ดูต้นฉบับสำหรับ การหาค่าเหมาะที่สุดแบบเฟ้นสุ่ม

'''การหาค่าเหมาะที่สุดแบบเฟ้นสุ่ม''' ({{langx|en|Stochastic Optimization}}) เป็นวิธีการหาค่าเหมาะที่สุดโดยการสร้างและใช้[[ตัวแปรสุ่ม]] สำหรับปัญหาในกลุ่มนี้ จะใช้ตัวแปรสุ่มในขั้นตอนการคำนวณหาค่าเหมาะที่สุดสำหรับปัญหานั้น ๆ

การแก้ปัญหาโดยวิธิการเฟ้นสุ่มนั้นได้ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในหลายวงการ เช่น ทางด้าน[[อากาศยาน]] ทาง[[การแพทย์]] [[การขนส่ง]] และทางด้านการเงิน เป็นต้น เพื่อใช้ช่วยในการออกแบบจรวจมิสไซล์และอากาศยาน การคำนวณกำหนดประสิทธิภาพของยาตัวใหม่ ช่วยในการพัฒนาประสิทธิภาพของการควบคุมสัญญาณจราจร หรือแม้กระทั่งใช้เป็นเครื่องมือในการช่วยตัดสินใจเพื่อผลประโยชน์สูงสุดในการลงทุน โดยวิธีการแบบเฟ้นสุ่มนี้เป็นขั้นตอนวิธีที่จะช่วยให้สามารถตัดสินใจเลือกหนทางที่เหมาะที่สุดในการลดทอนปัญหาต่าง ๆ ในโลกความเป็นจริงลง

== การหาค่าที่เหมาะสมที่สุดภายใต้ความไม่แน่นอน ==
เพื่ออธิบายปัญหาบางอย่างที่เกี่ยวข้องในการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดภายใต้ความไม่แน่นอน เราจะใช้การอธิบายผ่านการยกตัวอย่างปัญหา สมมติว่าเราต้องการหาค่าที่มากที่สุดของ G (x, ω) โดยที่ขอนิยามค่าต่าง ๆ ดังนี้
* x หมายถึง การตัดสินใจที่จะทำ
* X หมายถึง จำนวนชุดของการตัดสินใจที่เป็นไปได้ทั้งหมด
* ω หมายถึง ผลลัพธ์ที่ไม่สามารถรู้ได้ระหว่างการตัดสินใจ และ
* Ω หมายถึง ชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
จากปัญหาดังกล่าว มีการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดภายใต้ความไม่แน่นอนอยู่หลายวิธี ซึ่งบางส่วนจะแสดงในตัวอย่างต่อไป

== ตัวอย่างปัญหา ==
'''ตัวอย่างปัญหา Newsvendor''' หลายบริษัทขายสินค้าตามฤดูกาล เช่น บทความแฟชั่น ที่นั่งของสายการบิน ของประดับตกแต่งวันคริสต์มาส นิตยสารและหนังสือพิมพ์ ผลิตภัณฑ์เหล่านี้มีลักษณะการขายที่ค่อนข้างสั้น หลังจากหมดฤดูกาล มูลค่าของผลิตภัณฑ์ก็จะลดลงอย่างมากมาย บ่อยครั้งที่มีการตัดสินใจผลิต หรือซื้อผลิตภัณฑ์ ก่อนที่ฤดูกาลขายจะเริ่มต้น เพราะเมื่อฤดูกาลขายเริ่มต้นแล้ว จะไม่มีเวลามานั่งเปลี่ยนแปลงหรือดำเนินการการตัดสินใจนั้น เนื่องจากจะทำให้ปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่จะได้รับไม่ตรงตามเป้าหมาย แต่ในระหว่างฤดูกาล ผู้ที่ตัดสินใจสามารถตัดสินใจแบบอื่น ๆ ที่ทำให้เกิดผลดีมากขึ้นได้ เช่น ปรับเปลี่ยนราคาและยอดขายของผลิตภัณฑ์ที่มีช่วงฤดูกาลยาว พฤติกรรมดังกล่าว เป็นที่คุ้นเคยในหลาย ๆ อุตสาหกรรม ซึ่งสถานการณ์ดังกล่าวก็คือการตัดสินใจทำก่อนสินค้าติดตลาด ดังนั้นการตัดสินใจต้องทำโดยไม่ทราบถึงผลที่จะเกิดขึ้น

