ดูต้นฉบับสำหรับ กลศาสตร์ลากร็องฌ์

{{กลศาสตร์ดั้งเดิม}}
'''กลศาสตร์ลากร็องฌ์''' ({{langx|en|Lagrangian Machanics}}) เป็นกลศาสตร์แบบหนึ่งที่อยู่ภายในขอบเขตของ[[กลศาสตร์ดั้งเดิม]] ({{langx|en|Classical Machanics}}) เช่นเดียวกับกฎของนิวตัน ซึ่งกฎข้อที่สองของนิวตันสามารถทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยมีหัวใจสำคัญ คือ การหาแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ และโดยทั่วไปปัญหาทางกลศาสตร์มีความซับซ้อนค้อนข้างมาก เช่นการเคลื่อนที่ของวัตถุบนผิวทรงกลม เมื่อการคำนวณหาแรงลัพธ์มีความยากลำบาก กลศาสตร์ของนิวตันจึงไม่เหมาะสมที่จะนำมาศึกษากลศาสตร์ที่มีความซับซ้อนได้ แนวคิดด้านกลศาสตร์แบบใหม่ที่เข้ามาอธิบายกลศาสตร์ที่มีความซับซ้อน คือ กลศาสตร์ลากรองจ์ ถูกเสนอใน ค.ศ. 1788 โดย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส - อิตาลี [[โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์]] การคำนวณแบบกลศาสตร์ลากรองจ์สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ ที่มีความซับซ้อนและแก้ปัญหาด้วยกลศาสตร์นิวตันได้ยาก เช่น ปัญหา[[เพนดูลัม]]ที่มีมวลมากกว่า 1 อัน ความง่ายของกลศาสตร์นี้ คือ ไม่ใช้แรงในการคำนวณ แต่จะใช้พิกัดทั่วไปและระบบพลังงานในการแก้ปัญหา เนื่องจากพลังงานเป็นปริมาณสเกลาร์การคำนวณจึงง่ายกว่าการแก้ปัญหาแบบเวกเตอร์ กลศาสตร์ลากร็องฌ์สามารถพัฒนารูปแบบสมการจนไปถึง[[สมการความหนาแน่นลากร็องฌ์]] (Lagrangian density) การที่จะได้มาซึ่งกลศาสตร์ลากร็องฌ์มีอยู่ 3 วิธี
# การพิสูจน์สมการลากร็องฌ์จาก[[กฎข้อที่สองของนิวตัน]] (Newton’s second law)
# การพิสูจน์สมการลากร็องฌ์จาก[[หลักการดาล็องแบร์]] (D’Alembert Principle)
# พิสูจน์จาก[[หลักการของฮามิลตัน]] (Hamilton’s Principle)<ref name="สุธี">{{Cite book |author=สุธี บุญช่วย |date=2013 |title=กลศาสตร์คลาสสิก |edition=1 |location=กรุงเทพฯ |publisher=สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ |isbn=978-616-556-112-9}}</ref>

== หลักการ ==
สมการลากร็องฌ์ เกิดจากผลต่างระหว่าง[[พลังงานจลน์]]และ[[พลังงานศักย์]]ภายใน[[ระบบ]]ซึ่งมีรูปแบบดังนี้<p>
<div align = "center">
<math>{\mathcal L}(q,\dot{q}) = T(q,\dot{q})-V(q)</math>

เมื่อ <math>{\mathcal L}</math> คือ ลากรางเจียน (Lagrangian), <math>T</math> คือ [[พลังงานจลน์]]ทั้งหมดของระบบ, <math>V</math> คือ [[พลังงานศักย์]]ทั้งหมดของระบบ
</div></p>

สมการดังกล่าว มีความสัมพันธ์ตาม[[สมการออยเลอร์-ลากร็องฌ์]] ([[Euler-Lagrange Equation]]) ดังนี้<p>
<div align = "center">
<math>0 = \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial \mathcal L}{\partial q_j}</math>

