ดูต้นฉบับสำหรับ จานแอรี

[[ไฟล์:Airy pattern dependence on diameter of aperture.gif|thumb|300px|ภาพเคลื่อนไหวสามมิติแสดงความเข้มแสงของจานแอรีเมื่อปรับขนาดรูรับแสงต่างกันไป]]
[[ไฟล์:Airy-pattern.svg|thumb|จานแอรีและแบบรูปแอรีที่ได้จากการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ สีขาวดำแสดงค่าความเข้มเทียบกับใจกลาง]]
[[ไฟล์:Beugungsscheibchen.k.720.jpg|thumb|จานแอรีและแบบรูปแอรีที่เกิดจาก[[เลเซอร์]]สีแดง]]
[[ไฟล์:Rubinar-1000 plus 2x K-1 telekonv Airy disk 1.jpg|thumb|จานแอรีที่เกิดจาก[[เลนส์ถ่ายภาพ]] 2000 มม. f/25]]
'''จานแอรี''' (Airy disc) และ '''แบบรูปแอรี''' (Airy pattern) เป็นปรากฏการณ์[[ทัศนศาสตร์|ทางแสง]]อย่างหนึ่ง เนื่องจากโดยธรรมชาติเชิง[[คลื่น]]ของแสงแล้ว [[แสง]]ที่ผ่าน รูเปิดวงกลมจะเกิด[[การเลี้ยวเบน]] แล้วเกิดเป็นรูปล่างแถบมืดสว่างเหมือนแผ่นจานกลมที่มีวงแหวนล้อม

แสงที่ปล่อยออกมาจาก[[แหล่งกำเนิดแสง]]ที่สม่ำเสมอผ่านรูรับแสงวงกลมทำให้เกิดแบบรูปการเลี้ยวเบนบนพื้นผิว และพื้นที่สว่างกลม ณ ใจกลางนั้นได้รับการตั้งชื่อเรียกว่า "จานแอรี" และจานแอรีนี้ถูกล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันหลายวงซึ่งเรียกว่า "แบบรูปแอรี" ชื่อจานและวงแหวนนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม [[จอร์จ บิดเดิล แอรี]] เส้นผ่านศูนย์กลางของจานนี้ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงและขนาดของรูรับแสงวงกลม

จานแอรีเป็นแนวคิดที่สำคัญในด้าน [[ฟิสิกส์]] [[ทัศนศาสตร์]] และ [[ดาราศาสตร์]]

สำหรับใน[[กล้องถ่ายภาพ]]และ[[กล้องโทรทรรศน์]]แล้ว จานแอรีถือว่ามีนัยสำคัญ ภาพโฟกัสของลำแสงที่ส่องผ่านเลนส์ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางจำกัดค่าหนึ่งนั้นจะไม่ใช่เป็นจุด แต่จะเป็นจานกลมที่มีขนาดเท่ากับจานแอรี เนื่องจากเกิดการเลี้ยวเบน แม้จะใช้เลนส์แบบไม่มี[[ความคลาดทางทัศนศาสตร์]]ก็ตาม [[ความละเอียดเชิงแสง]]ของภาพโฟกัสที่สร้างขึ้นได้โดย[[เลนส์ (ทัศนศาสตร์)|เลนส์]]นี้ก็ยังมีขีดจำกัด โดยอาจกล่าวได้ว่าความละเอียดเชิงแสงของระบบเชิงแสงจะถูกกำหนดโดย[[ขีดจำกัดการเลี้ยวเบน]] การที่เวลาถ่ายภาพโดยใช้[[รูรับแสง]]ขนาดเล็กเกินไปแล้วเกิดภาพเบลอก็สามารถอธิบายได้ด้วยจานและแบบรูปแอรีนั่นเอง

== ขนาดของจานแอรี ==
[[รัศมี]]ของจานแอรี <math> \theta</math> นิยามโดยมุมระหว่างวงแหวนมืดด้านในสุดกับ[[แกนเชิงแสง]]เมื่อมองจากจุดตัดของระนาบของรูรับแสงวงกลมและแกนเชิงแสง คำนวณได้โดยสมการต่อไปนี้