สมมติว่า ผู้จัดการมีการตัดสินใจผลิตสินค้าตามฤดูกาล ตามการสั่งซื้อสินค้า ดังนั้น การตัดสินใจตัวแปร x คือตัวเลขค่าลบแทนปริมาณการสั่งซื้อ ค่าใช้จ่ายสำหรับผลิตภัณฑ์ของบริษัท c คือต้นทุนต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์ ให้ R คือราคาต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์ที่สามารถขายในฤดูกาล (รายได้) หลังจากฤดูกาลขาย ผลิตภัณฑ์ที่เหลือสามารถจำหน่ายในราคาค่าซาก คือ s และโดยปกติ s < R ให้ D คือความต้องการใช้ผลิตภัณฑ์ที่ตามการสั่งซื้อ ถ้าค่า D หรือค่าความต้องการสูงกว่าปริมาณการสั่งซื้อ x แล้ว ผลิตภัณฑ์จะถูกขายหมดและไม่มีหลงเหลืออยู่เมื่อหมดฤดูกาล เมื่อรวมรายได้แล้ว จะได้กำไรเท่ากับ <math> RX</math> และ <math>RX - CX = (r - C) x </math> ตามลำดับ ถ้า D หรือค่าความต้องการน้อยกว่าปริมาณการสั่งซื้อ x แล้ว ปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่มีเหลือเมื่อหมดฤดูกาลคือ x – D ดังนั้น เมื่อรวมรายได้แล้ว จะได้กำไรคือ
<math>RD + S (x -- D)</math> และ <math>RD + S (x -- D) -- CX = (s -- c) x + (R -- S) D</math> ตามลำดับ
ดังนั้นจะได้กำไร

ผู้จัดการต้องการตัดสินใจ x เพื่อเพิ่มกำไร G (x, D) แต่ไม่รู้ว่า D เป็นอย่างไร หรืออาจบอกได้ว่าไม่แน่นอนในตอนนี้

สังเกตว่า ถ้า r ≤ c และ s ≤ c แล้ว บริษัทจะไม่ได้กำไรจากการซื้อและขายผลิตภัณฑ์ กำหนดปริมาณการสั่งซื้อที่ดีที่สุดคือ x* = 0 โดยไม่คำนึงถึง D นอกจากนี้ถ้า s ≥ c แล้ว ผลิตภัณฑ์ที่ยังไม่ได้ขายเมื่อหมดฤดูกาล สามารถขายในราคาอย่างน้อยเท่ากับต้นทุนของผลิตภัณฑ์ เพื่อที่จะได้ปริมาณการสั่งซื้อที่เหมาะสมที่สุดโดยไม่คำนึงถึง D นี่เป็นตัวอย่างที่ถูกต้องและชัดเจน ดังนั้นเราจึงสมมติได้ว่าส่วนที่เหลือคือ s < c < r. ภายใต้สมมติฐานนี้ กำหนดให้ D ≥ 0 ฟังก์ชัน G(•,D) เป็นตัวแบบเชิงเส้นเป็นช่วง มีความชันเป็นบวก r - c สำหรับ x < D และความชันเป็นลบ s - c สำหรับ x > D ดังนั้นถ้าทราบความต้องการของ D จะได้การตัดสินใจที่ดีที่สุดในการเลือกปริมาณการสั่งซื้อ x * = D
อย่างไรก็ตาม ถ้าไม่รู้ D แล้ว จะทำให้ปัญหายากขึ้น บางครั้งผู้จัดการอาจต้องการป้องกันผลที่เลวร้ายที่สุด สมมติว่าผู้จัดการคิดว่า D จะอยู่ในช่วง [a, b] โดย a < b นั่นคือ ขอบเขตบนและล่างสำหรับความต้องการที่ผู้จัดการรู้ ในกรณีเพื่อป้องกันสถานการณ์ที่เลวร้ายที่สุด ผู้จัดการอาจกำหนดค่า x ที่ให้ผลกำไรที่ดีที่สุดภายใต้ผลที่เลวร้ายที่สุด นั่นคือค่ามากสุดของซึ่งนำไปสู่ปัญหา max – min ดังนี้

