ดูต้นฉบับสำหรับ คณิตศาสตร์

{{แม่แบบ:แถบด้านข้างหัวข้อคณิตศาสตร์}}

'''คณิตศาสตร์'''เป็นศาสตร์ที่ครอบคลุมการค้นคว้าเกี่ยวกับ [[ปริมาณ]] [[โครงสร้าง]] [[การเปลี่ยนแปลง]] และ[[ปริภูมิ]] มี[[บทพิสูจน์|การพิสูจน์]]ผ่าน[[การให้เหตุผลแบบนิรนัย|การให้เหตุผล]]ที่รัดกุม นำไปสู่ความรู้ที่เรียกว่า[[ทฤษฎีบท]]หรือ[[Mathematical Theory|ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์]] เพื่อใช้งานใน[[Empirical sciences|ศาสตร์เชิงประจักษ์]] อาทิ [[วิทยาศาสตร์]]และ[[ฟิสิกส์]] หรือใช้ในคณิตศาสตร์เอง คณิตศาสตร์แบ่งย่อยออกเป็นหลายสาขา ซึ่งรวมไปถึง[[ทฤษฎีจำนวน]]ซึ่งศึกษาจำนวน, [[พีชคณิต]]ซึ่งศึกษาสูตร สมการและโครงสร้างที่เกี่ยวข้อง, [[เรขาคณิต]]ซึ่งศึกษารูปร่าง รูปทรงและปริภูมิที่บรรจุรูปร่างรูปทรงต่าง ๆ, [[คณิตวิเคราะห์]]ซึ่งศึกษาการเปลี่ยนแปลงแบบต่อเนื่อง และ[[ทฤษฎีเซต]]ที่ปัจจุบันใช้เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ทั้งปวง

คณิตศาสตร์มุ่งอธิบายและจัดการวัตถุเชิงนามธรรมที่เรียกว่า[[mathematical object|วัตถุทางคณิตศาสตร์]] ซึ่งอาจจะมีที่มาจากการเปลี่ยมมุมมองสิ่งต่าง ๆ ในธรรมชาติ[[abstraction (mathematics)|ให้เป็นนามธรรม]] หรือมีที่มาจากวัตถุนามธรรมที่ไม่ได้มีที่มาจากธรรมชาติแต่เกิดจากการกำหนดให้มีสมบัติบางอย่างให้มีขึ้นมา สมบัติเหล่านั้นเรียกว่า [[สัจพจน์]] คณิตศาสตร์ใช้เพียง[[เหตุผล]]เท่านั้นเพื่อ[[บทพิสูจน์|พิสูจน์]]สมบัติของวัตถุต่าง ๆ โดยบทพิสูจน์ประกอบไปด้วยข้อความที่เกิดจาก[[การให้เหตุผลแบบนิรนัย|การอ้างเหตุผล]]จากความรู้ก่อนหน้า สิ่งที่นับเป็นความรู้ก่อนหน้าได้แก่ ทฤษฎีบท สัจพจน์ หรือหากเป็นคณิตศาสตร์ที่เกิดจากการสร้างแนวคิดนามธรรมจากตัวอย่างที่มีในธรรมชาติ สามารถถือว่าสมบัติพื้นฐานของธรรมชาติที่ทราบว่าจริงเป็นความรู้ก่อนหน้าได้<ref>{{cite book |last=Hipólito |first=Inês Viegas |editor1-last=Kanzian |editor1-first=Christian |editor2-last=Mitterer |editor2-first=Josef |editor2-link=Josef Mitterer |editor3-last=Neges |editor3-first=Katharina |date=August 9–15, 2015 |chapter=Abstract Cognition and the Nature of Mathematical Proof |pages=132–134 |title=Realismus – Relativismus – Konstruktivismus: Beiträge des 38. Internationalen Wittgenstein Symposiums |trans-title=Realism – Relativism – Constructivism: Contributions of the 38th International Wittgenstein Symposium |volume=23 |language=de, en |publisher=Austrian Ludwig Wittgenstein Society |location=Kirchberg am Wechsel, Austria |issn=1022-3398 |oclc=236026294 |url=https://www.alws.at/alws/wp-content/uploads/2018/06/papers-2015.pdf#page=133 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20221107221937/https://www.alws.at/alws/wp-content/uploads/2018/06/papers-2015.pdf#page=133 |archive-date=November 7, 2022 |access-date=January 17, 2024}} ([https://www.researchgate.net/publication/280654540_Abstract_Cognition_and_the_Nature_of_Mathematical_Proof at ResearchGate] {{open access}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20221105145638/https://www.researchgate.net/publication/280654540_Abstract_Cognition_and_the_Nature_of_Mathematical_Proof |date=November 5, 2022}})</ref> 