: <math> \sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}</math>

โดยที่ <math>\lambda</math> คือ[[ความยาวคลื่น]]ของแสง และ <math>d</math> คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม

ขีดจำกัดของความละเอียดเชิงแสงของภาพตาม[[ความละเอียดเชิงแสง#ความละเอียดของเรย์ลี|เกณฑ์ของเรย์ลี]] พิจารณาจากสถานะที่จุดกึ่งกลางของจานแอรีของภาพที่โฟกัสจุดหนึ่ง ไปซ้อนทับกับวงแหวนมืดวงแรกของจานแอรี (วงแหวนมืดที่ล้อมรอบจานแอรี) ของอีกจุด เมื่อใช้เกณฑ์นี้ค่าความละเอียดเชิงมุมจะหาได้จากสูตรเดียวกันนี้

== ตัวอย่าง ==
=== กล้องถ่ายภาพ ===
หากถ่ายภาพด้วยกล้องถ่ายภาพ ในขณะที่ค่อยลดระยะห่างระหว่าง[[แหล่งกำเนิดแสง]]แบบจุด 2 จุด (ซึ่งก็จะทำให้มุมระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดเมื่อมองจากกล้องค่อย ๆ เล็กลงด้วย) จานแอรีของแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดนั้นจะเริ่มซ้อนทับกันเมื่อเข้าใกล้กันมากจนถึงในระดับหนึ่ง และในที่สุดภาพจากจุดกำเนิดแสงทั้งสองที่ปรากฏจะซ้อนทับกันจนทำให้เริ่มเห็นภาพพร่ามัว ไม่สามารถเห็น 2 จุดนั้นแยกออกจากกันเป็น 2 จุดได้อย่างชัดเจน นั่นเพราะเมื่อจุดศูนย์กลาง (ส่วนที่สว่างที่สุด) ของแบบรูปแอรีของแหล่งกำเนิดแสงจุดหนึ่ง ซ้อนทับวงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปแอรีของอีกจุด จะทำให้เริ่มไม่สามารถแยกแยะ 2 จุดนั้น ทำให้เห็นเหมือนเป็นจุดเดียว

ตามเกณฑ์ของเรย์ลี ขีดจำกัดของมุมที่จะพอมองแยกแหล่งกำเนิดแสงสองจุดดังกล่าว ([[ความละเอียดเชิงแสง]]ของเลนส์) อาจคำนวณได้จากรัศมีของจานแอรีดังที่กล่าวมาข้างต้น
: <math> \sin \theta = 1.22\ \frac{\lambda}{d}</math>

โดยที่ θ มีค่าน้อยพอที่จะให้ค่าประมาณได้ดังนี้
: <math> \frac{x}{f} = 1.22\ \frac{\lambda}{d}</math>

ในที่นี้ <math>x</math> คือช่วงระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดแสงบนฟิล์ม <math>f</math> ระยะทางระหว่างเลนส์ถึง[[ฟิล์ม]] คำนวณจากความยาวโฟกัสของเลนส์คือ

: <math> x = 1.22\ \frac{\lambda f}{d}</math>

ในที่นี้ <math>\frac{f}{d}</math> คือ[[ค่าเอฟ]]ของเลนส์ ตัวอย่างเช่น ในช่วงวันที่มีแดดจัดมักใช้ f/16 ส่วนค่าความยาวคลื่น <math>\lambda</math> ต่างไปตามสีของแสง เช่น ถ้าพิจารณาที่ค่าประมาณ 450 [[นาโนเมตร]] ในช่วง[[แสงที่มองเห็นได้]] จะได้ว่า <math>x</math> มีขนาดประมาณ 0.01 มิลลิเมตร เมื่อถ่ายภาพด้วยกล้องดิจิทัลที่ f/16 ต่อให้เพิ่ม[[พิกเซลต่อนิ้ว|ความหนาแน่นพิกเซล]]ของ[[เซนเซอร์รูปภาพ]]ให้หนาแน่นขึ้น [[ความละเอียดเชิงแสง]]จริง ๆ ของกล้องนั้นก็จะไม่ได้มากขึ้นไปกว่านี้

