ดูต้นฉบับสำหรับ การแปลง Z ขั้นสูง

{{เพิ่มอ้างอิง}}
{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}

'''การแปลง Z ขั้นสูง''' ({{langx|en|advanced Z-transform หรือ modified Z-transform}}) เป็นการแปลง Z ที่ได้ผนวกผลของการหน่วง (delay) ที่ไม่ได้เป็น[[พหุคูณ]]ของอัตราการชักตัวอย่าง (sampling rate) บนโดเมนเวลาของสัญญาณ การแปลง Z ขั้นสูงถูกประยุกต์ใช้กันอย่างมากใน[[การประมวลผลสัญญาณ]] (signal processing) และการควบคุมดิจิทัล (digital control) ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบจำลองการประมวลผลสัญญาณที่รวมผลของการหน่วงเชิงเวลาแบบแม่นยำ เป็นต้น

การแปลง Z ขั้นสูง ถูกเสนอโดย จูรี่ ([[:en:Eliahu Ibraham Jury|Eliahu Ibraham Jury]])<ref>
{{cite book
 | title = Sampled-Data Control Systems
 | url = https://archive.org/details/sampleddatacontr00jury
 | author = Eliahu Ibrahim Jury
 | publisher = John Wiley & Sons
 | year = 1958
 }}</ref><ref>
{{cite book
 | title = Theory and Application of the Z-Transform Method
 | author = Eliahu Ibrahim Jury
 | publisher = Krieger Pub Co
 | year = 1973
 | isbn = 0-88275-122-0
 }}</ref> นัก[[ทฤษฎีระบบควบคุม]]ผู้ได้รับรางวัล [[:en:Richard E. Bellman Control Heritage Award|Richard E. Bellman Control Heritage Award]] ประจำปี ค.ศ. 1993

== นิยาม ==
การแปลง Z ขั้นสูง มีนิยามดังต่อไปนี้
: <math>F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}</math>

โดยที่
* ''T'' คาบของการชักตัวอย่าง (sampling period)
* ''m'' พารามิเตอร์การหน่วง (delay parameter) โดยที่ <math>m \in [0, T)</math>

== คุณสมบัติ ==

=== ภาวะเชิงเส้น ===
: <math>\mathcal{Z} \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right\} = \sum_{k=1}^{n} c_k F(z, m)</math>

=== การเลือนเชิงเวลา ===
: <math>\mathcal{Z} \left\{ u(t - n T)f(t - n T) \right\} = z^{-n} F(z, m)</math>

=== การหน่วง ===
: <math>\mathcal{Z} \left\{ f(t) e^{-a\, t} \right\} = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m)</math>

=== การคูณเชิงเวลา ===
: <math>\mathcal{Z} \left\{ t^y f(t) \right\} = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m)</math>

=== ทฤษฎีค่าสุดท้าย ===
: <math>\lim_{k = \infty} f(k T + m) = \lim_{z = 1} (1-z^{-1})F(z, m)</math>

<small>หมายเหตุ: ในกรณีที่ พารามิเตอร์การหน่วง ''m'' เป็นคงคงที่ ในกรณีนี้คุณสมบัติของการแปลง Z แบบปรกติกับการแปลง Z ขั้นสูงจะเหมือนกันทั้งหมด</small>

== ตารางการแปลง Z ขั้นสูงของฟังก์ชันต่าง ๆ ==
{| style="border: 1px black solid; border-collapse: collapse; text-align: center;" rules=all cellspacing=0 cellpadding=3
|- style="background-color: #efefef;"
! f(t) !! F(z,m)
|-
| [[ฟังก์ชันขั้นเฮวิไซด์|'''1'''(t)]] || <math>\frac{z}{z-1}</math>
|-
| t || <math>\frac{mT}{z-1} + \frac{T}{(z-1)^2}</math>
|-
| e<sup>-at</sup> || <math>\frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }</math>
|-
| 1 - e<sup>-at</sup> || <math>\frac{1}{z-1} + \frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }</math>
|-
| sin &omega;t || <math>\frac{z \sin {(m \omega T)} + \sin {[(1-m) \omega T]}}{z^2 - 2z \cos {\omega T} + 1 }</math>
|}

== ตัวอย่าง ==
ในที่นี้เรากำหนดให้ <math>f(t) = \cos(\omega t)</math>

: <math>\begin{align}
F(z, m) =& \mathcal{Z} \left\{ \cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right\} \\
        =& \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right\} \\
        =& \cos(\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \right\} - \sin (\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \sin (\omega k T) \right\} \\
        =& \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} \\
        =& \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}
\end{align}</math>

ถ้า <math>m=0</math> แล้ว <math>F(z, m)</math> จะลดรูปกลายเป็นการแปลง Z แบบปรกติ

: <math>F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}</math>

ซึ่งก็ตรงกับผลการแปลงการแปลง Z แบบปรกติของ <math>f(t)</math> นั้นเอง

== เพิ่มเติม ==
* [[:en:Z-transform|Z-transform]]

== บรรณานุกรม ==
* [[:en:Eliahu Ibraham Jury|Eliahu Ibraham Jury]], ''Theory and Application of the Z-Transform Method'', Krieger Pub Co, 1973. ISBN 0-88275-122-0.
== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

[[หมวดหมู่:การแปลง]]