ดูต้นฉบับสำหรับ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

{{กลศาสตร์ดั้งเดิม}}
ในวิชา[[กลศาสตร์]]และ[[ฟิสิกส์]] '''การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย''' ({{langx|en|simple harmonic motion}} : SHM) หมายถึง การเคลื่อนที่โดยที่วัตถุจะเคลื่อนที่ตามเส้นทางเดิมกลับมาเริ่มต้นที่เดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก ผ่านจุดสมดุล เป็น[[การเคลื่อนที่ (ฟิสิกส์)|การเคลื่อนที่]][[ฟังก์ชันเป็นคาบ|เป็นคาบ]]ประเภทหนึ่ง โดยที่แรงดึงกลับจะแปรผันตรงกับ[[การกระจัด]] และมีทิศทางตรงข้ามกับการกระจัด

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็น[[แบบจำลองทางคณิตศาสตร์]]สำหรับการเคลื่อนที่หลายอย่าง เช่น การสั่นของสปริง นอกจากนี้ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายยังประมาณปรากฏการณ์อื่นได้ ซึ่งรวมการเคลื่อนที่ของ[[ลูกตุ้ม]]อย่างง่าย ตลอดจน[[การสั่นของโมเลกุล]] การเคลื่อนที่ของมวลบนสปริงเมื่ออยู่ภายใต้แรงดึงกลับยืดหยุ่นเชิงเส้นตาม[[กฎของฮุก]]เป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การเคลื่อนที่นี้มี[[การสั่นพ้อง|ความถี่พ้องเดียว]] ในการเกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย แรงลัพธ์ของวัตถุที่ปลายลูกตุ้มต้องเท่ากับการกระจัด

== ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ==
# [[แอมพลิจูด]] (Amplitude) คือ การกระจัดสูงสุดของการเคลื่อนที่วัดจากจุดสมดุลไปยังจุดปลาย หรือบางครั้งเรียกว่า ช่วงกว้างของคลื่น
# [[คาบ]] (Period) คือ ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ นับจากจุดปลายด้านหนึ่งไปยังจุดปลายอีกด้านหนึ่ง แล้วเคลื่อนที่กลับมายังจุดปลายเดิม โดยมีหน่วยเป็น วินาที / รอบ หรือ วินาที
# [[ความถี่]] (Frequency) คือ จำนวนรอบบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น รอบ / วินาที หรือ [[เฮิรตซ์]] (Hz)
# [[การกระจัด (เวกเตอร์)|การกระจัด]] (Displacement) คือ ระยะทางการกระจัดที่วัตถุเคลื่อนที่โดยนับจากจุดสมดุล
# [[ความถี่เชิงมุม]] (Angular frequency) คือ การกระจัดเชิงมุมที่เปลี่ยนแปลงไปในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น [[เรเดียน]] / วินาที หรือ rad/s

==พลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย==
ในกลศาสตร์นิวตัน สมการการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายอยู่ในรูปของ[[สมการเชิงอนุพันธ์|สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น]]อันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว ซึงหาได้จาก[[กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน|กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน]]และ[[กฎของฮุก]]สำหรับมวลติดสปริง

:<math> F_\mathrm{net} = m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx</math>
เมื่อ {{math|''m''}} คือ มวลของวัตถุที่มีการสั่น {{math|''x''}} คือ [[การกระจัด]]จากตำแหน่งสมดุล และ {{math|''k''}} คือ ค่าคงตัวหรือ[[ค่านิจของสปริง]] (สำหรับมวลติดสปริง)

ดังนั้น

:<math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m}x</math>

ผลเฉลยของ[[สมการเชิงอนุพันธ์|สมการอนุพันธ์]]นี้จะอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์ ([[sinusoidal function]])

:<math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right)</math>
สามารถเขียนให้อยู่ในรูป

:<math> x(t) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right)</math>
เมื่อ

:<math> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2}, \qquad \tan \varphi = \frac{c_2}{c_1} </math>
:
จากผลเฉลยข้างต้น {{math|''c''<sub>1</sub>}} และ {{math|''c''<sub>2</sub>}} คือ ค่าคงตัวซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น และกำหนดให้จุดกำเนิดอยู่ที่ตำแหน่งสมดุล {{math|''A''}} คือ [[แอมพลิจูด]] {{math|''ω'' {{=}} 2π''f''}} คือ [[ความถี่เชิงมุม]] และ {{math|''φ''}} คือ [[เฟส (ฟิสิกส์)|เฟสเริ่มต้น]]