=== ตาของมนุษย์ ===
ค่าเอฟของดวงตามนุษย์อยู่ที่ประมาณ 2.1<ref>{{cite book|last=Hecht|first=Eugene|title=Optics|url=https://archive.org/details/optics0000hech|date=1987|publisher=[[Addison Wesley]]|isbn=0-201-11609-X|edition=2nd}} Sect. 5.7.1</ref> เมื่อ[[รูม่านตา]]ขยายมากที่สุด กำลังการแยกบน[[จอตา]]อยู่ที่ประมาณ 1 [[ไมโครเมตร]] ซึ่งคำนวณจากระยะห่างของเซลล์รับแสงในจอตาของมนุษย์ โดยความหนาแน่นของเซลล์ที่[[รอยบุ๋มจอตา]]อยู่ที่ประมาณ 170,000 เซลล์ต่อตารางมิลลิเมตร นั่นคือระยะห่างระหว่างเซลล์อยู่ที่ประมาณ 2.5 ไมโครเมตร<ref>{{cite web|title=Eye Receptor Density|url=http://www.wdv.com/Eye/EyeBandwidth/index.html|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20080430161122/http://www.wdv.com/Eye/EyeBandwidth/index.html|archive-date=2008-04-30|access-date=2008-09-20}}</ref>

=== ลำแสงเลเซอร์ ===
เมื่อฉายลำแสง[[เลเซอร์]]วงกลมที่มีความเข้มสม่ำเสมอทั่วทั้งวงผ่านเลนส์รวมแสงจะก่อตัวเป็นจานแอรีที่จุดโฟกัส ความเข้มของลำแสงเลเซอร์ที่ตำแหน่งโฟกัสจะขึ้นอยู่กับขนาดของจานแอรี

== เงื่อนไขในการสังเกตเห็นจานแอรี ==
แสง (หรือคลื่นราบสม่ำเสมอ) ที่ลอดผ่านรูรับแสงวงกลมที่ส่องสว่างสม่ำเสมอจะแสดงแบบรูปการเลี้ยวเบนแอรีบนระนาบที่ห่างจากรูรับแสงวงกลม กรณีที่แหล่งกำเนิดแสงและระนาบอยู่ที่ระยะอนันต์จากรูรับแสงวงกลมจะเรียกว่า [[การเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์]] และกรณีที่แหล่งกำเนิดแสงหรือตัวระนาบอยู่ในระยะทางจำกัดเรียกว่า[[การเลี้ยวเบนแฟรแนล]]

ถ้าจะเห็นแบบรูปแอรีโดยไม่ใช้เลนส์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

#แสงที่ส่องผ่านรูรับแสงวงกลมเป็นคลื่นราบ
#ความเข้มของแสงที่กระทบรูรับแสงวงกลมสม่ำเสมอเท่ากันตลอดทั้งวง
#ระยะห่าง R จากรูรับแสงวงกลมมากพอ และรัศมีของรูเปิด a ไม่ใหญ่มากเมื่อเทียบกับความยาวคลื่นของแสง <math>\lambda</math> นั่นคือ <math>R > a^2 / \lambda</math>

== คำอธิบายด้วยสมการ ==
[[ไฟล์:Circular_aperture_variables.svg|right|thumb|220x220px| การเลี้ยวเบนจากรูรับแสงวงกลม แบบรูปแอรีจะเห็นได้เมื่อ  <math>R > a^2 / \lambda </math>]]
[[ไฟล์:Circular_aperture_with_lens.svg|right|thumb|220x220px| การเลี้ยวเบนโดยใช้เลนส์ที่มีรูรับแสงเป็นวงกลม ภาพระยะไกลจะสังเกตได้เฉพาะบนระนาบการโฟกัสที่ระยะ R=f (โดยที่ f=ความยาวโฟกัส)]]
[[ไฟล์:Airy_Pattern.svg|right|thumb|300x300px|ความเข้มแสงบนแบบรูปแอรีในช่วง ''ka''sin''θ'' = [−10, 10]]]
ความเข้มของ[[การเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์]]ที่เกิดจากรูรับแสงวงกลมคำนวณได้โดย
: <math>I(\theta) = I_0 \left ( \frac{2 J_1(ka \sin \theta)}{ka \sin \theta} \right )^2 = I_0 \left ( \frac{2 J_1(x)}{x} \right )^2</math>