โดย <math>q_j</math> คือพิกัดทั่วไป (generalized coordinate) ของระบบ
</div></p>

จะเห็นสมการลากรองจ์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับกฎอนุรักษ์พลังงานและเป็นสเกลาร์ แตกต่างจากสมการของนิวตันซึ่งเกี่ยวข้องกับแรงและเป็นปริมาณเวกเตอร์

== ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อย{{Spaces}}ๆ ==
ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อย ๆ อาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากสมการการเคลื่อนที่ของลากร็องฌ์ สมการการเคลื่อนที่ของฮามิลตัน อนุกรมเทย์เลอร์ และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน โดยใช้เมตริกซ์เทนเซอร์ในการแก้ปัญหา เพื่อที่จะเข้าใจทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อย ๆ เราจำเป็นต้องรู้ความสัมพันธ์ของพลังงานศักย์กับการสมดุล ว่าด้วยเงื่อนไขของการเสถียรของระบบ ซึ่งเป็นพื้นฐานที่จะเข้าในทฤษฎีนี้ ซึ่งสามารถประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบเสถียร เมื่อระบบสมดุลเราจะได้ว่า
<math>Q_k = (\frac {\partial \mathbf{V}} {\partial q_k}) = 0 </math>  -- (1)

สมการที่ (1) แสดงพลังงานศักย์ V มี extremun value ในระบบที่สมดุล สรุปได้ว่าภาวะสมดุลเสถียรเกิดขึ้น เมื่อระบบมีจุดสมดุลที่มีพลังงานศักย์ต่ำที่สุด สำหรับกรณี <math> V=V(q) </math> จะมีจุดสมดุล
<math> \mathbf{F} = -\frac{\mathrm{d} \mathbf{V} }{\mathrm{d}q} = 0 </math> และ <math>  V = V_0 </math> ซึ่งจะมีจุดสมดุลดังนี้

# สมดุลเสถียร (Stable Equilibrium) เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน หรือเป็นตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นบวก หมายความว่า ถ้าระบบอยู่ที่จุดสมดุลเสถียรแล้ว เมื่อทำการรบกวนระบบให้เคลื่อนที่ออกจากจุดสมดุลเพียงเล็กน้อย (Small Disturbance) ระบบเกิดการเคลื่อนแบบถูกกัก (Bounced Motion) รอบจุดสมดุลเมื่อ <math> \frac{d^2\mathbf{V}}{dq^2} > 0 </math> โดยที่จุดสมดุลมี <math> V_0 </math> น้อยที่สุด

# สมดุลไม่เสถียร (Unstable Equilibrium) เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน หรือเป็นตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นลบ หมายความว่า ถ้าระบบอยู่ที่จุดสมดุลไม่เสถียรแล้ว เมื่อทำการรบกวนระบบให้เคลื่อนที่ออกจากจุดสมดุลเพียงเล็กน้อย ระบบจะเกิดการเคลื่อนที่แบบไม่โดนกัก (Unbounced Motion) และไม่สามารถเคลื่อนที่กลับมาที่จุดสมดุลได้อีกเมื่อ <math> \frac{d^2\mathbf{V}}{dq^2} < 0 </math> โดยที่จุดสมดุลได้ <math> V_0 </math> มากที่สุด

ถ้า <math> \frac{d^2\mathbf{V}}{dq^2} = 0 </math> เราจะต้องพิจารณาอนุพันธ์ที่สูงขึ้นไปคือ
# สมดุลเสถียร เมื่อ <math> \frac{d^n\mathbf{V}}{dq^n} > 0 </math> ที่ n > 2 เป็นจำนวนคู่
# สมดุลไม่เสถียร เมื่อ <math> \frac{d^n\mathbf{V}}{dq^n} \neq 0 </math> ที่ n > 2 เป็นจำนวนคี่ และสมดุลไม่เสถียร เมื่อ <math> \frac{d^n\mathbf{V}}{dq^n} < 0 </math> ที่ n > 0 และเป็นจำนวนคู่
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อย ๆ สามารถนำไปอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มที่ติดมวลมากกว่าหนึ่ง หรือวัตถุติดสปริง หรือวัตถุที่มีการสั่นเป็นแอมปลิจูดน้อย ๆ