คณิตศาสตร์มีความสำคัญอย่างขาดไม่ได้ในศาสตร์ต่าง ๆ อย่าง [[วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ]] [[วิศวกรรมศาสตร์]] [[แพทยศาสตร์]] [[การเงิน]] [[วิทยาการคอมพิวเตอร์]] และ[[สังคมวิทยา]] ถึงแม้ว่าวิทยาศาสตร์จะใช้จำลองปรากฏการณ์ต่าง ๆ ในธรรมชาติ ความจริงพื้นฐานของคณิตศาสตร์เป็นอิสระจาก[[การทดลอง|การทดลองทางวิทยาศาสตร์]]ใด ๆ สาขาบางสาขาของคณิตศาสตร์ เช่น [[สถิติศาสตร์]]และ[[ทฤษฎีเกม]]ถูกพัฒนาไปพร้อมกับการประยุกต์ใช้ในศาสตร์อื่น ๆ จึงได้ชื่อว่า [[คณิตศาสตร์ประยุกต์]] ในขณะที่สาขาอื่น ๆ ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นเพื่อประยุกต์ใช้ในด้านอื่น จะเรียกว่า คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ แต่ในภายหลังอาจค้นพบการประยุกต์ใช้ได้{{Sfn|Peterson|1988|page=12}}<ref name="wigner19602">{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |author-link=Eugene Wigner |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |url-status=live |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |bibcode=1960CPAM...13....1W |doi=10.1002/cpa.3160130102 |s2cid=6112252 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archive-date=February 28, 2011 |df=mdy-all}}</ref>

ตามประวัติศาสตร์แล้ว แนวคิดเรื่องการพิสูจน์และความรัดกุมทางคณิตศาสตร์ปรากฏขึ้นครั้งแรกในคณิตศาสตร์กรีกโบราณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน''[[Euclid's Elements|เอเลเมนส์]]''ของ[[ยุคลิด]]<ref>{{cite web |last=Wise |first=David |url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm |title=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|website=[[The University of Georgia]] |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm |archive-date=June 1, 2019 |access-date=January 18, 2024}}</ref> คณิตศาสตร์เดิมทีถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนใหญ่ ๆ คือเรขาคณิตและ[[เลขคณิต]] ซึ่งเป็นการดำเนินการกับ[[จำนวนธรรมชาติ]]และ[[เศษส่วน]] จนกระทั่งในศตวรรษที่ 16 และ 17 พีชคณิตและ[[แคลคูลัสกณิกนันต์]]เริ่มปรากฏขึ้นเป็นสาขาใหม่ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา การค้นคว้าใหม่ ๆ ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ซึ่งเกี่ยวเนื่องกันนำไปสู่การพัฒนาศาสตร์ทั้งสอง<ref>{{cite journal |last=Alexander |first=Amir |author-link=Amir Alexander |date=September 2011 |title=The Skeleton in the Closet: Should Historians of Science Care about the History of Mathematics? |url=https://archive.org/details/sim_isis_2011-09_102_3/page/n90 |journal=Isis |volume=102 |number=3 |pages=475–480 |doi=10.1086/661620 |issn=0021-1753 |mr=2884913 |pmid=22073771 |s2cid=21629993}}</ref> เมื่อถึงปลายศตวรรษที่ 19 [[วิกฤติการณ์รากฐานของคณิตศาสตร์]]นำไปสู่การจัดระบบของ[[ระเบียบวิธีเชิงสัจพจน์]]<ref name=Kleiner_1991>{{cite journal |last=Kleiner |first=Israel |author-link=Israel Kleiner (mathematician) |date=December 1991 |title=Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective |journal=Mathematics Magazine |publisher=Taylor & Francis, Ltd. |volume=64 |issue=5 |pages=291–314 |doi=10.1080/0025570X.1991.11977625 |jstor=2690647 |issn=0025-570X |eissn=1930-0980 |lccn=47003192 |mr=1141557 |oclc=1756877 |s2cid=7787171}}</ref> ทำให้เกิดสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ จำนวนมากและการประยุกต์ในด้านต่าง ๆ การจัดหมวดหมู่คณิตศาสตร์ในปัจจุบันที่เรียกว่า [[Mathematics Subject Classification]] ระบุว่ามีสาขาของคณิตศาสตร์ในชั้นต้นสุดมากกว่า 60 สาขา

== สาขาของคณิตศาสตร์ ==
{{หลัก|สาขาของคณิตศาสตร์}}
ในเชิงภาพรวมอาจกล่าวได้ว่า คณิตศาสตร์สามารถแบ่งออกเป็นสาขาย่อย ๆ ตามสิ่งที่ศึกษาได้เป็น การศึกษาปริมาณ โครงสร้าง ปริภูมิและความเปลี่ยนแปลง ซึ่งตรงกับสาขา[[เลขคณิต]] [[พีชคณิต]] [[เรขาคณิต]] และ[[คณิตวิเคราะห์]]ตามลำดับ นอกจากนี้เราอาจพิจารณาคณิตศาสตร์ผ่านความสมพันธ์กับสาขาอื่น ๆ เช่น [[คณิตตรรกศาสตร์]]กับ[[ตรรกศาสตร์]] [[คณิตศาสตร์ประยุกต์]]กับ[[วิทยาศาสตร์]] ปัจจุบันเราพบว่าหลายสาขาของคณิตศาสตร์ที่ดูผิวเผินจะไม่เกี่ยวข้องกัน กลับสัมพันธ์กันอย่างลึกซึ้ง เช่น [[กรุปกาลัวส์]] [[พื้นผิวรีมันน์]]และ[[ทฤษฎีจำนวน]] ซึ่งดูแยกออกจากกันโดยสิ้นเชิงนั้น เกี่ยวเนื่องกันผ่านมุมมองของ[[โปรแกรมแลงแลนดส์]]