มันไม่ยากที่จะมองว่า g (x) = G (x, a) และด้วยเหตุนี้ x* = a เป็นค่าที่เหมาะสมที่สุดจากกรณีสถานการณ์ที่เลวร้ายที่สุด เป็นที่ชัดเจนว่า ในหลายกรณีจะมีการตัดสินใจที่ยึดติดแบบเดิม ๆ เกินไป
บางครั้งผู้จัดการอาจยังต้องการเสี่ยงตัดสินใจภายใต้ความเป็นไปได้ที่เลวร้ายที่สุด โดยคิดว่าจะให้ผลลัพธ์ที่ดี และเป็นการตัดสินใจที่ดีที่สุดที่สามารถเป็นไปได้ สำหรับทุก ๆ ผลลัพธ์ของ D ใด ๆ กำหนดให้  แสดงผลกำไรที่ดีที่สุด และถูกเรียกว่าค่าข้อมูลที่เหมาะสมที่สุดด้วย การตัดสินใจที่เหมาะสมกับข้อมูลที่สมบูรณ์แบบ x* = D บางครั้งถูกเรียกว่า รอและดูวิธีการแก้ปัญหา สมมติว่าผู้จัดการฝ่าย เลือกที่จะสั่งซื้อ x เพื่อให้กำไรเป็น G (x, D) จำนวนของกำไรที่บริษัทจะไม่ได้ เพราะตัดสินใจผิดพลาดคือ <math>g* (D) - G (x, D)</math> ผู้จัดการอาจกำหนดค่าของ x ที่ช่วยลดส่วนของกำไรที่เสียไป สำหรับ x ใด ๆ เนื่องจากผู้จัดการฝ่ายต้องการที่จะกำหนดค่าของ x ที่ช่วยลดส่วนของกำไรที่เสียไป จึงนำไปสู่ปัญหา min - max ต่อไปนี้

ค่าที่เหมาะสมที่สุดของปัญหานี้คือ <math> x* = [(c - s) a + (r - c) b] / (r - s)</math> กำหนดให้ x* เป็นการรวมของ a และ b และทำให้ a < x* < b ค่าซากที่มากที่สุดที่สูญเสียไปต่อหน่วย c – s ค่าขอบเขตล่างของ x* คือ a และกำไรที่มากที่สุดต่อหน่วย r - c ค่าขอบเขตบนของ x* คือ b ดูเหมือนว่าการตัดสินใจที่เหมาะสมที่สุดจะเป็น x* = a

สิ่งที่แย่ที่สุดของตัวแปรทั้งสองคือ ไม่มีข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับความต้องการ D ยกเว้นขอบเขตบนและล่าง ในบางสถานการณ์ เหตุการณ์นี้อาจจะเป็นกรณีที่แย่ที่สุด ที่ต้องกำหนดขนาดความต้องการที่ไม่รู้ โดยต้องไม่ให้ '''มีขนาดใหญ่เกินไป'''

