ดูต้นฉบับสำหรับ ทฤษฎีบทคึนเน็ท

{{short description|เชื่อมโยงฮอโมโลยีระหว่างสองวัตถุกับโฮโมโลยีของผลคูณของสองวัตถุนั้น}}'''ทฤษฎีบทคึนเน็ท''' ({{langx|en|Künneth theorem}}) หรือ '''สูตรคึนเน็ท''' ({{langx|en|Künneth formula}}) เป็นทฤษฎีบทใน[[คณิตศาสตร์]]สาขา[[พีชคณิตเชิงฮอมอโลยี]]และ[[ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต]] เนื้อหาของทฤษฎีบทนี้เชื่อมโยงฮอมอโลยีระหว่างวัตถุสองอัน กับผลคูณของวัตถุทั้งสอง

ทฤษฎีบทคึนเน็ทแบบคลาสสิคกล่าวถึง[[ฮอมอโลยีซิงกิวลาร์]] (singular homology) ของ[[ปริภูมิเชิงทอพอโลยี]]สองอัน <math>X</math>, ''<math display="inline">Y</math>'' และเชื่อมโยงเข้ากับฮอมอโลยีของปริภูมิผลคูณ <math>X \times Y</math> ในกรณีที่ง่ายที่สุดความสัมพันธ์ที่ว่าจะเป็น[[ผลคูณเทนเซอร์]] แต่โดยทั่วไปจะต้องอาศัยเครื่องมือทางพีชคณิตเชิงฮอมอโลยีเพื่อระบุออกมา

ทฤษฎีบทคึนเน็ทหรือสูตรคึนเน็ทเป็นจริงในทฤษฎีฮอมอโลยีและทฤษฎีคอฮอมอโลยีต่าง ๆ ซึ่งนิยมเรียกโดยรวมว่าสูตรของคึนเน็ท ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่[[แฮร์มัน คึนเน็ท]] (Hermann Künneth) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

== ฮอมอโลยีซิงกิวลาร์แบบสัมประสิทธิ์มีค่าในฟิลด์ ==
ให้  <math>X</math> และ ''<math display="inline">Y</math>'' เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี โดยทั่วไปเรานิยมใช้ฮอมอโลยีซิงกิวลาร์ แต่ในกรณีที่ <math>X</math> และ ''<math display="inline">Y</math>'' เป็น CW-complex อาจใช้ฮอมอโลยีเซลลูลาร์แทนได้ กรณีที่ง่ายที่สุดของสูตรคึนเน็ทคือเมื่อริงสัมประสิทธิ์เป็นฟิลด์ <math>F</math> และทฤษฎีบทคึนเน็ทกล่าวว่าสำหรับจำนวนเต็ม <math>k</math> ใด ๆ 

: <math>\bigoplus_{i + j = k} H_i(X; F) \otimes H_j(Y; F) \cong H_k(X \times Y; F)</math>

ยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันสมสัณฐานข้างต้นเป็น[[ฟังก์ชันสมสัณฐานธรรมชาติ]] การส่งจากผลบวกข้างซ้ายมือไปยังกรุปฮอมอโลยีทางขวาเรียกว่า cross product ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ส่ง ''i''-cycle บน ''<math>X</math>'' และ ''j''-cycle บน''<math display="inline">Y</math>'' มารวมกันให้ได้ <math>(i+j)</math>-cycle บน<math>X \times Y</math> ทำให้ได้การส่งเชิงเส้นจากผลบวกตรงไปยัง <math>H_k(X \times Y)</math>

ผลที่ตามมาจากทฤษฎีบทคึนเน็ทประการหนึ่งคือ [[Betti number|จำนวนเบ็ตตี]]ซึ่งเป็นมิติของฮอมอโลยีที่มีสัมประสิทธิ์ใน <math>\Q</math> สามารถเขียนออกมาได้ในเทอมของจำนวนเบ็ตตีของ <math>X</math> และ ''<math display="inline">Y</math>'' ถ้า <math>p_Z(t)</math> เป็น[[ฟังก์ชันก่อกำเนิด]]ของลำดับของจำนวนเบ็ตตี <math>b_k(Z)</math> ของปริภูมิ <math>Z</math> แล้วจะได้ว่า

: <math>p_{X \times Y}(t) = p_X(t) p_Y(t)</math>

ในกรณีที่ <math>X</math> และ ''<math display="inline">Y</math>'' มีจำนวนเบ็ตตีจำกัดตัว เราจะได้เอกลักษณ์ของพหุนามปวงกาเร

== ฮอมอโลยีซิงกิวลาร์แบบสัมประสิทธิ์มีค่าในโดเมนไอดีลมุขสำคัญ (PID) ==
สูตรข้างต้นในกรณีสัมประสิทธิ์มีค่าในฟิลด์นั้นไม่ซับซ้อนเพราะปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์ประพฤติตัวดี หากเราเปลี่ยนริงสัมประสิทธิ์จะทำให้ความสัมพันธ์ซับซ้อนขึ้น กรณีข้างล่างพิจารณาเมื่อสัมประสิทธิ์มีค่าใน[[โดเมนไอดีลมุขสำคัญ]] (PID) ซึ่งมีความสำคัญเพราะเซตของจำนวนเต็ม <math>\Z</math> เป็นตัวอย่างหนึ่งของโดเมนไอดีลมุขสำคัญ