=== รากฐานและปรัชญา ===
{{หลัก|รากฐานของคณิตศาสตร์}}
: หลังจากการพัฒนา[[ทฤษฎีเซต]]ในปลายศตวรรษที่ 19 ทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ที่สำคัญมากที่สุดในรูปแบบหนึ่ง ความพยายามทำความเข้าใจรากฐานนี้ส่งผลให้เกิดการศึกษา[[คณิตตรรกศาสตร์]] และ[[ปรัชญาของคณิตศาสตร์|ปรัชญาคณิตศาสตร์]]
[[ปรัชญาของคณิตศาสตร์]]
{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math> p \Rightarrow q \, </math> || [[ไฟล์:Venn A intersect B.svg|128px]] || [[ไฟล์:Commutative diagram for morphism.svg|96px]]
|[[ไฟล์:DFAexample.svg|center|frameless|143x143px]]
|-
| [[คณิตตรรกศาสตร์]] || [[ทฤษฎีเซต]] || [[ทฤษฎีแคทิกอรี]] ||[[ทฤษฎีการคำนวณ]]
|}
: [[ปรัชญาคณิตศาสตร์]] - [[รากฐานของคณิตศาสตร์]] - [[ทฤษฎีเซต]] - [[ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์]] - [[ทฤษฎีโมเดล]] - [[ทฤษฎีแคทิกอรี]] - [[ตรรกศาสตร์]]

=== คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ===
{{หลัก|คณิตศาสตร์บริสุทธิ์}}

==== ทฤษฎีจำนวน ====
{{หลัก|ทฤษฎีจำนวน}}
[[File:Spirale Ulam 150.jpg|thumb|[[Ulam Spiral|เส้นเวียนก้นหอยของอูลัม]]แสดงให้เห็นการกระจายตัวของ[[จำนวนเฉพาะ]] เส้นทแยงมุมสีเข้มในเห็นในเส้นเวียนก้นหอยเสนอว่ามี[[ความเป็นอิสระ (ทฤษฎีความน่าจะเป็น)|ความเป็นอิสระ]]ระหว่างการเป็นจำนวนเฉพาะและการเป็นค่าของพหุนามกำลังสอง ซึ่งเป็นข้อความคาดการณ์ที่ปัจจุบันเรียกว่าข้อความคาดการณ์ F ของฮาร์ดีและลิตเติลวูด]]
ทฤษฎีจำนวนมีจุดเริ่มต้นจากการดำเนินการกับ[[จำนวน]]ที่เป็น[[จำนวนธรรมชาติ]] <math>(\mathbb{N})</math> แล้วต่อมาขยายเป็น[[จำนวนเต็ม]] <math>(\Z)</math> และ[[จำนวนตรรกยะ]] <math>(\Q)</math> ทฤษฎีจำนวนเคยถูกเรียกว่า ''เลขคณิต'' (arithmetic) แต่ปัจจุบันคำนี้ส่วนใหญ่ใช้สำหรับการคำนวณตัวเลข<ref>{{cite book |last=LeVeque |first=William J.|author-link=William J. LeVeque|year=1977 |chapter=Introduction |title=Fundamentals of Number Theory |pages=1–30 |publisher=[[Addison-Wesley Publishing Company]] |isbn=0-201-04287-8 |lccn=76055645 |oclc=3519779 |s2cid=118560854}}</ref> ทฤษฎีจำนวนสามารถสืบประวัติย้อนกลับไปถึง[[บาบิโลน]]โบราณ และเป็นไปได้ว่าปรากฎตั้งแต่สมัย[[จีนโบราณ]]ด้วย นักทฤษฎีจำนวนในยุคแรกที่มีชื่อเสียงสองคนคือ [[ยุคลิด]] แห่งกรีกโบราณและ [[Diophantus|ไดโอแฟนตัส]] แห่งอเล็กซานเดรีย<ref>{{cite book |last=Goldman |first=Jay R. |year=1998 |chapter=The Founding Fathers |title=The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory |url=https://archive.org/details/queenofmathemati0000gold |pages=[https://archive.org/details/queenofmathemati0000gold/page/n29 2]–3 |publisher=A K Peters |publication-place=Wellesley, MA |doi=10.1201/9781439864623 |isbn=1-56881-006-7 |lccn=94020017 |oclc=30437959 |s2cid=118934517}}</ref> การวิจัยทฤษฎีจำนวนแบบนามธรรมอย่างในปัจจุบัน มักได้รับการเสนอว่าเป็นผลงานของ [[ปีแยร์ เดอ แฟร์มา]] และ [[เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์]] จนมีเกิดผลงานจำนวนมากโดย[[อาดรีแย็ง-มารี เลอฌ็องดร์]] และ [[คาร์ล ฟรีดริช เกาส์]]<ref>{{cite book |last=Weil |first=André |author-link=André Weil |year=1983 |title=Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre |publisher=Birkhäuser Boston |pages=2–3 |doi=10.1007/978-0-8176-4571-7 |isbn=0-8176-3141-0 |lccn=83011857 |oclc=9576587 |s2cid=117789303}}</ref>