อีกวิธีหนึ่งในการตัดสินใจภายใต้ความไม่แน่นอน ซึ่งแตกต่างจากวิธีกรณีที่แย่ที่สุดที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น เป็นวิธีการหาค่าที่เหมาะสมโดยการสุ่ม ซึ่งเราจะระบุในส่วนที่เหลือของบทความนี้ สมมติว่าความต้องการ D ถูกมองว่าเป็นตัวแปรสุ่ม นั่นหมายความว่าเราจะรู้การแจกแจงความน่าจะเป็นของ D หรืออย่างน้อยสามารถประมาณโดยใช้ข้อมูลเก่า ๆ และ / หรือข้อมูลที่เคยปรากฏมาก่อนหน้านี้ F(w) ≡ ℙ(D ≤ w) จากผู้จัดการ ให้ เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของ D จากนั้นสามารถหาค่าที่เหมาะสมจากฟังก์ชันค่าเฉลี่ย นั่นคือ ค่าคาดหวังของกำไรที่มากที่สุด <math> \operatorname{E}[G(x,D)] = \int_{0}^{\infty} G(x,w )\,\operatorname {d}F(w) </math> ซึ่งนำไปสู่โปรแกรมการสุ่ม

การแก้ปัญหาค่าที่เหมาะสมไม่ใช่เรื่องยากในปัจจุบัน กำหนดให้ D ≥ 0 ฟังก์ชัน G(•,D) มีลักษณะเว้า (ตัวแบบเชิงเส้นเป็นช่วง) ดังนั้น มูลค่าที่คาดหวัง g (.) ก็ต้องเว้าด้วย สมมติว่าในขณะที่ F (.) ต่อเนื่องที่จุด x > 0 นั่นคือ เมื่อใช้การอินทิเกรดแยกส่วนจะคำนวณได้ว่า

ฟังก์ชัน g (.) ลักษณะกราฟเว้าอย่างต่อเนื่อง จากสมการ (5) ถ้า F (°) ต่อเนื่องที่ x จะเป็นไปได้ว่า g (.) เป็นอนุพันธ์ที่ x iff F (.) อย่างต่อเนื่องที่ x ซึ่งในกรณีนี้

ในทางกลับกัน เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของ F ซึ่งถูกกำหนดว่า เนื่องจากฟังก์ชัน g(.) มีลักษณะเว้า ซึ่งสอดคล้องกับ x* > 0 เป็นการหาค่าที่ดีที่สุดของสมการที่ (4) นั่นคือ g’ (x*) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่า g(.) เป็นอนุพันธ์ที่ x* กำหนดให้ s < c < r จาก 0 < (r − c)/(r − s) < 1 ดังนั้นคำตอบที่ดีที่สุดของสมการ (4) จะได้ว่า

จากสมการ ถ้า F (°) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x *
เห็นได้ชัดว่าหากมีความรู้ด้านการกระจายความน่าจะเป็นของความต้องการ D แล้วจะได้รูปสมการที่ง่ายขึ้น ซึ่งคล้ายกับ CDF ของ F (°) จะไม่สามารถประมาณค่าที่ดีที่สุดได้ แต่จะเป็นการแก้ปัญหาที่ดีที่สุด
ค่าอื่น ๆ ที่ได้จากการแก้ปัญหาสมการที่ (4) ผู้จัดการฝ่ายพยายามที่จะหากำไรที่ดีที่สุดจากค่าเฉลี่ย อย่างไรก็ตามเมื่อคิดถึงผลกำไร G (x *, D) อาจจะแตกต่างจาก g (x *) ขึ้นอยู่กับส่วนที่เราสนใจของความต้องการ D กรณีนี้อาจเกิดขึ้นถ้า G (x *, D) ถูกมองว่าเป็นตัวแปรสุ่ม จะมีความแปรปรวนขนาดใหญ่ซึ่งอาจจะวัดได้จาก Var [G (x *, D)] ดังนั้นหากผู้จัดการต้องการที่จะควบคุมความแปรปรวน เขาจะต้องพิจารณาปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพดังต่อไปนี้