ในที่นี้ <math>I_0</math> คือความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน <math>J_1</math> เป็น [[ฟังก์ชันเบ็สเซิล]]ประเภทที่หนึ่ง <math>k = {2 \pi}/{\lambda}</math> คือ[[เลขคลื่น]] <math>a</math> คือรัศมีของรูรับแสงวงกลม <math>\theta</math> คือมุมที่พิจารณา (มุมที่เส้นที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมกับจุดบนระนาบ ทำกับแกนเชิงแสง) และ
: <math>x = ka \sin \theta = \frac{2 \pi a}{\lambda} \frac{q}{R} = \frac{\pi q}{\lambda N} </math>

โดยที่ <math>q</math> คือระยะห่างของระนาบที่สังเกตการณ์ (หรือระนาบโฟกัส) จากแกนลำแสง และ <math>N =R/d</math> คือ [[ค่าเอฟ]]ของระบบเชิงแสง (โดย <math>d=2a</math> คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม และ <math>R</math> คือระยะห่างระหว่างรูรับแสงวงกลมกับระนาบการสังเกต) การวางเลนส์ประกบหลังรูรับแสงวงกลมจะสร้างแบบรูปแอรีบนระนาบโฟกัสของเลนส์ โดยที่ <math>R = f</math> (โดยที่ <math>f</math> คือ[[ความยาวโฟกัส]]ของเลนส์) ขีดจำกัดของ <math>\theta \rightarrow 0</math> (หรือ <math>x \rightarrow 0</math>) คือ <math>I(0) = I_0</math>

<math>J_1(x)</math> จะมีค่าเป็น 0 เมื่อ <math>x = ka \sin \theta \approx 0, 3.8317, 7.0156, 10.1735, 13.3268, 16.4706... </math>  วงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปการเลี้ยวเบนแสดงด้วยสมการต่อไปนี้
: <math>\sin \theta = \frac{3.83}{ka} = \frac{3.83 \lambda}{2 \pi a} = 1.22 \frac{\lambda}{2a} = 1.22 \frac{\lambda}{d}</math> .

ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีของวงแหวนมืดดวงแรกบนระนาบ <math>q_1</math> และมุม <math>\theta</math> คือ
: <math>q_1 = R \sin \theta</math>

โดยที่ <math>R</math> คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ระยะห่างจากจุดกึ่งกลาง <math>x</math> ที่ความเข้มแสงของจานแอรีเหลือครึ่งนึง (คือที่ <math>J_1(x)=1/2</math>) คือ <math>x = 1.61633... </math> ส่วนที่ความเข้มเหลือเป็น 1/e<sup>2</sup>  (<math>J_1(x)=1/e^2</math>) คือ <math>x = 2.58383... </math> ส่วนที่สว่างที่สุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือ <math>x = 5.13562... </math>

ความสัมพันธ์ของความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน <math>I_0</math> กับความเข้มของแสงที่ผ่านรูรับแสงวงกลม <math>P_0</math> แสดงโดยสูตรต่อไปนี้<ref>E. Hecht, Optics, Addison Wesley (2001) 邦訳： ヘクト、ヘクト光学 1--3、原著第4版、丸善（2001年） ISBN 978-4621073483</ref>

: <math>I_0 = \frac{\Epsilon_A^2 A^2}{2 R^2} = \frac{P_0 A}{\lambda^2 R^2}</math>