ข้อปัญหาเกี่ยวกับตัวเลขที่อธิบายได้ง่ายหลายปัญหามีบทพิสูจน์ที่ซับซ้อน และมักเชื่อมโยงคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ มาใช้พิสูจน์ ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดคือคือ [[ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา]] ที่กล่าวว่าไม่มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ <math> x^n + y^n = z^n </math> เมื่อ <math> n \geq 3 </math> โดยแฟร์มาตั้งข้อความคาดการณ์นี้ไว้ในปี ค.ศ. 1637 แต่เพิ่งได้รับการพิสูจน์ในปี ค.ศ. 1994 โดย[[แอนดรูว์ ไวลส์]] และใช้เครื่องมือต่าง ๆ ที่รวมถึง [[ทฤษฎีสกีม]]ใน[[เรขาคณิตพีชคณิต]], [[ทฤษฎีแคทิกอรี]] และ [[homological algebra|พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี]]<ref>{{cite journal |last=Kleiner |first=Israel |author-link=Israel Kleiner (mathematician) |date=March 2000 |title=From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem |journal=[[Elemente der Mathematik]] |volume=55 |issue=1 |pages=19–37 |doi=10.1007/PL00000079 |doi-access=free |issn=0013-6018 |eissn=1420-8962 |lccn=66083524 |oclc=1567783 |s2cid=53319514}}</ref> อีกตัวอย่างคือ[[ข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัค]]ซึ่งระบุว่าจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนที่มากกว่า 2 เขียนได้ในรูปผลรวมของ[[จำนวนเฉพาะ]]สองตัว ข้อความคาดการณ์นี้ตั้งโดย[[คริสเตียน ก็อลท์บัค]] ในปี ค.ศ. 1742 แต่ยังพิสูจน์ไม่ได้แม้นักคณิตศาสตร์จะพยายามอย่างมากเท่าใดก็ตาม<ref>{{cite book |last=Wang |first=Yuan |year=2002 |title=The Goldbach Conjecture | pages=1–18 |edition=2nd |series=Series in Pure Mathematics |volume=4 |publisher=[[World Scientific]] |doi=10.1142/5096 |isbn=981-238-159-7 |lccn=2003268597 |oclc=51533750 |s2cid=14555830}}</ref>

ทฤษฎีจำนวนประกอบด้วยสาขาย่อยหลายสาขา ซึ่งรวมถึง [[ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์]], [[ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต]], [[เรขาคณิตของจำนวน]], [[สมการไดโอแฟนไทน์]] และ [[transcendence theory|ทฤษฎีอดิศัย]]<ref name=MSC />

=== โครงสร้าง ===
{{หลัก|พีชคณิต}}
: สาขาเหล่านี้ ศึกษาขนาดและความสมมาตรของจำนวนและวัตถุทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| [[ไฟล์:Elliptic curve simple.png|96px]] || [[ไฟล์:Rubik's cube.svg|96px]] || [[ไฟล์:Group diagdram D6.svg|96px]] || [[ไฟล์:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px]]
|-
| [[ทฤษฎีจำนวน]] || [[ทฤษฎีกรุป]]|| [[ทฤษฎีกราฟ]]|| [[ทฤษฎีอันดับ]]
|}

: [[พีชคณิตนามธรรม]] - [[ทฤษฎีจำนวน]] - [[ทฤษฎีกรุป]] - [[ทอพอโลยี]] - [[พีชคณิตเชิงเส้น]] - [[ทฤษฎีแคทิกอรี]] - [[ทฤษฎีอันดับ]]

=== เรขาคณิต ===
{{หลัก|เรขาคณิต}}
[[File:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|บนพื้นผิวของ[[ทรงกลม]] เรขาคณิตแบบยุคลิดใช้ได้เป็นการประมาณเฉพาะในบริเวณเล็ก ๆ เท่านั้น เมื่อพิจารณาสเกลที่ใหญ่กว่าจะพบว่าผลรวมมุมภายในของสามเหลี่ยมไม่เท่ากับ 180°]]

เรขาคณิตเป็นสาขาหนึ่งที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์ เรขาคณิตเริ่มต้นจากข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์เกี่ยวกับรูปร่างทั่วไป เช่น [[เส้นตรง]], [[มุม]] และ [[วงกลม]] ซึ่งพัฒนาขึ้นจากความต้องการนำไปใช้งานทาง[[การสำรวจรังวัด]]และ[[สถาปัตยกรรม]] ก่อนจะก็ขยายออกไปประยุกต์ใช้ในสาขาอื่น ๆ อีกมากมาย<ref name="Straume_2014">{{Cite arXiv|last=Straume |first=Eldar |date=September 4, 2014 |title=A Survey of the Development of Geometry up to 1870 |class=math.HO |eprint=1409.1140 }}</ref>