ค่าสัมประสิทธิ์ β ≥ 0 หมายถึงค่าน้ำหนักที่ให้กับการตัดสินใจ ถ้า β มีขนาดใหญ่ ปัญหาดังกล่าวข้างต้นจะมีความแปรปรวนของกำไรน้อยที่สุด ในขณะที่ β = 0 นั่นคือสมการ (8) เกิดขึ้นพร้อมกับสมการ (4) เนื่องจากมีการกำหนดค่าความแปรปรวนเป็น Var [G (x, D)] ≡ IE [(g (x, D) - IE [G (x, D)]) 2] ซึ่งเท่ากับค่าคาดหวังของมัน ค่าที่ได้จาก (8) จะคล้ายกับ ค่าที่คาดหวังที่ได้จาก (4) ดังนั้นการหาค่าคาดหวังที่ดีที่สุดคือ G (x, D) ซึ่งใช้ได้กับ การหาค่าเฉลี่ย ค่าความแปรปรวน ตำแหน่งของข้อมูล และเกือบทุก ๆ ด้านของตัวแปรสุ่มที่น่าสนใจ
จากตัวอย่างการหาค่าที่ดีที่สุดนี้ สามารถนำไปใช้ได้กับการตัดสินใจภายใต้สภาวะการที่ไม่แน่นอนได้ ตัวแปรสุ่ม D ใช้แทนความหมายของค่าเฉลี่ย μ = IE [D] แล้วทำการกำหนดปัญหาดังนี้

== กำหนดการเฟ้นสุ่ม ==
[[กำหนดการเฟ้นสุ่ม]] ({{langx|en|Stochastic programming}}) คือ การ[[โปรแกรม]]ทาง[[คณิตศาสตร์]]อาจจะอยู่ในรูปของ[[กำหนดการเชิงเส้น]] [[กำหนดการไม่เชิงเส้น]] กำหนดการ[[จำนวนเต็ม]] กำหนดการเชิงผสมผสานเชิงจำนวนเต็ม โดยที่ข้อมูลนั้นเป็นแบบเฟ้นสุ่ม นั่นหมายถึงเราไม่ทราบค่า[[สัมประสิทธิ์]] ที่แน่นอนของข้อมูลแต่จะทราบลักษณะการแจกแจงของข้อมูลแทนในขณะที่ข้อมูลที่เป็นแบบเชิงกำหนด เราจะทราบค่าของสัมประสิทธิ์ ดังนั้น กำหนดการเฟ้นสุ่มจึงเกี่ยวข้องกับสถานการณ์ที่มีความไม่แน่นอน

== วิธีการค้นหาแบบสุ่ม ==
ในทางกลับกันหากเรามีชุดของข้อมูลที่ประกอบด้วยค่าที่วัดมาอย่างแม่นยำแล้ว ก็จะมีวิธีการบางอย่างที่จะนำไปสู่ขั้นตอนการสุ่มที่น้อยลง และในความเป็นจริงแล้วหลักการต่าง ๆ ของวิธีการสุ่มเป็นที่รู้กันว่าเป็นหนทางที่ง่ายและมีประสิทธิภาพในการนำมาซึ่งขั้นตอนวิธีที่ ''เกือบ'' จะมีประสิทธิภาพดีที่สุด และสำหรับปัญหามากมายหลากหลายประเภทวิธีการหาค่าเหมาะที่สุดแบบเฟ้นสุ่มนี้ ประกอบไปด้วย

