ดูต้นฉบับสำหรับ ทรงกลม

{{โครงเรขาคณิต}}

{{Infobox polyhedron
|name    =ทรงกลม
|image   = Sphere wireframe 10deg 6r.svg
|caption =ภาพฉายของทรงกลมลงเป็นสองมิติ
|euler   = 2
|symmetry=[[Orthogonal group|{{math|O(3)}}]]
|surface_area={{math|4πr<sup>2</sup>}}
|volume={{math|{{sfrac|4|3}}πr<sup>3</sup>}}
|type=[[พื้นผิวเรียบ]]<br />[[พื้นผิวเชิงพีชคณิต]]
}}

'''ทรงกลม''' ([[ภาษาอังกฤษ|อังกฤษ]] : sphere จาก[[Ancient Greek|กรีกโบราณ]] {{wikt-lang|grc|σφαῖρα}}, {{grc-transl|σφαῖρα}}) เป็นวัตถุทาง[[เรขาคณิต]]ซึ่งอาจมองว่าเป็นวงกลมในสามมิติ นิยามที่รัดกุมของทรงกลม คือ[[Locus (mathematics)|เซตของจุด]]ในสามมิติที่อยู่ห่างจากจุดกำหนดจุดหนึ่งเป็นระยะทาง {{math|''r''}} เสมอ จุดกำหนดจุดนั้นเรียกว่า'''จุดศูนย์กลางทรงกลม''' (centre) และค่า {{math|''r''}} เรียกว่า[[รัศมี]]ของวงกลมนั้น ทรงกลมปรากฎขึ้นเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกในงานคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณ

ทรงกลมเป็นวัตถุพื้นฐานใน[[คณิตศาสตร์]]หลากหลายสาขา ทรงกลมและรูปทรงที่เกือบเป็นทรงกลมปรากฎทั้งในธรรมชาติและในกิจกรรมของมนุษย์ อาทิ [[ฟองสบู่]]มีในภาวะสมดุลจะเป็นทรงกลม ในทาง[[ภูมิศาสตร์]]นิยมถือว่าโลกมีสัณฐานเป็นทรงกลม และ[[ทรงกลมท้องฟ้า]]เป็นแนวคิดสำคัญใน[[ดาราศาสตร์]]

== สมการของทรงกลม ==
ใน[[เรขาคณิตวิเคราะห์]] ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>)}} และรัศมี {{mvar|r}} คือ[[ทางเดินของจุด]] {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

: <math> (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2</math>

เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นพหุนามกำลังสอง ทรงกลมจึงเป็น[[พื้นผิวกำลังสอง]] ซึ่งเป็น[[พื้นผิวเชิงพีชคณิต]]ประเภทหนึ่ง<ref name="EB">{{Cite EB1911|wstitle=Sphere |volume=25 |pages=647–648}}</ref>

ให้ {{mvar|a, b, c, d, e}} เป็นจำนวนจริงที่ซึ่ง {{math|''a'' ≠ 0}} และกำหนด

: <math>x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.</math>

แล้วจะได้ว่าสมการ

: <math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>

ไม่เป็นคำตอบเป็นจำนวนจริงถ้า <math>\rho < 0</math> และเราเรียกสมการนี้ว่าเป็นสมการของ'''ทรงกลมจินตภาพ''' (imaginary sphere) ถ้า <math>\rho = 0</math> แล้วผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ <math>f(x,y,z) = 0</math> คือจุด <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> และสมการในรูปแบบนี้เรียกว่าเป็นสมการของ'''ทรงกลมจุดเดียว''' (point sphere) และในกรณีที่ <math>\rho > 0</math> สมการ<math>f(x,y,z) = 0</math> เป็นสมการของทรงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ <math>P_0</math> และมีรัศมีเท่ากับ <math>\sqrt \rho</math><ref name=Albert54>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 54}}.</ref>

ถ้า {{mvar|a}} ในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ แล้ว <math>f(x,y,z) = 0</math> เป็นสมการของระนาบ ฉะนั้นเราอาจมองว่าระนาบคือทรงกลมที่มีรัศมีเป็นอนันต์และจุดศูนย์กลางอยู่ที่[[จุดที่อนันต์]]<ref name="Woods266">{{harvnb|Woods|1961|loc=p. 266}}.</ref>

== สมบัติของทรงกลม ==

=== ปริมาตร{{anchor|Volume}} ===
[[ไฟล์:Sphere_and_circumscribed_cylinder.svg|thumb|Sphere and circumscribed cylinder]]
ในสามมิติ [[ปริมาตร]]ภายในทรงกลมมีค่าเท่ากับ

: <math>V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\pi}{6}\ d^3 \approx 0.5236 \cdot d^3</math>