แนวคิดอันหนึ่งที่เปลี่ยนแปลงความเข้าใจทางเรขาคณิตของมนุษย์คือแนวคิดเรื่อง[[การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์|การพิสูจน์]]ของขาวกรีกโบราณ ซึ่งเสนอว่าข้อความใด ๆ ที่จะนำไปใช้งานต้องได้รับการพิสูจน์ ตัวอย่างเช่น หากเสนอว่าเส้นตรงสองเส้นในทฤษฎีบททางเรขาคณิตจะมีความยาวเท่ากันเสมอ [[การวัด]]ด้วยอุปกรณ์ว่าเส้นตรงสองเส้นยาวเท่ากันนั้นไม่เพียงพอ ต้องพิสูจน์ด้วยการใช้เหตุผลจากสิ่งที่ยอมรับหรือเชื่อถือกันมาก่อนหน้านี้ (เรียกว่า [[ทฤษฎีบท]]) หรือจากข้อความมูลฐานสองสามข้อ มีข้อความมูลฐานส่วนหนึ่งที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้เนื่องจากเป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดในตัวเอง (เรียกว่า [[สมมติฐาน]]) หรือเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความของหัวข้อการศึกษา ([[สัจพจน์]]) หลักการนี้เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด ถูกประยุกต์ใช้เป็นครั้งแรกสำหรับเรขาคณิตโดย [[ยุคลิด]] ราว 300 ปีก่อนคริสตกาล ในหนังสือของเขาเรื่อง ''[[Euclid's Elements|เอเลเมนส์]]''<ref>{{cite book |last=Hilbert |first=David |author-link=David Hilbert |year=1902 |title=The Foundations of Geometry |page=1 |publisher=[[Open Court Publishing Company]] |doi=10.1126/science.16.399.307 |lccn=02019303 |oclc=996838 |s2cid=238499430 |url={{GBurl|id=8ZBsAAAAMAAJ}} |access-date=February 6, 2024}} {{free access}}</ref><ref>{{cite book |last=Hartshorne |first=Robin |author-link=Robin Hartshorne |year=2000 |chapter=Euclid's Geometry |pages=9–13 |title=Geometry: Euclid and Beyond |publisher=[[Springer New York]] |isbn=0-387-98650-2 |lccn=99044789 |oclc=42290188 |url={{GBurl|id=EJCSL9S6la0C|p=9}} |access-date=February 7, 2024}}</ref>

เรขาคณิตที่ถูกเสนอโดยยุคลิดเรียกว่า [[เรขาคณิตแบบยุคลิด]] เป็นการศึกษารูปร่างรูปทรงต่าง ๆ ที่สามารถ[[การสร้างด้วยสันตรงและวงเวียน|สร้างขึ้น]] จากเส้นและวงกลมใน [[ระนาบแบบยุคลิด]] ทั้งบน[[ระนาบ]] ([[plane geometry|เรขาคณิตบนระนาบ]]) และใน[[ปริภูมิสามมิติ]]<ref name=Straume_2014 />

=== ความเปลี่ยนแปลง ===
{{หลัก|คณิตวิเคราะห์}}
: หัวข้อเหล่านี้ เกี่ยวข้องกับการวัดความเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ และความเปลี่ยนแปลงระหว่างจำนวน
{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| [[ไฟล์:Integral as region under curve.svg|96px]] || [[ไฟล์:Vector field.svg|96px]] 
|[[ไฟล์:Complex zeta.jpg|frameless|103x103px]]|| [[ไฟล์:Airflow-Obstructed-Duct.png|96px]] || [[ไฟล์:Limitcycle.jpg|96px]] || [[ไฟล์:Lorenz attractor.svg|96px]]
|-
| [[แคลคูลัส]] || [[แคลคูลัสเวกเตอร์]] 
|[[การวิเคราะห์เชิงซ้อน]]|| [[สมการเชิงอนุพันธ์]] || [[ระบบพลวัต]]|| [[ทฤษฎีความอลวน]]
|}

: [[แคลคูลัส]] - [[แคลคูลัสเวกเตอร์]] - [[คณิตวิเคราะห์]] - [[การวิเคราะห์เชิงจริง]] - [[การวิเคราะห์เชิงซ้อน]] - [[ทฤษฎีเมเชอร์]] - [[การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน]] - [[การวิเคราะห์ฟูร์ริเยร์]] - [[สมการเชิงอนุพันธ์]] - [[ระบบพลวัติ]] - [[ทฤษฎีความอลวน]] - [[รายการฟังก์ชัน]]

=== วิยุตคณิต ===
: [[วิยุตคณิต]] คือแขนงของคณิตศาสตร์ที่สนใจวัตถุที่มีค่าเฉพาะเจาะจงที่แตกต่างกัน

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math>\begin{matrix} (1, 2, 3) & (1, 3, 2) \\ (2, 1, 3) & (2, 3, 1) \\ (3, 1, 2) & (3, 2, 1) \end{matrix}</math> || [[ไฟล์:DFAexample.svg|96px]] || [[ไฟล์:Caesar3.svg|96px]] || [[ไฟล์:6n-graf.svg|96px]]
|-
| [[คณิตศาสตร์เชิงการจัด]] || [[การคำนวณ|ทฤษฎีการคำนวณ]] || [[วิทยาการเข้ารหัสลับ]] || [[ทฤษฎีกราฟ]]
|}