ภาวะสมสัณฐานในสมการข้างต้นไม่จริง และจำเป็นต้องพิจารณาทอร์ชันผ่าน[[Tor functor|ฟังก์เตอร์ทอร์]]ซึ่งเป็น [[derived functor]] ตัวแรกของผลคูณเทนเซอร์

เมื่อ <math>R</math> เป็น PID แล้วทฤษฎีบทคึนเน็ทกล่าวว่า สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี <math>X</math> และ ''<math display="inline">Y</math>'' และจำนวนเต็ม <math>k</math>  จะมี [[short exact sequence]] 

: <math>0 \to \bigoplus_{i + j = k} H_i(X; R) \otimes_R H_j(Y; R) \to H_k(X \times Y; R) \to \bigoplus_{i + j = k-1} \mathrm{Tor}_1^R(H_i(X; R), H_j(Y; R)) \to 0
</math>

ยิ่งไปกว่านี้แล้ว sequence เหล่านี้จะ [[Split (mathematics)|split]] แต่ไม่ split แบบ [[Canonical form|canonically]]

=== ตัวอย่าง ===
สูตร Short exact sequences ข้างต้นสามารถใช้คำนวณกรุปฮอมอโลยี <math>H_k(\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2; \Z)</math> แบบมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มของผลคูณ  <math>\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2</math> ระหว่าง[[Real projective plane|ระนาบเชิงการฉาย]] (real projective plane) สองอันได้ ระนาบเชิงการฉายและผลคูณเป็น [[CW complex|CW complexes]] และเขียนแทนกรุปฮอมอโลยี <math>H_i(\mathbb{RP}^2;\Z)</math> ด้วย <math>h_i</math> เราสามารถคำนวณฮ[[อมอโลยีเซลลูลาร์]]ได้โดยง่ายว่า

: <math>h_0\cong \Z</math>,
: <math>h_1\cong \Z/2\Z</math>,
: <math>h_i= 0</math> สำหรับค่า ''i'' อื่น ๆ

[[Tor functor|Tor group]] อันเดียวที่ไม่เป็นศูนย์ระหว่างกรุป <math>h_i</math> ทั้งหมดข้างต้น คือ

: <math>\mathrm{Tor}^{\Z}_1(h_1, h_1) \cong \mathrm{Tor}^{\Z}_1(\Z/2\Z,\Z/2\Z)\cong \Z/2\Z</math>

ดังนั้น สูตรคึนเน็ทจึงลดรูปไปเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานในทุกดีกรี เพราะจะมีกรุปศูนย์ในทุกกรณีปรากฏอยู่ใน short exact sequence ทำให้ได้ผลลัพธ์ว่า

: <math>\begin{align}
H_0 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \;h_0 \otimes h_0 \;\cong \;\Z \\
H_1 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \; h_0 \otimes h_1 \; \oplus \; h_1 \otimes h_0 \;\cong \;\Z/2\Z\oplus \Z/2\Z  \\
H_2 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z  \right )\; &\cong \;h_1 \otimes h_1 \;\cong \;\Z/2\Z \\
H_3 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \;\mathrm{Tor}^{\Z}_1(h_1,h_1) \;\cong \;\Z/2\Z \\
\end{align} </math>

และกรุปฮอมอโลยีอื่นเป็นศูนย์

== สูตร Künneth spectral sequence ==
สำหรับริง <math>R</math> ทั่วไป ฮอมอโลยีระหว่าง <math>X</math> และ ''<math display="inline">Y</math>'' จะเชื่อมโยงกับฮอมอโลยีของผลคูณโดย Künneth [[spectral sequence]]

: <math>E_{pq}^2 = \bigoplus_{q_1 + q_2 = q} \mathrm{Tor}^R_p(H_{q_1}(X; R), H_{q_2}(Y; R)) \Rightarrow H_{p+q}(X \times Y; R).</math>

ซึ่งลดรูปเป็นกรณีข้างต้นในกรณีสัมประสิทธิ์มีค่าในฟิลด์ หรือสัมประสิทธิ์มีค่าในโดเมนไอดีลมุขสำคัญ

== ความสัมพันธ์กับพีชคณิตเชิงฮอมอโลยีและแนวทางการพิสูจน์ ==
[[Chain complex|เชนคอมเพล็กซ์]] (chain complex) ของปริภูมิ <math>X \times Y</math> เชื่อมกับเชนคอมเพล็กซ์ของ <math>X</math> และ ''<math display="inline">Y</math>'' โดย [[quasi-isomorphism]]