ทฤษฎีการสั่นอย่างเล็กน้อย[[(Small oscillation)]] ในการแก้ไขปัญหาบางปัญหาที่มีความซับซ้อนจนเราไม่สามารถหาผลเฉลยของสมการอนุพันธ์เพื่ออธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ได้ จึงมีวิธีการที่จะประมาณลักษณะการเคลื่อนที่โดยพิจารณนาลักษณะการเคลื่อนที่รอบ ๆ [[จุดสมดุล]] (Equilibrium position) การเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ เรียกว่า การสั่นอย่างเล็กน้อย (Small oscillation)<ref name="สุธี" />

ทฤษฎีการสั่นอย่างเล็กน้อยพบตัวอย่างการใช้งานทางด้านกายภาพอย่างแพร่หลายในความรู้เรื่องเสียง ([[Acoustics]]) การแผ่รังสีของโมเลกุล ([[Molecular spectra]])
และ[[วงจรคู่ควบ]] (Coupled electrical circuit)

== จากกลศาสตร์นิวตันสู่กลศาสตร์ลากร็องฌ์ ==
[[ไฟล์:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|thumb|150px|[[Isaac Newton]] (1642–1727)]] 
'''กฏของนิวตัน''' เพื่อความเรียบง่าย กฎของนิวตันสามารถอธิบายสำหรับอนุภาคหนึ่ง ๆ โดยที่ไม่มีการสูญเสียมวลมากนัก (สำหรับระบบของอนุภาค N สมการเหล่านี้ใช้กับอนุภาคแต่ละตัวในระบบ)

สมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคของมวล m คือกฎข้อที่สองของนิวตันใน ค.ศ. 1687 ซึ่งเป็นการใช้สัญกรณ์เวกเตอร์สมัยใหม่ ณ ขณะนั้น

:<math> \mathbf{F} = m \mathbf{a} </math>

เมื่อ '''a''' คือความเร่ง และ '''F''' คือแรงลัพธ์ ที่กระทำกับระบบ ซึ่งอยู่ในระบบ 3 มิติ แล้วระบบนี้จะรวมกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา เนื่องจากมีสมการเวกเตอร์ทั้งสามตัวเป็นองค์ประกอบ การแก้ปัญหาคือ ตำแหน่งของเวกเตอร์ r ของอนุภาคในเวลา '''t'''  การแก้ปัญหาที่มี '''R''' เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา '''t''' ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นของ '''r''' และ '''v''' เมื่อ t = 0

กฎของนิวตันเป็นเรื่องง่ายที่จะทำมาพิจารณาใช้ในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่พิกัดคาร์ทีเซียนก็ไม่สะดวกเสมอไป และสำหรับระบบพิกัดอื่น ๆ การใช้สมการการเคลื่อนที่ของนิวตันจะกลายเป็นเรื่องซับซ้อน ในชุดของ พิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates) '''ξ''' = (ξ1, ξ2, ξ3) '''กฎในดรรชนีเทนเซอร์ (tensor)''' คือฟอร์มลากร็องฌ์<ref name="Schuam 1988">{{Cite book |last=Kay |first=David C. |title=Schuam's outline of Theory and Problems of Tensor Calculus |page=156 |date=1988 |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-033484-6}}</ref><ref name="Synge 1949">{{Cite book |last1=Synge |first1=John Lighton |last2=Schild |first2=Alfred |title=Tensor Calculus |series=Mathematical expositions |volume=5 |pages=150–152 |date=1949 |publisher=University of Toronto Press |edition=reprint |isbn=0-8020-1031-8}}</ref>

:<math> F^a = m \left( \frac{\mathrm{d}^2 \xi^a}{\mathrm{d}t^2} + \Gamma^a {}_{bc} \frac{\mathrm{d}\xi^b}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\xi^c}{\mathrm{d}t} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\xi}^a} - \frac{\partial T}{\partial \xi^a} \,, \quad \dot{\xi}^a \equiv \frac{\mathrm{d} \xi^a }{\mathrm{d}t} \,, </math>

