ดูต้นฉบับสำหรับ ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร

{{short description|ทฤษฎีบทในทอพอโลยีที่ตั้งเป็นข้อความคาดการณ์โดยอองรี ปวงกาเร และพิสูจน์ได้โดยกริกอรี เพเรลมาน}}
[[ไฟล์:P1S2all.jpg|thumb|300px|พื้นผิว[[ปริภูมิกระชับ|กระชับ]]สองมิติจะ[[ฟังก์ชันสมานสัณฐาน|สมานสัณฐาน]]กับทรงกลมหากทุกลูปบนพื้นผิวสามารถหดเข้าหากันอย่างต่อเนื่องจนกลายเป็นจุดได้ ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเสนอว่าข้อความข้างต้นเป็นจริงสำหรับพื้นผิวสามมิติ]]

ใน[[คณิตศาสตร์]]โดยเฉพาะอย่างยิ่งสาขา[[ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต]] '''ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร''' ({{langx|en|Poincaré conjecture}}) เป็น[[ทฤษฎีบท]]จัดจำแนกสำหรับ[[3-sphere|ทรงกลม 3 มิติ]] ซึ่งเป็น[[ไฮเปอร์สเฟียร์]]ล้อมรอบบอลหนึ่งหน่วยในปริภูมิ 4 มิติ

[[อองรี ปวงกาเร]]ตั้ง[[ข้อความคาดการณ์]]ของเขาเป็นครั้งแรกในปี 1904 ปวงกาเรสนใจปริภูมิที่เหมือน[[Euclidean space|ปริภูมิสามมิติ]]เมื่อดูใกล้ ๆ และตัวปริภูมิมีขนาดจำกัด ปวงกาเรคาดการณ์ว่าถ้าปริภูมิเช่นนั้นมีสมบัติเพิ่มเติมไปอีกว่าทุก[[Path (topology)|ลูป]]ในปริภูมิดังกล่าวสามารถรัดเข้าหากันอย่างต่อเนื่องจนกระทั่งกลายเป็นจุดได้ แล้วรูปทรงนั้นจะต้องเหมือนกับ[[3-sphere|ทรงกลม 3 มิติ]] ความพยายามพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวนำไปสู่ความก้าวหน้าในคณิตศาสตร์สาขาทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตตลอดช่วงศตวรรษที่ 20 

[[กริกอรี เพเรลมาน]] พิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้ได้สำเร็จในช่วงปี 2002 ถึง 2003 โดยเขาเสนอบทพิสูจน์ในบทความบนเว็บไซต์ [[arXiv]] <ref>{{Cite web|title=Poincaré Conjecture {{!}} Clay Mathematics Institute|url=http://www.claymath.org/millennium-problems/poincar%C3%A9-conjecture|website=www.claymath.org|access-date=2022-01-16|archive-date=2015-11-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20151117164702/http://www.claymath.org/millennium-problems/poincar%C3%A9-conjecture|url-status=dead}}</ref> บทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้อาศัยงานของ [[Richard Hamilton|ริชาร์ด แฮมิลตัน]] เป็นพื้น ซึ่งแฮมิลตันเป็นผู้ริเริ่มการใช้ [[Ricci flow]] ในการแก้ปัญหาข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร<ref>{{Cite journal|last=Hamilton|first=Richard S.|date=1982-01-01|title=Three-manifolds with positive Ricci curvature|url=https://projecteuclid.org/journals/journal-of-differential-geometry/volume-17/issue-2/Three-manifolds-with-positive-Ricci-curvature/10.4310/jdg/1214436922.full|journal=Journal of Differential Geometry|volume=17|issue=2|doi=10.4310/jdg/1214436922|issn=0022-040X}}</ref> เพเรลมานพัฒนาเทคนิกใหม่ ๆ สำหรับ Ricci flow จนสำหรับดัดแปลงงานของแฮมิลตันเพื่อพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรได้ในที่สุด นอกจากนี้เขายังพิสูจน์ [[Geometrization conjecture]] ของ[[William Thurston|วิลเลียม เทอร์สตัน]]ที่ซับซ้อนมากกว่าข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร

บทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรถือว่าเป็นหมุดหมายที่สำคัญในวิชา[[ทอพอโลยี]] แฮมิลตันได้รับ[[Shaw Prize|รางวัลชอว์]]จากผลงานของเขา ข้อความคาดการณ์นี้ยังเป็นหนึ่งใน[[ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม]] ซึ่งสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ยื่นข้อเสนอ 1 ล้านดอลล่าร์สหรัฐให้แก่ผู้ที่สามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ ข้อพิสูจน์ของเพเรลมานได้รับการตรวจสอบและยืนยันในปี ค.ศ. 2006 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์เสนอรางวัลมิลเลนเนียมให้แก่เพเรลมานเมื่อ 18 มีนาคม ค.ศ. 2010<ref name="press-release-2010-03-18">{{cite press release | publisher=[[Clay Mathematics Institute]] | date=March 18, 2010 | format=PDF | title=Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman | url=http://www.claymath.org/poincare/millenniumPrizeFull.pdf | accessdate=March 18, 2010 | quote=The Clay Mathematics Institute (CMI) announces today that Dr. Grigoriy Perelman of St. Petersburg, Russia, is the recipient of the Millennium Prize for resolution of the Poincaré conjecture. | archive-date=2010-03-31 | archive-url=https://web.archive.org/web/20100331134628/http://www.claymath.org/poincare/millenniumPrizeFull.pdf | url-status=dead }}</ref> และเขายังได้รับการเสนอ[[เหรียญรางวัลฟีลด์ส]]<ref>{{Cite news|last=Nasar|first=Sylvia|author-link=Sylvia Nasar|author2=David Gruber|date=August 28, 2006|title=Manifold destiny|pages=44–57|work=[[The New Yorker]]|title-link=Manifold destiny}} [http://www.newyorker.com/archive/2006/08/28/060828fa_fact2 On-line version at the ''New Yorker'' website].</ref><ref>{{Cite news|last=Chang|first=Kenneth|date=August 22, 2006|title=Highest Honor in Mathematics Is Refused|work=[[The New York Times]]|url=https://www.nytimes.com/2006/08/22/science/22cnd-math.html?hp&ex=1156305600&en=aa3a9d418768062c&ei=5094&partner=homepage}}</ref> แต่เขาปฏิเสธรางวัลทั้งคู่ โดยให้เหตุผลว่าผลงานของแฮมิลตันมีส่วนสำคัญพอ ๆ กับผลงานของเขาเอง<ref name="interfax2">{{cite web|date=July 1, 2010|title=Последнее "нет" доктора Перельмана''|trans-title=The last "no" Dr. Perelman|url=http://www.interfax.ru/society/txt.asp?id=143603|access-date=5 April 2016|website=[[Interfax]]|language=ru}} Google Translated archived link at [https://translate.google.com/translate?sl=ru&tl=en&js=y&prev=_t&hl=en&ie=UTF-8&u=http%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20140420191351%2Fhttp%3A%2F%2Fwww.interfax.ru%2Frussia%2F143603&edit-text=] (archived 2014-04-20)</ref><ref name="boston12">{{cite news|last=Ritter|first=Malcolm|date=1 July 2010|title=Russian mathematician rejects million prize|work=The Boston Globe|url=http://www.boston.com/news/science/articles/2010/07/01/russian_mathematician_rejects_1_million_prize/?p1=Well_MostPop_Emailed1}}</ref> ปัจจุบันข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นปัญหารางวัลมิลเลนเนียมข้อแรกและข้อเดียวที่ได้รับการไขข้อพิสูจน์ได้

== ประวัติ ==
[[ไฟล์:Torus_cycles.svg|thumb|ลูปที่มีสีทั้งสองบน[[ทอรัส (เรขาคณิต)|ทอรัส]]ไม่สามารถหดลงให้เป็นจุดได้ ฉะนั้นทอรัสจึงไม่สมานสัณฐานกับทรงกลม]]