เมื่อ {{mvar|r}} คือรัศมี และ {{mvar|d}} คือความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลม [[อาร์คิมิดีส]]เป็นคนแรกที่ได้สูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของพื้นที่เปล่าในทรงกระบอกที่ทรงกลมนั้นบรรจุอยู่ข้างใน<ref>{{harvnb|Steinhaus|1969|loc=p. 223}}.</ref> เราเรียกทรงกระบอกนั้นว่า ''[[ทรงกระบอก]]ล้อมรอบของทรงกลม'' (circumscribed cylinder) ซึ่งมีความสูงและความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของฐานเท่ากับทรงกลมนั้น

เราสามารถพิสูจน์ข้อความข้างต้นได้ โดยสร้างกรวยกลับหัวภายในครึ่งทรงกลม แล้วสังเกตว่าพื้นที่ภาคตัดขวางของกรวยบวกกับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกระบอก แล้วใช้[[Cavalieri's principle|หลักการของคาวาเลียรี]] (Cavalieri's principle)<ref>{{cite web|title=The volume of a sphere – Math Central|url=http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.01/rahul1.html|access-date=2019-06-10|website=mathcentral.uregina.ca}}</ref> นอกจากนี้อาจใช้[[แคลคูลัสเชิงปริพันธ์|แคลคุลัสเชิงปริพันธ์]]พิสูจน์สูตรนี้ได้ เช่นด้วย[[Disk integration|การอินทิเกรตแบบจาน]]เพื่อหาปริมาตรปิดล้อม

=== พื้นที่ผิว{{anchor|Area}} ===<!-- [[Surface area of a sphere]] is a redirect that points to this section -->
พื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี {{mvar|r}} คือ

: <math>A = 4\pi r^2</math>

อาร์คิมิดีสเป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์สูตรนี้<ref name="MathWorld_Sphere">{{MathWorld|title=Sphere|id=Sphere}}</ref> โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกล้อมรอบนั้นรักษาพื้นที่<ref>{{harvnb|Steinhaus|1969|loc=p. 221}}.</ref> 

ทรงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน และมีปริมาตรมากที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน<ref>{{cite journal|last1=Osserman|first1=Robert|date=1978|title=The isoperimetric inequality|url=https://www.ams.org/journals/bull/1978-84-06/S0002-9904-1978-14553-4/|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=84|issue=6|page=1187|doi=10.1090/S0002-9904-1978-14553-4|access-date=14 December 2019|ref=Osserman|doi-access=free}}</ref> ดังนั้นทรงกลมจึงปรากฎในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟองสบู่หรือฟองอากาศ และหยดน้ำขนาดเล็กจะมีรูปทรงเกือบเป็นทรงกลมเพราะ[[แรงตึงผิว]]พยายามบังคับให้พื้นที่ผิวมีค่าน้อยที่สุด

=== สมบัติทางเรขาคณิตอื่น ๆ ===
ทรงกลมสร้างได้จากการหมุนวงกลมครึ่งรอบผ่านเส้นผ่านศูนย์ผ่านของมัน<ref>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 60}}.</ref> มีทรงกลมเพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดให้สี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

[[หมวดหมู่:เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์]]
[[หมวดหมู่:เรขาคณิตมูลฐาน]]
[[หมวดหมู่:พื้นผิว]]
[[หมวดหมู่:ทอพอโลยี]]
[[หมวดหมู่:ทรงกลม]]

== หมายเหตุและอ้างอิง ==

=== หมายเหตุ ===
{{NoteFoot}}

=== อ้างอิง ===
{{Reflist}}

=== ดูเพิ่ม ===
{{Wikisource1911Enc|Sphere}}

* {{citation|last=Albert|first=Abraham Adrian|title=Solid Analytic Geometry|year=2016|orig-year=1949|publisher=Dover|isbn=978-0-486-81026-3}}.
* {{cite book|last=Dunham|first=William|url=https://archive.org/details/mathematicaluniv00dunh|title=The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities|publisher=Wiley|year=1997|isbn=978-0-471-17661-9|location=New York|pages=[https://archive.org/details/mathematicaluniv00dunh/page/n34 28], 226|bibcode=1994muaa.book.....D|url-access=limited}}
* {{citation|last1=Kreyszig|first1=Erwin|title=Advanced Engineering Mathematics|url=https://archive.org/details/advancedengineer00krey|year=1972|edition=3rd|location=New York|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|isbn=978-0-471-50728-4|url-access=registration}}.
* {{citation|last=Steinhaus|first=H.|title=Mathematical Snapshots|year=1969|edition=Third American|publisher=Oxford University Press}}.
* {{citation|last=Woods|first=Frederick S.|title=Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry|year=1961|orig-year=1922|publisher=Dover}}.
* {{Cite web|author=John C. Polking|date=1999-04-15|title=The Geometry of the Sphere|url=https://www.math.csi.cuny.edu/~ikofman/Polking/sphere.html#basic|access-date=2022-01-21|website=www.math.csi.cuny.edu}}