: [[คณิตศาสตร์เชิงการจัด]] - [[การคำนวณ|ทฤษฎีการคำนวณ]] - [[วิทยาการเข้ารหัสลับ]] - [[ทฤษฎีกราฟ]]

=== คณิตศาสตร์ประยุกต์ ===
: สาขาใน[[คณิตศาสตร์ประยุกต์]] ใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้ปัญหาในโลกของความเป็นจริง

<center>
<gallery>
ภาพ:Gravitation space source.png | <center>[[ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์]]</center>
ภาพ:BernoullisLawDerivationDiagram.png | <center>[[กลศาสตร์ของไหล]]</center>
ภาพ:Composite trapezoidal rule illustration small.png | <center>[[การวิเคราะห์เชิงตัวเลข]]</center>
ภาพ:Maximum boxed.png | <center>[[การหาค่าเหมาะที่สุด]]</center>
ภาพ:Two red dice 01.svg | <center>[[ความน่าจะเป็น]]</center>
ภาพ:Oldfaithful3.png | <center>[[สถิติศาสตร์]]</center>
ภาพ:Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png | <center>[[คณิตศาสตร์การเงิน]]</center>
ภาพ:Arbitrary-gametree-solved.png | <center>[[ทฤษฎีเกม]]</center>
ภาพ:Simple feedback control loop2.svg| <center>[[ทฤษฎีระบบควบคุม]]</center>
</gallery>
</center>

: [[คณิตศาสตร์ฟิสิกส์]] - [[กลศาสตร์]] - [[กลศาสตร์ของไหล]] - [[การวิเคราะห์เชิงตัวเลข]] - [[การหาค่าเหมาะที่สุด (คณิตศาสตร์)|การหาค่าเหมาะที่สุด]]  - [[ความน่าจะเป็น]] - [[สถิติศาสตร์]] - [[คณิตศาสตร์การเงิน]] - [[ทฤษฎีเกม]] - [[คณิตศาสตร์ชีววิทยา]] - [[วิทยาการเข้ารหัสลับ]] - [[ทฤษฎีข้อมูล]] - [[ทฤษฎีระบบควบคุม]]

<!-- === ทฤษฎีบทที่สำคัญ ===
: ทฤษฎีบทเหล่านี้ เป็นที่สนใจของทั้งนักคณิตศาสตร์และบุคคลทั่วไป

: [[ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]] - [[ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา]] - [[ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล]] - [[ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต]] - [[ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต]] - [[ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส]] - [[วิธีการแนวทแยงของคันทอร์]] - [[ทฤษฎีบทสี่สี]] - [[บทตั้งของซอร์น]] - [[เอกลักษณ์ของออยเลอร์]] - [[ข้อปัญหาของเชิร์ช-ทัวริง]] - [[ทฤษฎีบทการจำแนกของพื้นผิว]]  - [[ทฤษฎีบทเกาส์-โบนเนต์]] 

=== ข้อความคาดการณ์ที่สำคัญ ===
: ปัญหาคณิตศาสตร์ที่ยังไม่มีใครแก้ได้

: [[ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาช]] - [[ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด]] - [[สมมติฐานของรีมันน์]] - [[สมมติฐานความต่อเนื่อง]] - [[ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร]] - [[กลุ่มความซับซ้อน พี และ เอ็นพี|P=NP?]] - [[ปัญหาของฮิลเบิร์ท]]

 === ประวัติและโลกของนักคณิตศาสตร์ ===
 : [[ประวัติของคณิตศาสตร์]] - [[เส้นเวลาของคณิตศาสตร์]] - [[นักคณิตศาสตร์]] - [[เหรียญฟิลด์ส]] - [[รางวัลอาเบล]] ([[:en:Abel Prize|Abel Prize]]) - [[ปัญหารางวัลสหัสวรรษ|ปัญหารางวัลสหัสวรรษ (รางวัลเคลย์แมท)]] - [[สหภาพคณิตศาสตร์นานาชาติ]] - [[การแข่งขันคณิตศาสตร์]] - [[การคิดเชิงข้าง]] ([[:en:Lateral thinking|Lateral thinking]]) - [[ประเด็นเกี่ยวกับความสามารถทางคณิตศาสตร์และเพศ]] ([[:en:Mathematical abilities and gender issues|Mathematical abilities and gender issues]]) -->
== ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ ==
{{หลัก|ประวัติของคณิตศาสตร์}}

=== ที่มาของคำ ===
คำว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า ''คณิต'' ({{Langx|sa|गणित}}) ซึ่งแปลว่า[[การนับ|ที่ถูกนับ]] [[คำนวณ|ที่ถูกคำนวณ]] หรือ คณิตศาสตร์<ref>{{Citation|last=Monier-Williams|first=Monier|title=A Sanskrit-English Dictionary|date=2009-11-26|url=https://www.sanskrit-lexicon.uni-koeln.de/scans/MWScan/2014/web/webtc/servepdf.php?page=0343|work=A Sanskrit-English Dictionary|pages=343|publisher=Oxford: At the Clarendon Press|access-date=2025-02-08}}</ref> คำว่า คณิต มีราก คณฺ ({{Lang-sa2|गण्}}) ซึ่งหมายถึง นับ คำนวณ และคำว่า ''ศาสตร์'' ([[ความรู้]] หรือ [[การศึกษา]]) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ 

