ดูต้นฉบับสำหรับ กราฟของฟังก์ชัน

[[ไฟล์:X^4 - 4^x.PNG|350px|thumb|(1) กราฟของฟังก์ชัน {{nowrap|1=''f''(''x'') = ''x''<sup>4</sup> − 4<sup>''x''</sup>}} บนช่วง [−2,+3] ซึ่งแสดงรากที่เป็นจำนวนจริงและจุดต่ำสุดของกราฟภายในช่วงนี้ด้วย]]
'''กราฟของฟังก์ชัน''' ''f'' ({{Langx|en|graph of a function}}) ในทาง[[คณิตศาสตร์]] คือการรวบรวม[[คู่อันดับ]] {{nowrap|(''x'', ''f''(''x''))}} ทั้งหมด ถ้าฟังก์ชันรับค่า ''x'' เป็น[[สเกลาร์]] กราฟนี้จะเป็น[[กราฟสองมิติ]] และจะกลายเป็น[[เส้นโค้ง]]สำหรับ[[ฟังก์ชันต่อเนื่อง]] ถ้าฟังก์ชันรับค่า ''x'' เป็นคู่อันดับของจำนวนจริง {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>)}} กราฟนี้จะเป็นการรวบรวม[[สามสิ่งอันดับ]] {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>))}} ทั้งหมด หรือเป็น[[กราฟสามมิติ]] และจะกลายเป็น[[พื้นผิว]]สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง

หากกล่าวอย่างไม่เป็นทางการ ถ้า ''x'' เป็น[[จำนวนจริง]] และ ''f'' เป็น[[ฟังก์ชันค่าจริง]] ''กราฟ'' อาจหมายถึงตัวแทนเชิงภาพ (graphical representation) ของการรวบรวมเหล่านี้ในรูปแบบ[[กราฟเส้น]] นั่นคือ[[เส้นโค้ง]]บน[[ระนาบคาร์ทีเซียน]] และแกนคาร์ทีเซียนเป็นต้น การวาดกราฟบนระนาบคาร์ทีเซียนบางครั้งก็อาจเรียกว่า ''การร่างเส้นโค้ง'' (curve sketching) กราฟของฟังก์ชันจำนวนจริงอาจลงจุดได้โดยตรงบนตัวแทนเชิงภาพของฟังก์ชันนั้น สำหรับฟังก์ชันทั่วไป ตัวแทนเชิงภาพไม่จำเป็นว่าจะต้องสามารถหาได้ และนิยามของกราฟของฟังก์ชันก็เพียงพอต่อความต้องการในประโยคคณิตศาสตร์ต่าง ๆ แล้ว ตัวอย่างเช่น [[ทฤษฎีบทกราฟปิด]] (closed graph theorem) ใน[[การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน]]

มโนทัศน์ของกราฟของฟังก์ชันสามารถวางนัยทั่วไปเป็นกราฟของ[[ความสัมพันธ์ (คณิตศาสตร์)|ความสัมพันธ์]] (graph of a relation) สังเกตว่าถึงแม้ฟังก์ชันหนึ่ง ๆ สามารถระบุได้ด้วยกราฟของมันเสมอ แต่ฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่มี[[โคโดเมน]]ต่างกันก็อาจมีกราฟเหมือนกันได้ ฟังก์ชันเหล่านั้นจึงไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวกัน ยกตัวอย่าง ฟังก์ชันพหุนามกำลังสามในตัวอย่างเป็น[[ฟังก์ชันทั่วถึง]] (surjection) ถ้าโคโดเมนเป็นจำนวนจริง แต่จะไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึงถ้าโคโดเมนเป็น[[จำนวนเชิงซ้อน]]

การทดสอบว่ากราฟ[[เส้นโค้ง]]หนึ่ง ๆ เป็น[[ฟังก์ชัน]]ของ ''x'' หรือไม่ ให้ใช้[[การทดสอบเส้นแนวยืน]] (vertical line test) ในทางกลับกัน การทดสอบว่ากราฟเส้นโค้งหนึ่ง ๆ เป็นฟังก์ชันของ ''y'' หรือไม่ ให้ใช้[[การทดสอบเส้นแนวนอน]] (horizonal line test) ถ้าฟังก์ชันนั้นมีฟังก์ชันผกผัน กราฟของฟังก์ชันผกผันจะหาได้จากเงาสะท้อนในกระจกของกราฟของฟังก์ชันเดิม โดยมีเส้นตรง {{nowrap|1=''y'' = ''x''}} เป็นแกน

ในทาง[[วิทยาศาสตร์]] [[วิศวกรรมศาสตร์]] [[เทคโนโลยี]] [[การเงิน]] และอื่น ๆ กราฟถูกใช้เป็นเครื่องมืออเนกประสงค์ กรณีง่ายสุดคือตัวแปรหนึ่ง ๆ จะถูกลงจุด (plot) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอื่น โดยใช้[[ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน|แกนที่ตัดกันเป็นมุมฉาก]]ตามปกติ

ใน[[รากฐานของคณิตศาสตร์]]สมัยใหม่อันเป็นที่รู้จักกันว่า[[ทฤษฎีเซต]] ฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชันโดยพื้นฐานถือว่าคือสิ่งเดียวกัน <ref name="Pinter2014">{{cite book|author=Charles C Pinter|title=A Book of Set Theory|url=http://books.google.com/books?id=iUT_AwAAQBAJ&pg=PA49|year=2014|origyear=1971|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-79549-2|pages=49}}</ref>

[[ไฟล์:F(x) = x^3 − 9x.PNG|right|thumb|250px|(2) กราฟของฟังก์ชัน {{nowrap|1=''f''(''x'') = ''x''<sup>3</sup> − 9''x''}}]]