[[ความเร็ว]]และ[[ความเร่ง]]ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีค่าเท่ากับ

:<math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi)</math>

ความเร็ว:

:<math>{\omega}\sqrt {A^2-x^2}</math>

ความเร็วสูงสุด: {{math|1=''v=ωA''}} (ที่จุดสมดุล)

:<math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi)</math>
ความเร่งสูงสุด: {{math|''Aω''<sup>2</sup>}} (ที่จุดปลาย)

จากนิยาม[[ความเร่ง]]และ[[การกระจัด]] ถ้ามวล {{math|''m''}} เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย [[ความเร่ง]]ของมวลนั้นจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับ[[การกระจัด]]

:<math> a(x) = -\omega^2 x</math>
เมื่อ

:<math> \omega^2=\frac{k}{m}</math>

เนื่องจาก {{math|''ω'' {{=}} 2π''f''}}

:<math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}</math>

และเนื่องจาก {{math|''T'' {{=}} {{sfrac|1|''f''}}}} เมื่อ {{math|''T''}} คือ คาบ จะได้ว่า

:<math>T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math>

สมการเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกไม่ขึ้นอยู่กับ[[แอมพลิจูด]]และ[[เฟส (ฟิสิกส์)|เฟสเริ่มต้น]]ของการเคลื่อนที่

==พลังงาน==
แทนค่า {{math|''ω''<sup>2</sup>}} ด้วย {{math|''{{sfrac|k|m}}''}} [[พลังงานจลน์]] {{math|''K''}} ของระบบที่เวลา {{math|''t''}} มีค่าเท่ากับ

:<math> K(t) = \tfrac12 mv^2(t) = \tfrac12 m\omega^2A^2\sin^2(\omega t - \varphi) = \tfrac12 kA^2 \sin^2(\omega t - \varphi)</math>
และ[[พลังงานศักย์]]ของระบบมีค่าเท่ากับ

:<math>U(t) = \tfrac12 k x^2(t) = \tfrac12 k A^2 \cos^2(\omega t - \varphi)</math>
เมื่อไม่มี[[แรงเสียดทาน]]และไม่มีการสูญเสียพลังงาน ผลรวมของ[[พลังงานกล]] (mechanical energy) จะมีค่าคงตัว

:<math>E = K + U = \tfrac12 k A^2</math>

== ตัวอย่าง ==
[[ไฟล์:Animated-mass-spring.gif|right|frame|ระบบสปริง–มวลที่ไม่หน่วงมีการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย]]
ระบบทางฟิสิกส์ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

=== มวลติดสปริง ===
มวล {{math|''m''}} ก้อนหนึ่งติดอยู่กับสปริงที่มีค่าคงที่ของสปริง {{math|''k''}} อธิบายการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายใน[[closed space|ปริภูมิปิด]] สามารถอธิบายได้ด้วยสมการ

:<math> T= 2 \pi\sqrt\frac{m}{k}</math>
สมการข้างบนนี้แสดงให้เห็นว่า[[คาบ]]ของการแกว่ง {{math|''T''}} ไม่ขึ้นอยู่กับ[[แอมพลิจูด]]และ[[ความโน้มถ่วง|ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง]] สมการข้างบนนี้ยังคงใช้ได้เมื่อมี[[แรง]]คงที่กระทำต่อมวล กล่าวคือ แรงคงที่ที่เพิ่มขึ้นไม่ได้ทำให้คาบของการแกว่งเปลี่ยนไป

== อ้างอิง ==
<references />
*{{Cite book| author=Walker, Jearl | title=Principles of Physics |edition=9th | publisher=Hoboken, N.J. : Wiley | year=2011 | isbn=0-470-56158-0}}
*{{Cite book|author1=Thornton, Stephen T. |author2=Marion, Jerry B. | title=Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.) | publisher=Brooks Cole | year=2003 | isbn=0-534-40896-6}}
*{{Cite book| author=John R Taylor | title=Classical Mechanics | url=https://archive.org/details/classicalmechani0000tayl | publisher=University Science Books | year=2005 | isbn=1-891389-22-X}}
*{{Cite book|author1=Grant R. Fowles |author2=George L. Cassiday | title=Analytical Mechanics (7th ed.) | publisher=Thomson Brooks/Cole | year=2005 | isbn=0-534-49492-7}}

[[หมวดหมู่:กลศาสตร์ดั้งเดิม]]
[[หมวดหมู่:ลูกตุ้ม]]