ดูต้นฉบับสำหรับ ตัวหาร

ใน[[คณิตศาสตร์]] '''ตัวหาร''' ({{langx|en|divisor}}) ของ[[จำนวนเต็ม]] ''n'' หรือเรียกว่า '''ตัวประกอบ''' (factor) ของ ''n'' คือจำนวนเต็มที่หาร ''n'' ได้โดยไม่มี[[การหารยาว|เศษเหลือ]]

== คำอธิบาย ==

ตัวอย่างเช่น 7 เป็นตัวหารของ 42 เพราะว่า 42 ÷ 7 = 6 เราจะเรียกว่า ''42 หารด้วย 7 ลงตัว'' หรือ ''42 เป็น[[พหุคูณ]]ของ 7'' หรือ ''7 หาร 42 ลงตัว'' และเราจะเขียนว่า 7 | 42 ตัวหารสามารถเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบได้ ตัวหารที่เป็นบวกของ 42 คือ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

ในกรณีทั่วไป เรากล่าวว่า ''m'' | ''n'' (อ่านว่า ''m'' หาร ''n'' ลงตัว) สำหรับจำนวนเต็ม ''m'' และ ''n'' ที่ไม่เท่ากับ 0 [[ก็ต่อเมื่อ]] มีจำนวนเต็ม ''k'' ที่ทำให้ ''n'' = ''km''

กรณีพิเศษ: 1 และ −1 เป็นตัวหารของจำนวนเต็มทุกจำนวน และจำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นตัวหารของ 0 จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัวเรียกว่า [[จำนวนคู่]] จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนคู่เรียกว่า[[จำนวนคี่]]

สำหรับชื่อของ[[การหาร]]ใน[[เลขคณิต]] ถ้า ''a'' ÷ ''b'' = ''c'' แล้ว ''a'' คือ[[ตัวตั้งหาร]], ''b'' คือตัวหาร และ ''c'' คือ[[ผลหาร]]

== หลักเกณฑ์ของตัวหารที่มีค่าน้อย ==

มีหลักเกณฑ์ที่ช่วยให้หาตัวหารที่มีค่าน้อยๆของจำนวน โดยดูจากเลขโดดได้

[[หลักเกณฑ์การหาร]]คือหลักที่ช่วยในการหาว่าจำนวนนี้หารด้วยจำนวนอื่น ๆ ลงตัวหรือไม่ ในเลขฐานสิบ มีหลักเกณฑ์การหารคือ:

* จำนวนหารด้วย [[2]] ลงตัว [[ก็ต่อเมื่อ]] เลขโดดหลักสุดท้าย หารด้วย 2 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย [[3]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 3 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย [[4]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนที่เป็นเลขโดด 2 หลักสุดท้าย หารด้วย 4 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย [[5]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้ายคือ 0 หรือ 5
* จำนวนหารด้วย [[6]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย [[7]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลลัพธ์ของการนำ 2 เท่าของเลขโดดหลักสุดท้าย ไปลบจำนวนที่นำหลักสุดท้ายทิ้งไป หารด้วย 7 ลงตัว (เช่น 364 หารด้วย 7 ลงตัว เพราะ 36-2×4 = 28 หารด้วย 7 ลงตัว)
* จำนวนหารด้วย [[8]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนที่เป็นเลขโดด 3 หลักสุดท้าย หารด้วย 8 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย [[9]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 9 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย [[10]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้ายคือ 0
* จำนวนหารด้วย [[11]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกสลับของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 11 ลงตัว (เช่น 182919 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ 1-8+2-9+1-9 = -22 หารด้วย 11 ลงตัว)
* จำนวนหารด้วย [[12]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 3 และ 4 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย [[13]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลลัพธ์ของการนำ 9 เท่าของเลขโดดหลักสุดท้าย ไปลบจำนวนที่ลบหลักสุดท้ายทิ้งไป หารด้วย 13 ลงตัว (เช่น 858 หารด้วย 13 ลงตัว เพราะ 85-9×8 = 13 หารด้วย 13 ลงตัว)
* จำนวนหารด้วย [[14]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 2 และ 7 ลงตัว
* จำนวนหารด้วย [[15]] ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 3 และ 5 ลงตัว

== ข้อเท็จจริง ==

หลักพื้นฐาน:
* ถ้า ''a'' | ''b'' และ ''a'' | ''c'' แล้ว ''a'' | (''b'' + ''c'')
* ถ้า ''a'' | ''b'' และ ''b'' | ''c'' แล้ว ''a'' | ''c''
* ถ้า ''a'' | ''b'' และ ''b'' | ''a'' แล้ว ''a'' = ±''b''
* ถ้า ''a'' | ''bc'' และ [[ห.ร.ม.]] ของ ''a'' กับ ''b'' = 1 แล้ว ''a'' | ''c''

เราเรียกจำนวนที่หาร ''n'' ลงตัวและมีค่าไม่เท่ากับ ''n'' ว่า "ตัวหารแท้" (proper divisor) ของ ''n''

เราเรียกจำนวนที่มีค่ามากกว่า 1 และมี 1 เป็นตัวหารแท้เพียงตัวเดียวว่า "[[จำนวนเฉพาะ]]"

จาก[[ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต]] จำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของกำลังของจำนวนเฉพาะได้

เราเรียกจำนวนใด ๆ ว่าเป็น "[[จำนวนสมบูรณ์]]" (perfect number) เมื่อจำนวนนั้นมีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหารแท้ทั้งหมดของมัน จำนวนใด ๆ ที่ไม่สมบูรณ์มีความเป็นไปได้คือ "ขาด" (deficient) ไม่ก็ "เกิน" (abundant)

ฟังก์ชันหลายฟังก์ชันเกี่ยวกับการการหารจำนวนเต็มเป็น[[ฟังก์ชันเชิงการคูณ]] (multiplicative function) ยกตัวอย่างเช่น
* ฟังก์ชัน <math>d:N \rightarrow N</math> กำหนดโดย d (n) = จำนวนของตัวหารบวกทั้งหมดของ ''n''
* ฟังก์ชัน <math>\sigma: N \rightarrow N</math> กำหนดโดย <math>\sigma (n) </math>= ผลบวกของตัวหารบวกทั้งหมดของ ''n''

== ดูเพิ่ม ==
* [[ตารางตัวประกอบเฉพาะ]] — ตารางของตัวประกอบเฉพาะตั้งแต่ 1-1000
* [[ตารางตัวหาร]] — ตารางของตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะและไม่เป็นจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1-1000

[[หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวนมูลฐาน]]
[[หมวดหมู่:เลขคณิตมูลฐาน]]