: <math>C_*(X \times Y) \cong C_*(X) \otimes C_*(Y)</math>

สำหรับ singular chains นี่เป็น[[Eilenberg–Zilber theorem|ทฤษฎีบทของไอเลนแบร์ก-ซิลเบอร์]] สำหรับ cellular chains บน CW complexes จะได้ฟังก์ชันสมสัณฐานทันที แล้วจะได้ว่า  ฮอมอโลยีของผลคูณเทนเซอร์ทางขวาเป็นผลจาก spectral Künneth formula ในพีชคณิตเชิงฮอมอโลยี<ref>ดูบทสุดท้ายของ {{citation|last=Mac Lane|first=Saunders|title=Homology|year=1963|location=Berlin|publisher=Springer|isbn=0-387-03823-X}}</ref>

เนื่องจาก chain modules นั้น free จะได้ว่าในทางเรขาคณิตไม่จำเป็นต้องใช้ hyperhomology หรือ total derived tensor product

มีข้อความคล้ายกันสำหรับ[[Singular cohomology|คอฮอมอโลยีซิงกิวลาร์]] และ[[Sheaf cohomology|คอฮอมอโลยีชีฟ]] สำหรับคอฮอมอโลยีชีฟบนวาไรอิตีเชิงพีชคณิต [[Alexander Grothendieck]] พบ spectral sequence ทั้งหมด 6 สูตรที่เชื่อมโยงระหว่าง [[hyperhomology]] groups ของ chain complexes of sheaves สองอัน และ hyperhomology group ของผลคูณเทอเซอร์ระหว่างชีพทั้งสอง<ref>{{citation|last=Grothendieck|first=Alexander|title=Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné): III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1963__17_|journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]|volume=17|pages=5–91|year=1963|archive-url=https://web.archive.org/web/20160419214627/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1963__17_|access-date=2008-07-29|archive-date=2016-04-19|last2=Dieudonné|first2=Jean|authorlink=Alexander Grothendieck|authorlink2=Jean Dieudonné|url-status=dead}} (EGA III<sub>2</sub>, Théorème 6.7.3.).</ref>

== สูตรของคึนเน็ทในทฤษฎีฮอมอโลยีและคอฮอมอโลยีทั่วไป ==
มี[[Generalized homology theory|ทฤษฎีฮอมอโลยีและคอฮอมอโลยีทั่วไป]]จำนวนมากสำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวอย่างที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ [[K-theory]] และ [[cobordism]] แต่ทฤษฎีเหล่านี้ไม่สามารถนิยามผ่านเชนคอมเพล็กซ์ได้  ดังนั้นสูตรคึนเน็ทจึงไม่สามารถพิสูจน์โดยใช้วิธีพีชคณิตเชิงฮอมอโลยีแบบข้างต้นได้ อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทคึนเน็ทที่มีสูตรคล้ายคลึงกันสามารถพิสูจน์ได้โดยวิธีอื่น 

บทพิสูจน์แรกเป็นของ [[Michael Atiyah]] สำหรับ complex K-theory จากนั้นเป็นบทพิสูจน์ของ [[Pierre Conner]] และ [[Edwin E. Floyd]] ใน cobordism<ref>{{citation|last=Atiyah|first=Michael F.|title=K-theory|year=1967|location=New York|publisher=W. A. Benjamin|authorlink=Michael Atiyah}}</ref><ref>{{citation|last1=Conner|first1=Pierre E.|title=Differentiable periodic maps|year=1964|location=Berlin|publisher=Springer|last2=Floyd|first2=Edwin E.|authorlink1=Pierre Conner|authorlink2=Edwin E. Floyd}}</ref>  มีการค้นพบวิธีพิสูจน์ทั่ว ๆ ไปโดยใช้ทฤษฎฮอมอโทปีของมอดูลเหนือ [[Highly structured ring spectrum|highly structured ring spectra]]<ref>{{citation|last=Robinson|first=Alan|title=Derived tensor products in stable homotopy theory|journal=[[Topology (journal)|Topology]]|volume=22|number=1|pages=1-18|year=1983|doi=10.1016/0040-9383(83)90042-3|mr=0682056|doi-access=free}}</ref><ref>{{citation|last=Elmendorf|first=Anthony D.|title=Rings, modules and algebras in stable homotopy theory|volume=47|year=1997|series=Mathematical Surveys and Monographs|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=0-8218-0638-6|mr=1417719|last2=Kříž|first2=Igor|last3=Mandell|first3=Michael A.|last4=May|first4=J. Peter|authorlink4=J. Peter May|name-list-style=amp}}</ref>  ซึ่งแคทิกอรีฮอมอโทปีของมอดูลประเภทดังกล่าวใกล้เคียงกับ[[derived category]] ในพีชคณิตเชิงฮอมอโลยี

== รายการอ้างอิง ==
{{Reflist}}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==

* {{Springer|title=Künneth formula|id=k/k056010}}

[[หมวดหมู่:พีชคณิตเชิงฮอมอโลยี]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในทอพอโลยีเชิงพีชคณิต]]