ในที่นี้ <math>\Epsilon</math> คือความเข้มของแสงต่อหน่วยพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม ''A'' คือพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม (<math>A=\pi a^2</math>) ''R'' คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ความเข้มแสงบนระนาบโฟกัสของเลนส์เป็น <math>I_0 = (P_0 A)/(\lambda^2 f^2)</math> ความเข้มสูงสุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือประมาณ 1.75% ของค่าที่ตรงกลางของจานแอรี

ความเข้มแสงรวมทั้งหมดภายในวงที่อยู่ในบริเวณในมุม <math>\theta</math> ที่กำหนดคำนวณได้เป็น
: <math>P(\theta) = P_0 [ 1 - J_0^2(ka \sin \theta) - J_1^2(ka \sin \theta) ]</math>

ซึ่งจะได้ว่าความเข้มแสงภายในวงแหวนมืดที่ 1, วงแหวนมืดที่ 2, วงแหวนมืดที่ 3 (ที่ซึ่ง <math>J_1(ka \sin \theta)=0</math>) เป็น 83.8%, 91.0% และ 93.8% ตามลำดับ<ref>M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Pergamon Press, New York, 1965) 邦訳： ボルンおよびウォルフ、光学の原理 1--3、原著第7版、東海大学出版会（2005年） ISBN 978-4486016786</ref>

== แบบรูปแอรีที่มีการบังแสงตรงกลาง ==
การเลี้ยวเบนในลักษณะเดียวกันนี้ยังเกิดขึ้นในกรณีที่รูรับแสงมีการบดบังเป็นวงกลมที่ส่วนใจกลางด้วย โดยแบบรูปการเลี้ยวเบนของแสงรูปวงแหวนที่เกิดจากรูรับแสงที่มีตัวบังแสงเป็นวงกลมที่ศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมจะแสดงได้ดังสูตรนี้<ref>Rivolta, Applied Optics, 25, 2404 (1986)</ref><ref name="mahajan">V. N. Mahajan, "Uniform versus Gaussian beams: a comparison of the effects of diffraction, obscuration, and aberrations," ''J. Opt. Soc. Am. A'' '''3''', 470 (1986) [http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=josaa-3-4-470 （電子版、有償）]</ref>
: <math>I(\theta) = \frac{I_0}{ (1 - \epsilon ^2)^2} \left ( \frac{2 J_1(x)}{x} - \frac{2 \epsilon J_1(\epsilon x)}{x}\right )^2</math>

ในที่นี้ <math>\epsilon</math> คืออัตราส่วนที่รูรับแสงวงกลมถูกบดบัง กล่าวคือ อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของแผ่นบังต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม <math> \left( 0 \le \epsilon < 1 \right) </math> และ <math>x</math> นิยามเป็น <math>x=ka sin(\theta) \approx \frac {\pi R}{\lambda N}</math> โดยที่ <math>R</math> คือเส้นผ่านศูนย์กลางบนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส <math>\lambda</math> คือความยาวคลื่น และ <math>N</math> คือ [[ค่าเอฟ]]ของระบบเชิงแสง พลังงานแสงที่โฟกัส (อัตราส่วนของพลังงานทั้งหมดที่รวบรวมได้ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง <math>R</math> ที่มีจุดกึ่งกลางอยู่บนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส) คำนวณโดย
: <math>E(R) = \frac{I_0}{ (1 - \epsilon ^2)^2 }
 \left( 1 - J_0^2(x) - J_1^2(x) + \epsilon ^2 \left[ 1 - J_0^2 (\epsilon x) - J_1^2(\epsilon x) \right] - 4 \epsilon \int_0^x \frac {J_1(t) J_1(\epsilon t)}{t}\,dt \right)
</math>

เมื่อ <math>\epsilon \rightarrow 0</math> จะได้สูตรออกมาเหมือนกับสูตรที่กล่าวไปข้างต้นในกรณีที่ไม่มีการบังตรงกลาง

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

[[หมวดหมู่:การเลี้ยวเบน]]
[[หมวดหมู่:คลื่น]]
[[หมวดหมู่:แสง]]
[[หมวดหมู่:ปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์]]
[[หมวดหมู่:ทัศนศาสตร์]]