=== คำถามดั้งเดิมของปวงการ ===
ในปี 1900 [[อ็องรี ปวงกาเร|ปวงกาเร]]อ้างว่า[[ฮอมอโลยี]] ซึ่งเขาเป็นผู้เสนอขึ้นมาเองโดยอาศัยงานของ[[Enrico Betti|เอนริโก เบ็ตตี]] นั้นเพียงพอที่จะใช้ตรวจสอบว่า [[แมนิโฟลด์]]สามมิติที่กำหนดเป็นทรงกลม 3 มิติหรือไม่ แต่ในปี 1904 ปวงกาเรค้นพบตัวอย่างค้านกับข้ออ้างของเขา โดยปัจจุบันรู้จักปริภูมิที่เป็นตัวอย่างค้านนี้ในชื่อ [[ทรงกลมฮอมอโลยีปวงกาเร]] (Poincaré homology sphere) ทรงกลมปวงกาเรเป็นตัวอย่างแรกของ[[ทรงกลมฮอมอโลยี]]ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์ที่มีฮอมอโลยีเท่ากับทรงกลม เพื่อพิสูจน์ว่าทรงกลมปวงกาเรต่างจากทรงกลมสามมิติ ปวงกาเรได้เสนอการ[[Topological invariant|ตัวยืนยงทางทอพอโลยี]]อันใหม่นั่นคือ [[Fundamental group|กรุปพื้นฐาน]] (fundamental group) และพิสูจน์ว่าทรงกลมปวงกาเรมีกรุปพื้นฐานอันดับ 120 ในขณะที่ทรงกลมสามมิติมีกรุปพื้นฐานชัดแจ้ง ปัจจุบันนักคณิตศาสตร์ค้นพบทรงกลมฮอมอโลยีอยู่จำนวนมาก

ในบทความเดียวกัน ปวงกาเรสนใจว่าแมนิโฟลด์สามมิติที่มีทั้งฮอมอโลยีและกรุปพื้นฐานเหมือนกับทรงกลมสามมิติ จำเป็นต้องเป็นทรงกลมสามมิติหรือไม่ กรุปพื้นฐานของทรงกลมสามมิติชัดแจ้งและเงื่อนไขนี้สมมูลกับข้อความที่ว่า "ทุกลูปสามารถหดให้เป็นจุดได้" ปวงกาเรไม่ได้เขียนไว้ว่าเขาเชื่อในข้อความคาดการณ์หรือไม่

รูปแบบมาตรฐานของข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรมีดังนี้
{{Quote|ทุกแมนิโฟลด์ 3 มิติซึ่งเป็น[[แมนิโฟลด์ปิด]]และเป็น[[simply connected|ปริภูมิเชื่อมโยงเชิงเดียว]]จะสมานสัณฐานกับทรงกลม 3 มิติ}}
แมนิโฟลด์''ปิด''คือแมนิโฟลด์ที่กระชับและไม่มี[[Boundary (topology)|ขอบ]] เงื่อนไขนี้จำเป็น เช่นปริภูมิยูคลิเดียนสามมิติเป็นปริภูมิเชื่อมโยงเชิงเดียว แต่ไม่กระชับ ฉะนั้นจึงไม่สมานสัณฐานกับทรงกลม

=== ความพยายามแก้ปัญหา ===
ในช่วงปี 1930  [[J. H. C. Whitehead|เจ.เอช.ซี. ไวท์เฮด]]เสนอว่าเขามีบทพิสูจน์ แต่ได้ถอนออกไปในภายหลัง แต่ในความพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ไวท์เฮดค้นพบตัวอย่างของแมนิโฟลด์เชื่อมโยงเชิงเดียว (ยิ่งไปกว่านั้นเป็นปริภูมิที่ contractible หรือก็คือสมมูลทางฮอมอโทปีกับจุด) แต่เป็นแมนิโฟลด์ไม่กะชับ และไม่สมานสัณฐานกับ <math>\R^3</math> ซึ่งในปัจจุบันเราเรียกว่า[[แมนิโฟลด์ไวท์เฮด]] (Whitehead manifold)