* simulated annealing|Simulated annealing by S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt and M. P. Vecchi (1983)<ref name=kirk1983>
{{cite journal
  | author = S. Kirkpatrick |author2=C. D. Gelatt |author3=M. P. Vecchi
  | title = Optimization by Simulated Annealing
  | journal = Science
  | year = 1983
  | volume =  220
  | pages = 671–680
  | url = http://citeseer.ist.psu.edu/kirkpatrick83optimization.html
  | doi = 10.1126/science.220.4598.671
  | pmid = 17813860
  | issue = 4598
|bibcode = 1983Sci...220..671K |citeseerx=10.1.1.123.7607 |s2cid=205939 }}</ref>
* Reactive search optimization (RSO) by Roberto Battiti, G. Tecchiolli (1994),<ref name=BattitiTecchiolli94>
{{cite journal
| last        =Battiti
| first       =Roberto
|author2=Gianpietro Tecchiolli
| year        =1994
| title       =The reactive tabu search
| journal     =ORSA Journal on Computing
| volume      =6
| issue       =2
| pages       =126–140
| doi         =10.1287/ijoc.6.2.126
| url         =http://rtm.science.unitn.it/~battiti/archive/TheReactiveTabuSearch.PDF
}}</ref> recently reviewed in the reference book<ref name=BattitiBrunatoMascia2008>
{{cite book
|title=Reactive Search and Intelligent Optimization
|last=Battiti
|first=Roberto
|author2=Mauro Brunato |author3=Franco Mascia
|year=2008
|publisher=[[Springer Verlag]]
|isbn=978-0-387-09623-0
}}
</ref>
* [[วิธีการครอส-เอนโทรปี]]: Cross-entropy method by Rubinstein and Kroese (2004)<ref name=rubkro>
{{Cite book
  | author = Rubinstein, R. Y.
  | author-link = Reuven Rubinstein
  | author2 = Kroese, D. P.
  | author2-link = Dirk Kroese
  | title = The Cross-Entropy Method
  | year = 2004
  | publisher = Springer-Verlag
  | isbn = 978-0-387-21240-1
}}</ref>
* Random search by Anatoly Zhigljavsky (1991)<ref name=zhigl1991>
{{Cite book
  | author = Zhigljavsky, A. A.
  | title = Theory of Global Random Search
  | url = https://archive.org/details/theoryofglobalra0000zhig
  | year = 1991
  | publisher = Kluwer Academic
  | isbn = 978-0-7923-1122-5
}}</ref>
* Stochastic tunneling<ref name=wenz1999>
{{cite journal
  | author = W. Wenzel
  |author2=K. Hamacher
   | title = Stochastic tunneling approach for global optimization of complex potential energy landscapes
  | journal = Phys. Rev. Lett.
  | volume = 82
  | year = 1999
  | pages = 3003
  | doi = 10.1103/PhysRevLett.82.3003
| bibcode=1999PhRvL..82.3003W
  | issue = 15
|arxiv = physics/9903008 |s2cid=5113626
 }}</ref>
* Parallel tempering a.k.a. replica exchange<ref name=mari1992>
{{cite journal
  | author = E. Marinari
  |author2=G. Parisi
   | title = Simulated tempering: A new monte carlo scheme
  | journal = Europhys. Lett.
  | volume = 19
  | year = 1992
  | pages = 451–458
  | doi = 10.1209/0295-5075/19/6/002
  | issue = 6
|arxiv = hep-lat/9205018 |bibcode = 1992EL.....19..451M |s2cid=12321327
 }}</ref>
* Stochastic hill climbing
* Swarm algorithms
* Evolutionary algorithms
** Genetic algorithms by Holland (1975)<ref name=gold1991>
{{Cite book
 |author      = Goldberg, D. E.
 |title       = Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning
 |year        = 1989
 |publisher   = Addison-Wesley
 |url         = http://www-illigal.ge.uiuc.edu
 |isbn        = 978-0-201-15767-3
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20060719133933/http://www-illigal.ge.uiuc.edu/
 |archive-date = 2006-07-19
}}</ref>
** Evolution strategies

== อ้างอิง ==

{{รายการอ้างอิง}}
* http://www2.isye.gatech.edu/~anton/stochoptiebook.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100630144930/http://www2.isye.gatech.edu/~anton/stochoptiebook.pdf |date=2010-06-30 }}
* http://www.jhuapl.edu/spsa/PDF-SPSA/Handbook04_StochasticOptimization.pdf
* http://www.ima.umn.edu/talks/workshops/9-9-13.2002/birge/birge.pdf{{ลิงก์เสีย|date=พฤศจิกายน 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* http://www.math.uwaterloo.ca/~cswamy/talks/stochopt-short.ppt
* http://stoprog.org/index.html?spintroduction.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120118070121/http://www.stoprog.org/index.html?spintroduction.html |date=2012-01-18 }}




[[หมวดหมู่:ทฤษฎีความน่าจะเป็น]]
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีการประมาณค่า]]
[[หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธี]]
[[หมวดหมู่:สถิติศาสตร์|การสุ่ม]]
[[หมวดหมู่:ความน่าจะเป็น]]