = z^n \;</math> เมื่อ ''n'' เป็น[[จำนวนเต็ม]]ที่มากกว่า 2<ref>{{cite web |last1=Weisstein |first1=Eric W. |title=Fermat's Last Theorem |url=https://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref>}}

[[ปีแยร์ เดอ แฟร์มา]] [[นักคณิตศาสตร์]]ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 ได้เขียนทฤษฎีบทนี้ลงในหน้ากระดาษหนังสือ ''Arithmetica'' ของ[[ไดโอแฟนตัส]] ฉบับแปลเป็น[[ภาษาละติน]]โดย [[Claude-Gaspar Bachet]] เขาเขียนว่า "ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่พื้นที่กระดาษเหลือน้อยเกินไปที่จะอธิบายได้" (เขียนเป็นภาษาละตินว่า "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.") อย่างไรก็ตาม ตลอดระยะเวลา 358 ปี ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ถูกต้องเลย จนกระทั่ง [[แอนดรูว์ ไวลส์]] ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี 1994<ref name = "Wiles 94">{{cite journal |last1=Wiles |first1=Andrew |title=Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem |journal=The Annals of Mathematics |date=May 1995 |volume=141 |issue=3 |pages=443 |doi=10.2307/2118559 |url=https://www.jstor.org/stable/2118559}}</ref> ซึ่งเป็นผลให้เขาได้รับ[[รางวัลอาเบล]]ในปี 2016 จากบทพิสูจน์ที่ ''"น่าตื่นตะลึง"''<ref>{{cite web |title=The Abel Prize Laureate 2016 |url=https://www.abelprize.no/c67107/seksjon/vis.html?tid=67108 |website=www.abelprize.no |access-date=2021-02-08 |archive-date=2021-04-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210414134604/https://www.abelprize.no/c67107/seksjon/vis.html?tid=67108 |url-status=dead }}</ref>
[[ไฟล์:Pierre de Fermat.jpg|thumb|150px|ปีแยร์ เดอ แฟร์มา]]

ความสนใจของนักคณิตศาสตร์ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาทำให้เกิดคณิตศาสตร์สาขาใหม่ ๆ ขึ้นมา ได้แก่ [[ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต]] ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 19<ref>{{cite book |last1=Stewart |first1=Ian |last2=Tall |first2=David |title=Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem |publisher=CRC PRESS |isbn=9780367658717}}</ref> และนำไปสู่บทพิสูจน์'''ข้อคาดการณ์ทานิยามา-ชิมูระ'''ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 ที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ [[ทฤษฎีบทมอดูลาริตี]]<ref>{{cite web |title=Shimura-Taniyama conjecture - Encyclopedia of Mathematics |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Shimura-Taniyama_conjecture |website=encyclopediaofmath.org}}</ref>

== บริบททางคณิตศาสตร์ ==

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา เป็นรูปแบบทั่วไปของ[[สมการไดโอแฟนไทน์]] ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = ''c''<sup>2</sup> (สมการที่ตัวแปรเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น) ชาวจีน ชาวกรีก และชาวบาบิโลเนียนได้ค้นพบคำตอบของสมการนี้หลายคำตอบเช่น (3, 4, 5) (3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>) หรือ (5, 12, 13) เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรียกว่า [[สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส]] (Pythagorean triples) และมีอยู่จำนวนไม่จำกัด ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา กล่าวว่า สมการนี้จะไม่มีคำตอบเมื่อเลขยกกำลังมากกว่า 2

== ประวัติในยุคแรก ๆ ==

เราอาจพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในกรณีที่ ''n'' = 4 และกรณีที่ ''n'' เป็น[[จำนวนเฉพาะ]] ก็สามารถสรุปได้ว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับทุกค่า ''n''.

แฟร์มาได้พิสูจน์กรณี ''n'' = 4, [[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์|ออยเลอร์]] พิสูจน์กรณี ''n'' = 3, [[ดิลิชเลต]] และ [[เลอจองดร์]] พิสูจน์กรณี ''n'' = 5 เมื่อ [[ค.ศ. 1828]], [[Gabriel Lamé]] พิสูจน์กรณี ''n'' = 7 เมื่อ [[ค.ศ. 1839]]

ใน [[ค.ศ. 1983]] [[Gerd Faltings]] ได้พิสูจน์[[ข้อความคาดการณ์ของ Mordell]] สำเร็จ ซึ่งกล่าวว่าสำหรับ ''n''&nbsp;>&nbsp;2 จะมีจำนวนเต็ม ''a'', ''b'' และ ''c'' ซึ่งเป็น[[จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์]]กัน และทำให้ ''a''<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>''n''</sup>&nbsp;=&nbsp;''c''<sup>''n''</sup> อยู่จำนวนจำกัด