ในภาษาอังกฤษคำว่าคณิตศาสตร์ตรงกับคำว่า ''mathematics'' ซึ่งมาจากคำ[[ภาษากรีก|ภาษากรีกโบราณ]] ''μάθημα'' (''máthēma'') ซึ่งดั้งเดิมหมายถึง "สิ่งที่ได้เรียน" "สิ่งที่จะได้ทราบ" จึงขยายความหมายออกไปรวมถึงความหมาย  "วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน"<ref>{{multiref | {{harvnb|Cresswell|2021|loc=§ Mathematics}} | {{harvnb|Perisho|1965|p=64}} }}</ref> ในอเมริกาเหนือนิยมย่อคำว่า mathematics ว่า ''math'' ส่วนประเทศอื่น ๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า ''maths''

หนึ่งในสองสำนักคิดหลักย่อยของ[[ลัทธิพีทาโกรัส]]เป็นที่รู้จักกันในชื่อ ''mathēmatikoi'' (μαθηματικοί) ซึ่งในสมัยนั้นแปลว่า "ผู้เรียน" มากกว่า "นักคณิตศาสตร์" ในความหมายสมัยใหม่ ลัทธิพีทาโกรัสน่าจะเป็นกลุ่มแรกที่จำกัดการใช้คำนี้เฉพาะการศึกษา[[เลขคณิต]]และเรขาคณิตเท่านั้น เมื่อถึงสมัยของ[[อริสโตเติล]] (384–322 ปีก่อนคริสตกาล) ความหมายที่แคบลงนี้ก็เป็นที่ยอมรับโดยกว้างแล้ว<ref>{{cite journal |last=Perisho |first=Margaret W. |date=Spring 1965 |title=The Etymology of Mathematical Terms |journal=[[Pi Mu Epsilon Journal]] |volume=4 |issue=2 |pages=62–66 |issn=0031-952X |jstor=24338341 |lccn=58015848 |oclc=1762376}}</ref>

ใน[[ภาษาละติน]]และภาษาอังกฤษ จนถึงราวปี ค.ศ. 1700 คำว่า ''คณิตศาสตร์'' มักหมายถึง "[[โหราศาสตร์]]" (หรือบางครั้งหมายถึง "[[ดาราศาสตร์]]") มากกว่า "คณิตศาสตร์" อย่างที่รู้จักกันในปัจจุบัน ความหมายของคำนี้ค่อย ๆ เปลี่ยนไปเป็นความหมายปัจจุบันตั้งแต่ประมาณปี ค.ศ. 1500 ถึงปี ค.ศ. 1800 การเปลี่ยนแปลงนี้ส่งผลให้เกิดการแปลผิดหลายครั้ง ตัวอย่างเช่น คำเตือนของ[[ออกัสตินแห่งฮิปโป|นักบุญออกัสติน]]ว่าคริสเตียนควรระวัง ''mathematici'' ซึ่งแปลว่า "นักโหราศาสตร์" บางครั้งก็ถูกแปลผิดว่าเป็นการประณามนักคณิตศาสตร์ไปเสีย<ref name="Boas">{{cite book |last=Boas |first=Ralph P. |author-link=Ralph P. Boas Jr. |editor-last1=Alexanderson |editor-first1=Gerald L. |editor-last2=Mugler |editor-first2=Dale H. |year=1995 |chapter=What Augustine Didn't Say About Mathematicians |page=[https://archive.org/details/lionhuntingother0000boas/page/n270 257] |title=Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories |url=https://archive.org/details/lionhuntingother0000boas |publisher=[[Mathematical Association of America]] |isbn=978-0-88385-323-8 |lccn=94078313 |oclc=633018890}}</ref>

=== สมัยโบราณ ===
[[File:Plimpton 322.jpg|thumb|แผ่นดินเหนียวบรรจุข้อความทางคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนชื่อว่า ''[[Plimpton 322]]'' มีอายุถึง 1800 ปีก่อนคริสตกาล]]