ในกรณีที่ Fa เป็นส่วนประกอบความไม่แปรผัน ของแรงที่เกิดขึ้นกับอนุภาค, Γabc   เป็นสัญลักษณ์ Christoffel ของชนิดที่สอง
:<math>T = \frac{1}{2} m g_{bc} \frac{\mathrm{d} \xi^b}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d} \xi^c}{\mathrm{d}t} \,, </math>

เป็นพลังงานจลน์ของอนุภาค และ gbc เป็นส่วนประกอบที่แปรปรวนของเมตริกซ์เทนเซอร์ของระบบพิกัดแบบโค้ง 
ดัชนีทั้งหมด a, b, c แต่ละค่าจะมีค่า 1, 2, 3 ซึ่งพิกัดเส้นโค้งไม่เหมือนกันกับพิกัดทั่วไป

อาจดูเหมือนเป็นเรื่องซับซ้อนเกินไปที่จะใช้กฎของนิวตันในรูปแบบนี้ แต่ก็มีข้อได้เปรียบ

ส่วนประกอบของการเร่งในแง่ของสัญลักษณ์ Christoffel สามารถหลีกเลี่ยงได้ โดยการประเมินอนุพันธ์ของพลังงานจลน์แทน

ถ้าไม่มีแรงที่เกิดขึ้นกับอนุภาค คือ F = 0 จะไม่เกิดการเร่ง แต่จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เป็นเส้นตรง ในทางคณิตศาสตร์การแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์คือจีออเดสิก (geodesics) นั่นคือเส้นโค้งของความยาวสุดขีดระหว่างจุดสองจุดในพื้นที่ (ซึ่งอาจจะน้อยที่สุด ดังนั้นคือเส้นทางที่สั้นที่สุด แต่ก็ไม่จำเป็น) ในพื้นที่จริงที่ว่างเปล่า แบบ 3D  geodesics จะเป็นเส้นตรงเท่านั้น
 
ดังนั้นสำหรับอนุภาคอิสระ กฎข้อที่สองของนิวตันจึงเกิดขึ้นพร้อมกับสมการเชิง geodesic และระบุอนุภาคอิสระตาม geodesics ซึ่งเป็นวิถีขีดสุดที่สามารถเคลื่อนที่ไปได้ ถ้าอนุภาคตกอยู่ภายใต้แรง F ที่ไม่เท่ากับ 0 อนุภาคจะมีความเร่งขึ้นเนื่องจากแรงที่กระทำต่อมัน และจะออกไปจาก geodesics ที่จะปฏิบัติตามถ้าเป็นอิสระ ด้วยความเหมาะสมของปริมาณที่กำหนดไว้ในที่ราบแบบแบนด์เวิร์ค 3 มิติ จนถึงกาลอวกาศโค้ง 4 มิติ รูปแบบข้างต้นของกฎนิวตันจะนำมาสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ซึ่งในกรณีนี้อนุภาคอิสระจะตาม geodesics ในส่วนโค้งกาล-อวกาศซึ่งไม่มี "เส้นตรง" กรณีสามัญ

อย่างไรก็ตามเรายังจำเป็นต้องทราบผลรวมของแรง F ที่กระทำกับอนุภาค ซึ่งจะต้องใช้แรงที่ไม่มีข้อจำกัด บวกกับแรงที่มีข้อจำกัด C

:<math> \mathbf{F} = \mathbf{C} + \mathbf{N} </math>

แรงข้อจำกัด อาจมีความซับซ้อน เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วจะขึ้นอยู่กับเวลา นอกจากนี้ถ้ามีข้อจำกัด ขอบเขตพิกัดไม่ได้เป็นอิสระ แต่เกี่ยวขึ้นกับสมการข้อจำกัดอย่างน้อยหนึ่งข้อ

แรงข้อจำกัด สามารถถูกกำจัดออกจากสมการของการเคลื่อนที่ จึงทำให้ แรงที่ไม่มีข้อจำกัดจะคงอยู่ หรือรวมอยู่ในสมการ ข้อจำกัดของสมการการเคลื่อนที่

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

[[หมวดหมู่:กลศาสตร์]]
{{โครงฟิสิกส์}}