== บทพิสูจน์ ==

[[แอนดรูว์ ไวลส์]] (Andrew Wiles) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจาก[[มหาวิทยาลัยแคมบริดจ์]] ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา โดยใช้เครื่องมือในการพิสูจน์คือ [[เรขาคณิตเชิงพีชคณิต]] โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในเรื่อง[[เส้นโค้งเชิงวงรี]] และ [[รูปแบบมอดุลาร์]] ไวลส์ใช้เวลา 7 ปีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา เขาทำการพิสูจน์โดยลำพัง และเก็บเรื่องนี้เป็นความลับมาโดยตลอด (ยกเว้น ตอนตรวจทานครั้งสุดท้าย ซึ่งเขาได้ขอความช่วยเหลือจากเพื่อนของเขาที่ชื่อ [[Nick Katz]]) ในวันที่ 21-23 มิถุนายน [[ค.ศ. 1993]] เขาก็ได้แสดงบทพิสูจน์ของเขาที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ผู้เข้าฟังการบรรยายครั้งนั้นต่างก็ประหลาดใจไปกับวิธีการต่างๆ ในบทพิสูจน์ของเขา ต่อมา เขาก็พบข้อผิดพลาดในบทพิสูจน์ ไวลส์และ [[ริชาร์ด เทย์เลอร์]] (Richard Taylor) ลูกศิษย์ของเขาเองใช้เวลาอยู่หนึ่งปีในการแก้ไขบทพิสูจน์ใหม่ ในเดือนกันยายน [[ค.ศ. 1994]] เขาก็ได้เสนอบทพิสูจน์ใหม่อีกครั้งที่ผ่านการแก้ไขแล้ว และตีพิมพ์ลงในวารสาร<ref name="Wiles 94" /><ref>{{cite book |last1=Stillwell |first1=John |title=Mathematics and its history : a concise edition |publisher=Springer |isbn=978-3-030-55192-6 |page=210-211}}</ref>

== แฟร์มามีบทพิสูจน์จริงหรือ? ==
[[ไฟล์:Diophantus-II-8.jpg|right|thumb|200px|หนังสือ ''Arithmetica '' เมื่อ ค.ศ. 1621 ด้านขวาคือที่ว่างที่แฟร์มากล่าวว่ามีพื้นที่น้อยเกินไป]]
นี่คือข้อความที่แฟร์มาเขียนไว้บนหน้ากระดาษหนังสือ ''Arithmetica'':

<blockquote style="font-style:italic;">Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet.</blockquote>

<blockquote style="font-style:italic;">(มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งจำนวนยกกำลัง 3 ออกเป็นจำนวนยกกำลัง 3 สองจำนวน หรือแบ่งจำนวนยกกำลัง 4 ออกเป็นจำนวนยกกำลัง 4 สองจำนวน หรือกล่าวโดยทั่วไปว่า ไม่สามารถแบ่งจำนวนที่ยกกำลังมากกว่า 2 ออกเป็นจำนวนที่ยกกำลังเท่าเดิมสองจำนวนได้ ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่ขอบกระดาษนี้มีพื้นที่น้อยเกินกว่าที่จะเขียนบรรยายได้) </blockquote>

หลายคนต่างสงสัยใน "บทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์" ของแฟร์มาว่ามันมีอยู่จริงหรือไม่ บทพิสูจน์ของไวลส์นั้น หนาประมาณ 200 หน้า และยากเกินกว่าที่นักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันจะเข้าใจ ในขณะที่บทพิสูจน์ของแฟร์มาน่าจะใช้วิธีที่พื้นฐานมากกว่านี้ เนื่องจากข้อจำกัดด้านความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น ซึ่งก็เป็นเหตุให้นักคณิตศาสตร์และนักประวัติศาสตร์ที่เชี่ยวชาญด้านวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ก็ยังไม่ค่อยเชื่อว่าแฟร์มาจะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องสำหรับเลขยกกำลัง n ทุกจำนวนจริงๆ

แอนดรูส์ ไวลส์ เองก็เคยให้สัมภาษณ์ไว้ว่าเขาไม่เชื่อว่าแฟร์มาจะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง

<blockquote style="font-style:italic;">I don’t believe Fermat had a proof. I think he fooled himself into thinking he had a proof. But what has made this problem special for amateurs is that there’s a tiny possibility that there does exist an elegant seventeenth century proof.<ref>{{cite web |title=NOVA Online {{!}} The Proof {{!}} Solving Fermat: Andrew Wiles |url=https://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html |website=www.pbs.org}}</ref> </blockquote>

<blockquote style="font-style:italic;">(ผมไม่เชื่อว่าแฟร์มาจะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง ผมคิดว่าเขาหลอกให้ตัวเองเชื่อว่าเขามีบทพิสูจน์นั้น แต่สิ่งที่ทำให้โจทย์ข้อนี้เป็นเรื่องพิเศษสำหรับนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นก็คือ มันทำให้เกิดความหวังว่า ยังมีโอกาสที่จะค้นพบบทพิสูจน์อันสวยงามได้โดยใช้เพียงความรู้คณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17) </blockquote>

== ดูเพิ่ม ==
* [[ข้อความคาดการณ์ของออยเลอร์]]
* [[สมมติฐานของรีมันน์]]

== รายการอ้างอิง ==
{{reflist}}

==  ดูเพิ่ม ==
*{{cite book |last1=Stewart |first1=Ian |last2=Tall |first2=David |title=Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem |publisher=CRC PRESS |isbn=9780367658717}}
*{{cite book |last1=Saitō |first1=Takeshi |title=Fermat’s Last Theorem: The Proof |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, Rhode Island |isbn=978-0-8218-9849-9}}
*{{cite web |title=Fermat's last theorem |url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Fermat%27s_last_theorem |website=Encyclopedia of Mathematics}}

[[หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์]]