นอกจากจะรู้จัก[[วิธีการนับ]]วัตถุแล้ว ผู้คนในยุค[[ก่อนประวัติศาสตร์]]อาจรู้จักวิธีการนับปริมาณนามธรรม เช่น เวลา จากการนับวัน ฤดูกาล หรือปีอีกด้วย<ref>ดูตัวอย่างเช่น {{cite book | first=Raymond L. | last=Wilder|author-link=Raymond L. Wilder|title=Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study|at=passim}}</ref><ref>{{Cite book|last=Zaslavsky|first=Claudia|author-link=Claudia Zaslavsky|title=Africa Counts: Number and Pattern in African Culture.|date=1999|publisher=Chicago Review Press|isbn=978-1-61374-115-3|oclc=843204342}}</ref> ไม่ปรากฏหลักฐานของคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่านี้จนกระทั่งประมาณ 3000 ปีก่อนคริสตกาล เมื่อชาว[[บาบิโลน]]และ[[อียิปต์โบราณ|ชาวอียิปต์โบราณ]]เริ่มใช้เลขคณิต พีชคณิต และเรขาคณิตสำหรับการจัดเก็บภาษีและการคำนวณทางการเงิน สำหรับอาคารและการก่อสร้าง และสำหรับดาราศาสตร์{{sfn|Kline|1990|loc=Chapter 1}} ตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดจาก[[เมโสโปเตเมีย]]และ[[อียิปต์โบราณ|อียิปต์]] มีอายุระหว่าง 2,000 ถึง 1,800 ปีก่อนคริสตกาล<ref>[https://www.ms.uky.edu/~dhje223/CrestOfThePeacockCh4-pages-2-21.pdf/ Mesopotamia] pg 10. Retrieved June 1, 2024</ref> ตำราแรกสุดจากยุคนั้นจำนวนมากเขียนบรรยายถึง[[Pythagorean triple|สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส]] ฉะนั้นอาจอนุมานได้ว่า[[ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]]น่าจะเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดและแพร่หลายที่สุดรองลงมาจากเลขคณิตและเรขาคณิตพื้นฐาน หลักฐานทางโบราณคดีบ่งชี้ว่า[[เลขคณิตเบื้องต้น]] อันประกอบไปด้วย[[การบวก]] [[การลบ]] [[การคูณ]] และ [[การหาร]] ปรากฏครั้งแรกในคณิตศาสตร์บาบิโลน ชาวบาบิโลนยังมีแนวคิดเรื่องค่าประจำหลัก (place-value system) และใช้[[เลขฐานหกสิบ]]ในการวัดมุมและเวลาซึ่งสืบทอดมาจนถึงทุกวันนี้{{sfn|Boyer|1991|loc="Mesopotamia" pp. 24–27}}

== เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ ==
* [[ลูกคิด]]
* [[กระดูกนาเปียร์]]
* [[ไม้บรรทัด]] และ [[วงเวียน (เครื่องเขียน)|วงเวียน]]
* [[เครื่องคิดเลข]] และ [[คอมพิวเตอร์]]
* [[ภาษาโปรแกรม]]

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

* {{cite book|last=Peterson|first=Ivars|year=1988|title=The Mathematical Tourist: Snapshots of Modern Mathematics|url=https://archive.org/details/bwb_P9-AOR-819|publisher=W. H. Freeman and Company|isbn=0-7167-1953-3|lccn=87033078|oclc=17202382}}

== ดูเพิ่ม ==
{{สถานีย่อย|คณิตศาสตร์}}
* [[เส้นเวลาของคณิตศาสตร์]]

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
{{คอมมอนส์-หมวดหมู่|Mathematics|คณิตศาสตร์}}

=== ภาษาไทย ===
* [http://kanchanapisek.or.th/kp6/sub/book/book.php?page=main&book=6 คณิตศาสตร์เบื้องต้น] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141113230057/http://kanchanapisek.or.th/kp6/sub/book/book.php?page=main&book=6 |date=2014-11-13 }} จากสารานุกรมสำหรับเยาวชน
* [http://www.school.net.th/library/f-snet2.htm แหล่งรวมความรู้ด้านคณิตศาสตร์] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081208120938/http://www.school.net.th/library/f-snet2.htm |date=2008-12-08 }} จาก[[เครือข่ายคอมพิวเตอร์เพื่อโรงเรียนไทย]]

=== ภาษาอื่น ===
* [http://eom.springer.de/ สารานุกรมคณิตศาสตร์] {{en}}
* [http://www.math-atlas.org/ The Mathematical Atlas] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20040403120115/http://www.math-atlas.org/ |date=2004-04-03 }} - แนะนำสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่
* [http://planetmath.org/ Planet Math] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050607002330/http://aux.planetmath.org/noosphere/ |date=2005-06-07 }} - สารานุกรมคณิตศาสตร์ เน้นคณิตศาสตร์สมัยใหม่
* [http://mathworld.wolfram.com/ MathWorld] - สารานุกรมคณิตศาสตร์ เน้นคณิตศาสตร์ดั้งเดิม
* [http://metamath.org/ Metamath] - อธิบาย และพิสูจน์หลักการทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ อย่างเป็นขั้นเป็นตอน
* [http://www.cut-the-knot.org/ Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles] - บทความ และเกมคณิตศาสตร์ เล่นออนไลน์ได้

=== ชุมชนไทย ===
* [http://www.mathcenter.net/ ศูนย์กลางคณิตศาสตร์ไทย] - เว็บไซต์สำหรับผู้มีใจรักคณิตศาสตร์
* [http://www.kidlek.com/ เครื่องคิดเลข] - เว็บไซต์สำหรับคำนวณเกี่ยวกับคณิตศาสตร์

{{คณิตศาสตร์}}

[[หมวดหมู่:คณิตศาสตร์| ]]