== ตัวอย่าง ==
=== ฟังก์ชันตัวแปรเดียว ===
[[ไฟล์:Three-dimensional graph.png|right|thumb|250px|(3) กราฟของฟังก์ชัน {{nowrap|1=''f''(''x'', ''y'') = sin(''x''<sup>2</sup>) · cos(''y''<sup>2</sup>)}}]]

กราฟของฟังก์ชัน
:: <math>f(x)=
        \left\{\begin{matrix}
              a, & \mbox{if }x=1 \\ d, & \mbox{if }x=2 \\ c, & \mbox{if }x=3
        \end{matrix}\right.
  </math>
คือ
::{ (1,a), (2,d), (3,c) }

กราฟของพหุนามกำลังสามบน[[เส้นจำนวนจริง]]
:: <math>f(x) = x^3 - 9x</math>
คือ
:: { (''x'', ''x''<sup>3</sup> − 9''x'') : ''x'' เป็นจำนวนจริง }
ถ้าลงจุดเซตนี้บนระนาบคาร์ทีเซียน ผลลัพธ์จะได้เส้นโค้งตามภาพ (2)
{{clear}}

=== ฟังก์ชันสองตัวแปร ===
[[ไฟล์:F(x,y)=−((cosx)^2 + (cosy)^2)^2.PNG|thumb|250px|(4) การลงจุดของกราฟของฟังก์ชัน {{nowrap|1=''f''(''x'', ''y'') = −(cos(''x''<sup>2</sup>) + cos(''y''<sup>2</sup>))<sup>2</sup>}} และแสดงภาพฉายเกรเดียนต์บนระนาบข้างล่าง]]

กราฟของ[[ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]]
:: ''f''(''x'', ''y'') = sin(''x''<sup>2</sup>) · cos(''y''<sup>2</sup>)
คือ
:: { (''x'', ''y'', sin(''x''<sup>2</sup>) · cos(''y''<sup>2</sup>)) : ''x'' และ ''y'' เป็นจำนวนจริง }
ถ้าลงจุดเซตนี้บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ ผลลัพธ์จะได้พื้นผิวตามภาพ (3)

บางครั้งการใส่เกรเดียนต์ของฟังก์ชันและเส้นโค้งระดับไว้บนกราฟก็อาจมีประโยชน์ เส้นโค้งระดับสามารถวาดบนกราฟพื้นผิวของฟังก์ชันหรือฉายลงบนระนาบข้างล่าง

ภาพถัดมา (4) แสดงการวาดกราฟของฟังก์ชัน

:: ''f''(''x'', ''y'') = −(cos(''x''<sup>2</sup>) + cos(''y''<sup>2</sup>))<sup>2</sup>

=== แนวฉากของกราฟ ===
กำหนดให้ฟังก์ชัน ''f'' รับค่าตัวแปร ''n'' ตัว ได้แก่ <math> x=x_1, \dotsc, x_n </math> [[แนวฉาก]]ของกราฟคือ
:: <math>(\nabla f, -1) </math>
(ขึ้นอยู่กับการคูณด้วยค่าคงตัว) สิ่งนี้สามารถพบได้โดยพิจารณากราฟว่าเป็น[[เซตระดับ]] (level set) ของฟังก์ชัน <math>g(x,z) = f(x) - z</math> และการใช้ <math>\nabla g </math> เป็นแนวฉากของเซตระดับ

== การวางนัยทั่วไป ==
กราฟของฟังก์ชันเป็นส่วนหนึ่งของ[[ผลคูณคาร์ทีเซียน]]ของเซต ตัวอย่างเช่น ระนาบ ''xy'' เป็นผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเส้นตรงสองเส้นคือแกน ''x'' กับแกน ''y'', ผิวทรงกระบอกเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเส้นตรงกับรูปวงกลม ซึ่งความสูง รัศมี และมุมเป็นตัวกำหนดตำแหน่งที่แน่นอนของจุดต่าง ๆ [[มัดเส้นใย]] (fiber bundle) ตามปกติไม่เป็นผลคูณคาร์ทีเซียน แต่ถ้าหากมองเข้าไปใกล้ก็อาจเห็นเป็นผิวชนิดหนึ่งและนับเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนได้ สัญกรณ์ที่สอดคล้องของกราฟบนมัดเส้นใยเรียกว่า [[ภาคตัด (มัดเส้นใย)|ภาคตัด]] (section)

== ดูเพิ่ม ==
{{col-begin}}
{{col-3}}
* [[เส้นกำกับ]]
* [[แผนภูมิ]]
* [[ฟังก์ชันคองเคฟ]]
* [[ฟังก์ชันคอนเวกซ์]]
* [[เส้นชั้นความสูง]]
{{col-3}}
* [[จุดวิกฤต]]
* [[อนุพันธ์]]
* [[เอพิกราฟ]]
* [[กราฟ (คณิตศาสตร์)]]
* [[ทฤษฎีกราฟ]]
{{col-3}}
* [[ความชัน]]
* [[สมการ]]
* [[เททระวิว]]
* [[การเลื่อนขนานแนวยืน]]
* [[ระยะตัดแกน y]]
{{col-end}}

== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}

== แหล่งข้อมูลอื่น ==
{{คอมมอนส์-หมวดหมู่|Graphs}}
* [http://pedritoclavito.netau.net/graphics2/graph.html Graph of function, derivative and antiderivative plotter] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160318210634/http://pedritoclavito.netau.net/graphics2/graph.html |date=2016-03-18 }}
* Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/FunctionGraph.html Function Graph]." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
{{หัวข้อแคลคูลัส}}
[[หมวดหมู่:แผนภูมิ]]
[[หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่]]

[[pt:Função#Gráficos de função]]