ในช่วงปี 1950 และ 1960 นักคณิตศาสตร์คนอื่นก็ได้พยายามพิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้เช่นกัน แต่พบว่ามีจุดผิดพลาดเสมอ ตัวอย่างนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงเช่น [[Georges de Rham|ฌอร์ฌ เดอ รัง]], [[R.H. Bing|อาร์.เอช. บิง]], [[Wolfgang Haken|ว็อล์ฟกัง ฮาเคิน]], [[Edwin E. Moise|เอดวิน อี. โมอีส]] และ [[Christos Papakyriakopoulos]] ต่างพยายามพิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้ attempted to prove the conjecture.  ในปี 1958 อาร์.เอช. บิง พิสูจน์รูปแบบที่อ่อนกว่าของข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรที่ว่า ถ้าทุกเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวของแมนิโฟลด์สามมิติกระชับถูกบบรรจุในบอลสามมิติ แล้วแมนิโฟลด์นั้นจะสมานสัณฐานกับทรงกลมสามมิติ<ref>{{cite journal|last=Bing|first=R. H.|author-link=R. H. Bing|date=1958|title=Necessary and sufficient conditions that a 3-manifold be S<sup>3</sup>|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1958-07_68_1/page/n18|journal=[[Annals of Mathematics]]|series=Second Series|volume=68|issue=1|pages=17–37|doi=10.2307/1970041|jstor=1970041}}</ref>  บิงได้อธิบายจุดผิดพลาดบางจุดขณะพยายามพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร<ref>{{cite conference|last=Bing|first=R. H.|title=Some aspects of the topology of 3-manifolds related to the Poincaré conjecture|book-title=Lectures on Modern Mathematics|volume=II|pages=93–128|publisher=Wiley|date=1964|location=New York}}</ref>

วลอดิเมียซ ยาคอปช์ (Włodzimierz Jakobsche) พิสูจน์ในปี 1978 ว่าหาก[[ข้อความคาดการณ์บิง–บอร์ซูก]]เป็นจริงในมิติ 3 แล้วข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรจะเป็นจริงด้วย<ref>{{cite journal|last1=M.|first1=Halverson, Denise|last2=Dušan|first2=Repovš|date=23 December 2008|title=The Bing–Borsuk and the Busemann conjectures|url=https://hrcak.srce.hr/30884|journal=Mathematical Communications|language=en|volume=13|issue=2|arxiv=0811.0886}}</ref>

=== มิติต่าง ๆ ===
{{Main|ข้อความคาดกาณ์ของปวงกาเรวางนัยทั่วไป}}
ทฤษฎีบท[[การจัดจำแนกพื้นผิวปิด]]ในสองมิติระบุว่าข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นจริงในสองมิติ และในมิติที่สูงกว่า 3 เราอาจถามคำถามเดียวกันนั้นได้ว่าเป็น''ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรวางนัยทั่วไป'' ซึ่งถามว่า ทรงกลมฮอมอโทปีมิติ <math display="inline">n</math> จะสมานสัณฐานกับทรงกลมมิติ ''<math display="inline">n</math>'' หรือไม่ เงื่อนไขนี้แรงกว่าเงื่อนไขในสามมิติ ทั้งนี้เพราะมีการค้นพบว่าในมิติ 4 ขึ้นไปจะมีแมนิโฟลด์ปิดและเป็นปริภูมิเชื่อมโยงเชิงเดี่ยวที่ไม่สมมูลเชิงฮอมอโทปีกับ ทรงกลมมิติ ''<math display="inline">n</math>''  

ก่อนหน้านี้เชื่อกันโดยทั่วไปว่าข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรวางนัยทั่วไปเป็นเท็จสำหรับมิติตั้งแต่สี่เป็นต้นไป ในปี 1961 [[Stephen Smale|สตีเฟน สมาล]]สร้างความตื่นตะลึงให้กับวงการคณิตศาสตร์โดยพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรวางนัยทั่วไปสำหรับมิติที่สูงกว่าสี่ทั้งหมด และใช้วิธีการเดียวกันพิสูจน์[[H-cobordism theorem|ทฤษฎีบทเอช-โคบอร์ดิสม์]] ในปี 1982 [[Michael Freedman|ไมเคิล ฟรีดแมน]]พิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรวางนัยทั่วไปสำหรับสี่มิติ งานของฟรีดแมนยังเหลือความเป็นไปได้ที่จะมีแมนิโฟลด์เรียบในสี่มิติที่สมานสัณฐานกับทรงกลมสี่มิติ แต่ไม่[[Diffeomorphism|อนุพันธสัณฐาน]]กับทรงกลมสี่มิติ คำถามนี้เรียกว่า ''[[ข้อความคาดการณ์ปวงกาเรเรียบ]]'' (smooth Poincaré conjecture) ในมิติที่สี่ยังเป็นปัญหาเปิด และเชื่อกันว่าเป็นปัญหาที่ยาก ข้อความคาดการณ์ปวงกาเรเรียบในเจ็ดมิตินั้นเป็นเท็จโดยมีตัวอย่างค้านคือ[[Exotic sphere|ทรงกลมผิดธรรมดา]] (exotic sphere) ของ[[John Milnor|จอห์น มิลนอร์]]

ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นจริงในมิติสี่ และมิติที่สูงกว่าด้วยเหตุผลที่ต่างกันอย่างยิ่ง และในสามมิติข้อความคาดการณ์นี้ต้องรอจน[[Geometrization conjecture|ข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชัน]] (geometrization conjecture) วางกรอบให้กับแมนิโฟลด์สามมิติทั้งหมด [[John Morgan (mathematician)|จอห์น มอร์แกน]]เขียนไว้ว่า:<ref>Morgan, John W., Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 42 (2005), no. 1, 57–78</ref>
{{Quote|ในมุมมองของข้าพเจ้า ก่อนงานของ[[William Thurston|เธอร์สตัน]]เกี่ยวกับ[[hyperbolic 3-manifold|แมนิโฟลด์ไฮเพอร์บอลิก]]และ... ข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชันจะปรากฎ ไม่มีมติเอกฉันท์ในหมู่ผู้เชี่ยวชาญว่าข้อความของปวงกาเรเป็นจริงหรือไม่ หลังงานของเธอร์สตันก็มีความคิดเอกฉันท์ขึ้นมาว่าข้อความของปวงกาเร (และข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชัน)เป็นจริง ถึงแม้ว่าทั้งสองไม่มีผลโดยตรงระหว่างกัน}}

=== โปรแกรมของแฮมิลตันและบทพิูสจน์ ===
[[ไฟล์:Ricci_flow.png|right|thumb|368x368px|ขั้นตอนต่าง ๆ ของ [[Ricci flow]] บนแมนิโฟลด์สองมิติ]]
โปรแกรมของแฮมิลตันเริ่มในบทความปี 1982 ของ[[Richard S. Hamilton|ริชาร์ด เอส. แฮมิลตัน]] โดยแฮมิลตันเสนอแนวคิดเรื่อง[[Ricci flow|ริคคีโฟล์ว]] (Ricci flow) บนแมนิโฟลด์ และแสดงการใช้มันพิสูจน์กรณีพิเศษของข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร<ref>{{cite journal|last=Hamilton|first=Richard|author-link=Richard S. Hamilton|date=1982|title=Three-manifolds with positive Ricci curvature|journal=Journal of Differential Geometry|volume=17|issue=2|pages=255–306|doi=10.4310/jdg/1214436922|mr=0664497|zbl=0504.53034|doi-access=free}} Reprinted in: {{cite book|title=Collected Papers on Ricci Flow|publisher=International Press|year=2003|isbn=1-57146-110-8|editor-last1=Cao|editor-first1=H. D.|editor1-link=Huai-Dong Cao|series=Series in Geometry and Topology|volume=37|place=Somerville, MA|pages=119–162|editor-last2=Chow|editor-first2=B.|editor-last3=Chu|editor-first3=S. C.|editor-last4=Yau|editor-first4=S.-T.|editor4-link=Shing-Tung Yau}}</ref> หลายปีต่อมา แฮมิลตันพัฒนางานของเขาแต่ยังไม่สามารถพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ได้ จนกระทั่ง[[Grigori Perelman|กริกอรี เพเรลมาน]]ตีพิมพ์บทความของเขา

ในช่วงปลายปี 2002 และ 2003 เพเรลมานเผยแพร่บทความสามบทความบน [[arXiv]]<ref>{{cite arXiv |eprint=math.DG/0211159 |first=Grigori |last=Perelman |author-link=Grigori Perelman |title=The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications |date=2002}}</ref><ref>{{cite arXiv |eprint=math.DG/0303109 |first=Grigori |last=Perelman |title=Ricci flow with surgery on three-manifolds |date=2003}}</ref><ref>{{cite arXiv |eprint=math.DG/0307245 |first=Grigori |last=Perelman |title=Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds |date=2003}}</ref>  ในสามบทความนี้ เพเรลมานร่างบทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร และข้อความคาดการณ์ที่ทั่วไปกว่าคือ[[Geometrization conjecture|ข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชัน]] เป็นการเพิ่มเติมโปรแกรมของแฮมิลตัน

