ดูต้นฉบับสำหรับ ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม

{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
[[ไฟล์:Japanese theorem 2.svg|right|300px|thumb|'''โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป''' หากแบ่ง <math> \square ABCD </math> ตามเส้นทแยงมุมของมัน เราจะได้รูปสามเหลี่ยมสี่รูปซ้อนกันอยู่ (เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นทำให้เกิดสามเหลี่ยมขึ้นมา 2 อัน นั้นคือ <math> \triangle ABD, \triangle  ABC, \triangle BCD, \triangle ACD </math> ) จะรูปจะเห็นว่าจุดศุนย์กลางของวงกลมที่อยู่บรรจุอยุ่ภายในสามเหลี่ยมทั้งสี่ เป็นจุดยอดของสีเหลี่ยมผื้นผ้าอีกทีหนึ่ง]]

ใน [[เรขาคณิต]] '''ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม''' ({{langx|en|Japanese theorem for cyclic quadrilaterals}}) คือทฤษฎีที่ระบุว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุในสามเหลี่ยมหนึ่งๆได้ (incircle of a triangle)<ref>[http://www.mathopenref.com/triangleincenter.html The Incenter of a triangle properties]</ref>{{Ref_label|C|ค|none}} และสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม{{Ref_label|A|ก|none}} {{Ref_label|B|ข|none}} (Cyclic quadrilaterals) ได้อีกทีหนึ่ง  จุดศูนย์กลางของวงกลมดังที่กล่าวมาจะเป็นคือจุดยอด (Vertex) ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า  <ref>[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyclicQuadrilateral.shtml Incenters in Cyclic Quadrilateral: What is this about? A Mathematical Droodle]</ref> <ref>[http://www.cut-the-knot.org/proofs/jap.shtml An Old Japanese Theorem]</ref>

{{clear}}

== พิสูจน์ <ref>[http://www.gogeometry.com/sangaku2.html พิสูจน์ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม]</ref> ==
[[ไฟล์:Proof of Japanese theorem 2.png|right|400px|thumb|รูปที่ใช้ในการอธิบายการพิสูจน์]]
'''โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป''' กำหนดให้ <math> \square ABCD </math> คือรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (ดังภาพ) และกำหนดให้ <math>M_1,M_2,M_3,M_4</math> เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านประกอบสามเหลี่ยมใดๆทั้งสามด้านได้ (ดังภาพ) ในที่นี้ <math>M_1,M_2,M_3,M_4</math> คือวงกลมที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยม <math> \triangle ABD, \triangle  ABC, \triangle BCD, \triangle ACD </math> ตามลำดับ

:จากรูปจะเห็นว่า <math> \angle ACD = \angle ABD  </math> เพราะเป็นมุมด้านตรงข้ามส่วนของวงกลม AD อันเดียวกัน และกำหนดให้ <math> \angle C = \angle B  = \alpha = \frac{AD}{2}</math>

:จาก <math> \triangle ACD </math> จะพบว่า <math> \angle AM_4D = 90 + \frac{\alpha}{2}  </math>
 
:จาก <math> \triangle ADB </math> จะพบว่า <math> \angle AM_1D = 90 + \frac{\alpha}{2}  </math>

:เนื่องจาก <math> \angle AM_4D = \angle AM_1D = 90 + \frac{\alpha}{2}  </math> ดังนั้น  <math> \square AM_1M_4D </math> เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ซึ่งในที่นี้คือวงกลมสีเขียว 

:เนื่องจาก   <math> \square AM_1M_4D </math> เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมแล้วดังนั้นจะได้ว่า <math> \angle M_1 </math> (มุมสีแดงทึบ) มีค่าเท่ากับ 

:<math> \angle ADM_4 = \angle \frac{ADC}{2} </math>{{Ref_label|C|ค|none}} เพราะเป็นคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม  <ref name = "Cyclic Quadrilaterals Properties">{{Cite web |url=http://www.ncssm.edu/smc/Topics/ARML/Cyclic.pdf |title=Cyclic Quadrilaterals Properties |access-date=2013-04-29 |archive-date=2013-04-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130401055706/http://www.ncssm.edu/smc/Topics/ARML/Cyclic.pdf |url-status=dead }}</ref>  

:ในทำนองเดียวกัน  <math> \square AM_1M_2B </math> เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมของวงกลมสีส้มดังรูป 

:เนื่องจาก <math> \square AM_1M_2B </math> เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม แล้วดังนั้นจะได้ว่า <math> \angle M_1 </math> (มุมสีฟ้าทึบ) มีค่าเท่ากับ 

:<math> \angle ABM_2 = \angle \frac{ABC}{2} </math> {{Ref_label|C|ค|none}} ด้วยเหตุผลเดียวกับที่อ้างข้างต้นกับมุม <math> \angle M_1 </math>

:เนื่องจาก   <math> \square ABCD </math> เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ดังนั้นมุมด้านของจุดยอดตรงข้ามกันมีผลรวมเป็น 180 องศา  <ref name= "Incircle Properties">[http://www.mathopenref.com/triangleincenter.html  Incircle Properties]</ref> 

:<math>\angle ABC + \angle ADC = 180 </math> 

:จากข้อมูลทั้งหมดข้างต้นเราจะได้ว่ามุม  <math> \angle M_1 </math> ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบ มีค่าเท่ากับ <math> \angle ABM_2 + \angle ADM_4 = \angle \frac{ABC}{2} + \angle \frac{ADC}{2} = \frac{\angle ABC + \angle ADC}{2} = \frac{180}{2} = 90 </math> ซึ่งจะได้ว่ามุม <math> \angle M_1 </math> ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบเป็นมุมฉาก

:ในทำนองเดียวกับการพิสูจน์ข้างต้นเราจะพบว่า มุม <math> \angle M_2 </math>, <math> \angle M_3 </math> และ <math> \angle M_4 </math> เป็นมุมฉากเช่นเดียวกัน

:ดังนั้นแสดงว่า  <math> \square M_1M_2M_3M_4 </math> เป็นสี่เหลี่ยมผื่นผ้า '''ซตพ.'''

== หมายเหตุ ==
<div class="references-small">
:'''<small>ก</small>.''' {{Note_label|A|ก|none}}  ศัพท์บัญญัติราชบัณฑิตยสถาน คณิตศาสตร์ ๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗

:'''<small>ข</small>.''' {{Note_label|B|ข|none}}  รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilaterals) คือรูปสี่เหลี่ยมใดๆที่มีจุดยอดทั้งสีอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม <ref>[http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html Cyclic Quadrilateral]</ref>

:'''<small>ค</small>.''' {{Note_label|C|ค|none}} จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม (Incircle center) นั้นมีคุณสมบัติคือ <ref name= "Incircle Properties"/>
:*เป็นจุดเดียวกับจุดตัดของเส้นแบ่งมุมของสามเหลี่ยมแต่ละด้าน (Bisector) <ref>[http://www.mathopenref.com/triangleincircle.html The Incircle of a triangle Properies]</ref>
:*จะอยู่ภายในสามเหลี่ยมที่วงกลมนั้นถูกบรรจุอยู่ตลอด 


</div>

== ดูเพิ่ม ==
* [[:en:Carnot's theorem|Carnot's theorem]]
* [[:en:Sangaku|Sangaku]]
* [[:en:Wasan|Wasan]]

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}



[[หมวดหมู่:เรขาคณิตบนระนาบยุคลิด|ญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบทเรขาคณิต|ญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม]]
[[หมวดหมู่:คณิตศาสตร์ญี่ปุ่น|ญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม]]