ในช่วงเดือนพฤษภาคมถึงกรกฎาคมปี 2006 มีกลุ่มวิจัยจำนวนมากเสนอบทความที่เติมรายละเอียดในบทพิสูจน์ของเพเรลมาน อันได้แก่

* [[Bruce Kleiner]] และ [[John Lott (mathematician)|John W. Lott]] เสนอบทความ arXiv ในเดือนพฤษภาคมปี 2006 โดยเติมรายละเอียดในบทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชันของเพเรลมาน<ref>{{cite journal|last=Kleiner|first=Bruce|author-link=Bruce Kleiner|author2=John W. Lott|year=2008|title=Notes on Perelman's Papers|journal=Geometry and Topology|volume=12|issue=5|pages=2587–2855|arxiv=math.DG/0605667|doi=10.2140/gt.2008.12.2587|s2cid=119133773}}</ref> ต้นฉบับนี้ถูกเผยแพร่ในวารสาร "Geometry and Topology" ในปี 2008 มีการแก้ไขข้อผิดพลาดบางส่วนในปี 2011 และ 2013
* [[Huai-Dong Cao]] และ [[Xi-Ping Zhu]] ตีพิมพ์บทความในวารสาร ''[[Asian Journal of Mathematics]]'' ฉบับประจำเดือนมิถุนายน 2006 โดยเขียนระบุบทพิสูจน์ที่สมบูรณ์ของข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรและข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชัน<ref>{{cite journal|last=Cao|first=Huai-Dong|author-link=Huai-Dong Cao|author2=Xi-Ping Zhu|author2-link=Xi-Ping Zhu|date=June 2006|title=A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures&nbsp;– application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow|url=http://www.intlpress.com/AJM/p/2006/10_2/AJM-10-2-165-492.pdf|url-status=dead|journal=Asian Journal of Mathematics|volume=10|issue=2|archive-url=https://web.archive.org/web/20120514194949/http://www.intlpress.com/AJM/p/2006/10_2/AJM-10-2-165-492.pdf|archive-date=2012-05-14}}</ref> ในฉบับแรก ๆ ของบทความพวกเขาถูกวิจารณ์ว่าถือเอาผลงานของเพเรลมาน จนได้แก้ไขข้อความใหม่ในภายหลัง<ref>{{cite arXiv |eprint=math.DG/0612069 |author=Cao, Huai-Dong |author2=Zhu, Xi-Ping |title=Hamilton–Perelman's Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture |date=December 3, 2006 |name-list-style=amp}}</ref> นอกจากนี้ หน้าหนึ่งในบทความนั้นเหมือนกันกับหน้าหนึ่งของบทความฉบับร่างของ Kleiner และ Lott ที่ได้เผยแพร่สาธารณะไปก่อนหน้านี้

* [[John Morgan (mathematician)|John Morgan]] และ [[Gang Tian]] อัปโหลดบทความบน arXiv ในเดือนกรกฎาคมปี 2006 โดยให้บทพิสูจน์ละเอียดของข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร (ซึ่งง่ายกว่าข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชัน)<ref>{{Cite arXiv |eprint=math.DG/0607607 |first=John |last=Morgan |author2=Gang Tian |author-link=John Morgan (mathematician) |author2-link=Gang Tian |title=Ricci Flow and the Poincaré Conjecture |date=2006}}</ref> และในภายหลังเขียนออกเป็นหนังสือ<ref>{{Cite book|last=Morgan|first=John|title=Ricci Flow and the Poincaré Conjecture|author2=Gang Tian|date=2007|publisher=Clay Mathematics Institute|isbn=978-0-8218-4328-4|author-link=John Morgan (mathematician)|author2-link=Gang Tian}}</ref><ref>{{cite arXiv |eprint=1512.00699 |class=math.DG |first1=John |last1=Morgan |first2=Gang |last2=Tian |title=Correction to Section 19.2 of Ricci Flow and the Poincare Conjecture |date=2015}}</ref>

ทั้งสามกลุ่มวิจัยพบช่องว่างในงานของเพเรลมานนั้นเล็กน้อย และอาจแก้ได้โดยวิธีการของเขาเอง

ในวันที่ 22 สิงหาคม ปี 2006 [[International congress of mathematicians|สภานานาชาตินักคณิตศาสตร์]] (ICM) ให้รางวัล[[เหรียญฟีลดส์]]แก่เพเรลมาน แต่เขาปฏิเสธ<ref>{{Cite magazine|first=Sylvia|last=Nasar|author-link=Sylvia Nasar|author2=David Gruber|title=Manifold destiny|magazine=[[The New Yorker]]|pages=44–57|date=August 28, 2006|title-link=Manifold destiny}} [http://www.newyorker.com/archive/2006/08/28/060828fa_fact2 On-line version at the ''New Yorker'' website].</ref><ref>{{Cite news|last=Chang|first=Kenneth|date=August 22, 2006|title=Highest Honor in Mathematics Is Refused|work=[[The New York Times]]|url=https://www.nytimes.com/2006/08/22/science/22cnd-math.html?hp&ex=1156305600&en=aa3a9d418768062c&ei=5094&partner=homepage}}</ref> จอห์น มอร์แกนกล่าวในงาน ICM ในวันที่ 24 สิงหาคม 2006 และประกาศว่า "ในปี 2003 เพเรลมานได้แก้ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นผลสำเร็จ"<ref>A Report on the Poincaré Conjecture. Special lecture by John Morgan.</ref>

ในเดือนธันวาคมปี 2006 วารสาร ''[[Science (journal)|Science]]'' ยกย่องบทพิสูจน์ของข้อความคาดการณ์ปวงกาเรว่าเป็น''การค้นพบที่ยิ่งใหญ่แห่งปี'' ([[Breakthrough of the Year]]) และนำขึ้นปกวารสาร<ref name="science" />

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
* [http://www.claymath.org/prizeproblems/poincare.htm The Poincaré conjecture described] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20030605160347/http://www.claymath.org/prizeproblems/poincare.htm |date=2003-06-05 }} by the Clay Mathematics Institute.
* [http://www.youtube.com/watch?v=AUoaTrQTM5o The Poincaré Conjecture (video)] Brief visual overview of the Poincaré Conjecture, background and solution.
* [http://athome.harvard.edu/threemanifolds/ The Geometry of 3-Manifolds (video)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100127081050/http://athome.harvard.edu/threemanifolds/ |date=2010-01-27 }} A public lecture on the Poincaré and geometrization conjectures, given by C. McMullen at Harvard in 2006.
* Bruce Kleiner (Yale) and John W. Lott (University of Michigan) : [http://www.math.lsa.umich.edu/~lott/ricciflow/perelman.html "Notes & commentary on Perelman's Ricci flow papers"].
* Stephen Ornes, [http://www.seedmagazine.com/news/2006/08/what_is_the_poincar_conjecture.php What is The Poincaré Conjecture?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081204092709/http://www.seedmagazine.com/news/2006/08/what_is_the_poincar_conjecture.php |date=2008-12-04 }}, ''Seed Magazine'', 25 August 2006.
* The [http://www.mcm.ac.cn/Active/yau_new.pdf slides] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081030092519/http://www.mcm.ac.cn/Active/yau_new.pdf |date=2008-10-30 }} used by Yau in a popular talk on the Poincaré conjecture.
* [http://www.bbc.co.uk/radio4/history/inourtime/inourtime_20061102.shtml "The Poincaré Conjecture"] - [[BBC Radio 4]] programme ''[[In Our Time (BBC Radio 4)|In Our Time]]'', 2 November 2006. Contributors June Barrow-Green, Lecturer in the History of Mathematics at the [[Open University]], [[Ian Stewart (mathematician)|Ian Stewart]], Professor of Mathematics at the [[University of Warwick]], [[Marcus du Sautoy]], Professor of Mathematics at the [[University of Oxford]], and presenter [[Melvyn Bragg]].
* [http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=6682439 "Solving an Old Math Problem Nets Award, Trouble"] - NPR segment, December 26, 2006.
* {{cite news | last = Nasar | first = Sylvia | coauthors = and Gruber, David | title = Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it. | work = [[The New Yorker]] | date = 21 August 2006 | url = http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2 | accessdate = 2006-08-24 }}

[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม]]
[[หมวดหมู่:อ็องรี ปวงกาเร]]